(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝－x的零点是( )
A．2 B．－2
C．2，－2 D．(2，－2)
解析： 令－x＝0，得＝0，得x＝±2.
故函数y＝－x的零点是±2.
答案： C
2．二次函数y＝x2－kx－1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
解析： 二次函数y＝f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)＝0的实根个数有关．由于Δ＝b2－4ac＝(－k)2－4×1×(－1)＝k2＋4，无论k为何实数，Δ>0恒成立，即方程x2－kx－1＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数y＝x2－kx－1的图象与x轴应有两个交点．
答案： C
3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
解析： 构造函数f(x)＝lg x＋x－2，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(1.75)＝f＝lg－<0，f(2)＝lg 2>0，所以f(1.75)·f(2)<0，故函数的零点所在区间为(1.75,2)，即方程lg x＋x＝2的解x0属于区间(1.75,2)，故选D.
答案： D
4．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至少有一个零点
解析： 若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A、D错，若如图(3)所示，可知B错．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝的零点是________．
解析： 本题易认为函数的零点有两个，即由x2－4＝0求出x＝±2，事实上x＝2不在函数的定义域内．
答案： －2
6．若函数f(x)＝2x2－ax＋8只有一个零点，则实数a的值等于________．
解析： 函数f(x)＝2x2－ax＋8只有一个零点，
即方程2x2－ax＋8＝0只有一个解，
则Δ＝a2－4×2×8＝0，
解得a＝±8.
答案： ±8
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝－6x2＋5x＋1；
(2)f(x)＝x3＋1；
(3)f(x)＝.
解析： (1)∵f(x)＝－6x2＋5x＋1＝－(6x＋1)(x－1)，
令－(6x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－或x＝1，
∴f(x)＝－6x2＋5x＋1的零点是x＝－和x＝1.
(2)∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，
解得x＝－1，
∴f(x)＝x3＋1的零点是x＝－1.
(3)∵f(x)＝＝，
令＝0，解得x＝－1，
∴f(x)＝的零点是x＝－1.
8．判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈(1,8)；
(2)f(x)＝x2＋x＋2.
解析： (1)方法一：∵f(1)＝1－3－18＝－20<0，f(8)＝64－24－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0.
又∵函数f(x)的图象在区间(1,8)上是连续不断的，
∴函数f(x)＝x2－3x－18在(1,8)上存在零点．
方法二：令f(x)＝x2－3x－18＝0，
即(x－6)(x＋3)＝0，
解得x＝－3或x＝6.
∵6∈(1,8)，
∴函数f(x)＝x2－3x－18在(1,8)上存在零点．
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，
所以方程无实数解，
所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
??☆☆☆
9．(10分)已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，讨论a为何值时，(1)方程有一实根；(2)方程有一正一负两实根．
解析： (1)①当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，
则x＝－，符合题意；
②当a≠0时，方程为二次方程，若方程有一实根，则Δ＝12a＋4＝0，解得a＝－.
故当a＝0或a＝－时，关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有一实根．
(2)若方程有一正一负两实根，则a(a－1)<0，
解得0
故当0
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于用二分法求函数的零点的说法，下列说法正确的是( )
A．函数只要有零点，就能用二分法求
B．零点是整数的函数不能用二分法求
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．以上说法都错误
答案： D
2．方程2|x|＝2－x的实数根的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析： 如图，画出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，
可看出两图象有两个交点，
故方程2|x|＝2－x实数根的个数为2.
答案： C
3．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，那么下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f (x)在区间(2,16)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
答案： C
4．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0, f(x2)<0 B．f(x1)<0, f(x2)> 0
C．f(x1)>0, f(x2)<0 D．f(x1)>0, f(x2)>0
解析： 方法一：设y1＝2x，y2＝，在同一坐标系中作出其图象，如图，在(1，x0)内y2＝的图象在y1＝2x图象的上方，即>2x1，所以2x1＋<0，即f(x1)<0，同理f (x2)>0.
方法二：设y1＝2x，y2＝，两个函数在(1，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上是增函数，因为x0是f(x)的零点，
∴f(x0)＝0.∵x1即f(x1)<0，f(x2)>0.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．
解析： 记f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝f＝－10>0，
∴下一个有解区间为(2,2.5)．
答案： (2,2.5)
6．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)
＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)
＝－0.060
根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.1)为________．
解析： 由表中数据可知：
f(1.562 5)·f(1.556 2)<0.
而|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.1，
∴零点x0∈(1,556 2,1.562 5)，
可取零点为1.556 2.
答案： 1.556 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解．(精确度0.1)
解析： 设f(x)＝lg x＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lg x和y＝3－x的图象，如图所示，观察图象可以发现lg x＝3－x有唯一解x1，且x1∈(2,3)，f(2)<0，f(3)>0，利用二分法，可列下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.102 059 991
(2.5,3)
2.75
0.189 332 694
(2. 5,2.75)
2.625
0.044 129 308
(2.5,2.625)
2.562 5
－0.028 836 126
(2.562 5,2.625)
由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取2.562 5.
8．试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确度0.1)．
解析： 令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2x－2.
∵h(2)＝22－2×2－2＝－2<0，h(3)＝32－2×3－2＝1>0，h(2)·h(3)<0，
∴h(x)＝x2－2x－2在(2,3)上有零点x0.
取(2,3)的中点x1＝2.5，则h(2.5)＝－0.75<0，
∴x0∈(2.5,3)；
取(2.5,3)的中点，x2＝2.75，则h(2.75)>0，
∴x0∈(2.5,2.75)；
取(2.5,2.75)的中点x3＝2.625，则h(2.625)<0，
∴x0∈(2.625,2.75)；
取(2.625,2.75)的中点，x4＝2.687 5，
则h(2.687 5)<0，
∴x0∈(2.687 5,2.75)．
由于|2.75－2.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以f(x)＝x2与g(x)＝2x＋2的一个交点的横坐标约为2.687 5.
同理可得另一交点的横坐标为－0.687 5.
??☆☆☆
9．(10分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
解析： 如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了．
3．2 函数模型及其应用
