【课堂讲义】2014年高中数学（必修1·A版）同步测试：2-3 幂函数（含解析，含尖子生题库）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
解析：　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．
答案：　C
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
解析：　函数y＝x定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；
函数y＝x4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，
故B正确；
函数y＝x－2不过点(0,0)，故C不正确；
函数y＝x是奇函数，故D不正确．
答案：　B
3．设α∈，则使f(x)＝xα是奇函数且在(0，＋∞)上是单调递减的α的值的个数是(　　)
A．3　　　　　 B．4
C．2　　　　　 D．1
解析：　把α逐个代入可知α＝－1时符合．
答案：　D
4．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
解析：　由图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m>0，n<0.又当x>1时，y＝xm的图象在y＝x下方，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以m<1，n<－1，从而0答案：　B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列六个函数①y＝x，②y＝x，③y＝x－，④y＝x，⑤y＝x－2，⑥ y＝x2中，定义域为R的有________．(填序号)
解析：　函数①④⑥的定义域为R，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x|x≠0}．
答案：　①④⑥
6．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(25)的值为________．
解析：　设幂函数y＝xα，过点，则＝9α，
∴α＝－，
∴y＝x－，则f(25)＝25－＝.
答案：　
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．
解析：　∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－18．已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点A.
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
解析：　(1)∵f(x)＝xa的图象经过点A，
∴a＝，
即2－a＝2，∴a＝－.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－
＝－＝
＝.
∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，
且·(＋)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)??☆☆☆
9．(10分)已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：　(1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝x＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)∵＝2，∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝x，令2－a>a－1≥0，可得1≤a<.