课件45张PPT。1．2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
(1)学生好奇心指标随年龄增长的变化规律
[提示] 集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．1．理解函数的概念，明确函数的三要素．(重点、难点)
2．能正确使用区间表示数集．(易混点)任意一个元素x唯一确定的元素yy＝f(x)函数的概念自变量x的取值范围函数值{f(x)|x∈A}子集对符号“y＝f(x)”与函数概念的理解
(1)对“y＝f(x)”函数符号的理解
①“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意字母表示，如y＝g(x)，y＝F(x)等．
②f(x)的含义：f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x.
③f(x)与f(a)的区别与联系：一般而言，f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．
④符号f：A→B表示从A到B的一个函数，f是对应关系，在不同问题中，其含义是不同的，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，可以是文字描述．(2)对函数概念的理解要注意以下四点：
①集合A、B必须是非空数集．
②A中任何一个数在B中都有唯一确定的数与之对应，即集合A中每一个数都能在集合B中找到唯一的数与之对应．
③函数的定义域是集合A，值域是集合B的子集．
④函数是一种对应，是多对一或一对一，而一对多的对应不是函数关系．函数相等定义域相同对应关系完全一致 理解函数相等概念应注意的问题
(1)函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域相同，对应关系不同或对应关系相同，定义域不同，两个函数是不同的．(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同，如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以为两个不同的函数．
(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用不同字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是同一函数．
(5)为了便于判断两个函数是否是同一函数，对于较复杂的解析式可先化简，再比较．1．区间的几何表示(－∞，＋∞)3．无穷大的几何表示(1)对区间的认识要注意的几个问题
①区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式，开或闭不能混淆．
②若[a，b]是确定区间，则一定有a③区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．
④集合和区间都是表示取值范围的方法，用哪种方法表示取值范围，原则上应与原题的表示方法保持一致．⑤区间的几何表示：在图中用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
⑥由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．
(2)符号“∞”与数的区别
①无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．
②以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号，即区间这一端是开的，不能把[1，＋∞)写成[1，＋∞]．1．下列说法中，不正确的是( )
A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定
D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
答案： B答案： A D函数的概念[思路点拨] 由函数的概念判断，对于集合A中的任意一个数x，按照某种对应关系，在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应，就是从A到B的函数．解析： 答案： B相等函数的判断(1)(2)不是，(3)是．
对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；
对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)，(2)中两组函数均不是相等函数；
(3)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．解析： [思路点拨] 分析所给函数解析式，列出不等式(组)求出x，用集合或区间表示出来即可．(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形．
①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等
②分式中分母不能为0；
③零次幂的底数不为0；
④如果f(x)是由几部分数学式子构成，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中不同之处)． [思路点拨] 将x分别赋值，代入对应函数式中化简即得．
(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可；
(2)求f(f(a))时，一般应遵循由里到外的原则． ［练规范、练速度、练技能］课件39张PPT。1．2.2 函数的表示法某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，设里程为y，票价为x，
[问题1] x与y是否具有函数关系？
[问题2] 函数的定义域和值域各是什么？
[问题3] x与y之间有何特点？1．掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法．(重点)
2．会求函数解析式，并正确画出函数的图象．(难点、易错点)
3．掌握简单的分段函数，并能简单应用．(重点)
4．了解映射概念及它与函数的联系．(难点、易混点)函数的表示法
函数的三种表示方法的优缺点比较
分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 理解分段函数应注意的问题
(1)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间端点需不重不漏．
(3)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．非空对应关系任意f：A→B映射答案： B解析： 由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x<0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图形C符合．
答案： C解析： 因为1∈[－1,1]，所以f(1)＝3×1＝3.又3∈(1,5)，所以f(3)＝32－4×3＋6＝3.即f(f(1))＝3.
答案： 3解析： 紧扣映射的定义．
答案： (2)(4)(5)(6)(8)第1课时 函数的三种表示法求下列函数解析式．换元法就是直接将式子左边括号内的表达式换作字母“t”，然后从中解出x，代入原式中，求出关于“t”的函数关系式，即为所求的函数解析式，这种方法要注意自变量取值范围的变化情况，否则易弄错函数定义域． , 答案： (1)14 (2)f(x)＝x2待定系数法求函数解析式已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[思路点拨] 先设出f(x)的解析式，代入列出方程，求得待定系数．待定系数法是求函数解析式的常用方法：
若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数． 答案： (1)5 (2)g(x)＝2x－5(x∈R)函数图象的作法[思路点拨] (1)函数的定义域是整数集，因此函数的图象是一些点；(2)只需画出二次函数在区间[0,3)上的图象即可；(3)根据函数解析式，函数是反比例函数．作函数图象时应注意的事项：
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． ◎已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．
事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成．所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定．因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥．［练规范、练速度、练技能］课件24张PPT。第2课时 分段函数和映射映射的概念[思路点拨] 根据映射的定义，判断一个对应是否为映射，只要检验对A中的任何元素，按对应关系f，是否在B中都有唯一元素与之对应．(3)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(4)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一一个元素与之对应，符合映射定义，是映射．判断对应关系f：A→B是否为集合A到集合B的映射的方法
(1)明确集合A、B中的元素．
(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有元素与之对应，集合A中的不同元素对应的元素不相同．解析： (1)A，B，D符合映射定义，C中x∈[0,2)时，每一个x都有两个元素与之对应，故不是映射．
(2)C中，b元素无对应元素，且a元素有两个元素与之对应．
答案： (1)C (2)C分段函数(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 答案： (1)4 (2)(－∞，－3)分段函数的图象已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|，x∈R.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的值域．
[思路点拨] 本题为含有绝对值的函数，应先用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再画出分段函数的图象，然后解之．(1)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同部分，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
(2)对含有绝对值的函数，要作其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象． 【错因】 因没有理解分段函数的意义而出错．x在不同范围内应利用不同的解析式．
解答分段函数的求值问题应注意自变量的取值范围和相应的解析式，否则容易导致错误． ［练规范、练速度、练技能］
