【课堂讲义】2014年高中数学（必修1·A版）同步测试：第三章 章末高效整合

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为(　　)
A．1,2,3 B．1，－1,3
C．1，－1，－3 D．无零点
解析：　令y＝(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x＝1，－1,3，故选B.
答案：　B
2．下列函数中没有零点的是(　　)
A．f(x)＝log2x－3 B．f(x)＝－4
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋2x
解析：　由于函数f(x)＝中，对任意自变量x的值，均有≠0，故该函数不存在零点．
答案：　C
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(　　)
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：　对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．
答案：　A
4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
解析：　∵f(x)＝ex＋4x－3，
∴f(x)在R上是单调递增的，
∴f＝e－－4<0，
f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，
f＝e－2<0，
f＝e－1>0，
∴f·f<0，
∴函数的零点在区间内．
答案：　C
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
解析：　由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16.
答案：　D
6．不论m为何值时，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有(　　)
A．2个 B．1个
C．0个 D．都有可能
解析：　方程x2－mx＋m－2＝0的判别式Δ＝m2－4(m－2)
＝(m－2)2＋4>0，
∴函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有2个．
答案：　A
7．某市的出租车的收费标准如下：3千米以内的收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元； 10千米以上的部分每千米加收1.9元．那么出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系用图象表示为(　　)
解析：　根据题意可得出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系：
y＝
画出函数图象，知B正确．
答案：　B
8．下列函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是(　　)
A．y＝0.001ex B．y＝1 000ln x
C．y＝x1 000 D．y＝1 000·2x
解析：　增大速度最快的应为指数型函数，
又∵e≈2.718>2，故选A.
答案：　A
9．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
解析：　由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：　A
10．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于(　　)
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：　设产量为x台，利润为S万元，
则S＝25x－y
＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)
＝－0.1x2＋36x－3 000
＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：　设f(x)＝x3－6x2＋4，
显然f(0)>0，f(1)<0，
又f＝3－6×2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为.
答案：　
12．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有________个．
解析：　x3－x2－x＋1＝(x－1)2(x＋1)，
由f(x)＝0得x＝1或x＝－1.
∴f(x)在[0,2]上有1个零点．
答案：　1
13．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：　画出分段函数f(x)的图象如图所示．
结合图象可以看出，函数y＝f(x)－k有两个零点，即y＝f(x)与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
答案：　(0,1)
14．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．
解析：　A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案：　(4)　(1)　(3)　(2)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
解析：　－5　－1　9　31　(1,2)
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
(1,2)
1.5
＋
1
(1,1.5)
1.25
＋
0.5
(1,1.25)
1.125
－
0.25
(1.125,1.25)
1.187 5
＋
0.125
(1.125,1.187 5)
0.062 5
∵|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为1.187 5.
16．(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解析：　(1)P＝(t∈N*)
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得∴a＝－1，b＝40.
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0(3)由(1)(2)可得
y＝
即y＝(t∈N*)
当0此时t＝15；当20所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间．(各区间长度不超过1)
解析：　由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2.
令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，由此可知函数f(x)有3个零点．
18．(本小题满分14分)某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受的订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，目前产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，同时厂里暂时也不准备增加设备和工人．现就月份x，产量y(万双)给出四种函数模型：y1＝0.1x＋1，y2＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，y3＝0.48x＋0.52，y4＝－0.8x＋1.4.假如你是厂长，你将利用哪个模型去估算以后几个月的产量？
解析：　借助计算器或计算机作出函数y1＝0.1x＋1，y2＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，y3＝0.48x＋0.52，y4＝＋1.4的图象，如图所示：
观察图象发现，函数y1以及函数y3都是一直增长的，在不增加工人和设备的前提下，产量每月都上升是不可能的．通过对二次函数y2＝－0.05x2＋0.35x＋0.7的分析可知，其对称轴为x＝3.5，当x>3.5时，即从4月份开始，产量将逐月下降，也不合实际．
只有指数函数模型y4能较好地反映产量的增加，又由于工人的熟练程度达到一定程度之后，如果不增加设备和工人，产量的增加是很少的．
所以，选用y4＝－0.8x＋1.4模拟比较接近客观实际．