课件45张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
(1)学生好奇心指标随年龄增长的变化规律
[提示] 集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.1.理解函数的概念,明确函数的三要素.(重点、难点)
2.能正确使用区间表示数集.(易混点)任意一个元素x唯一确定的元素yy=f(x)函数的概念自变量x的取值范围函数值{f(x)|x∈A}子集对符号“y=f(x)”与函数概念的理解
(1)对“y=f(x)”函数符号的理解
①“y=f(x)”是函数符号,可以用任意字母表示,如y=g(x),y=F(x)等.
②f(x)的含义:f(x)表示与x对应的函数值,而不是f乘x.
③f(x)与f(a)的区别与联系:一般而言,f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.
④符号f:A→B表示从A到B的一个函数,f是对应关系,在不同问题中,其含义是不同的,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,可以是文字描述.(2)对函数概念的理解要注意以下四点:
①集合A、B必须是非空数集.
②A中任何一个数在B中都有唯一确定的数与之对应,即集合A中每一个数都能在集合B中找到唯一的数与之对应.
③函数的定义域是集合A,值域是集合B的子集.
④函数是一种对应,是多对一或一对一,而一对多的对应不是函数关系.函数相等定义域相同对应关系完全一致 理解函数相等概念应注意的问题
(1)函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域,当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域相同,对应关系不同或对应关系相同,定义域不同,两个函数是不同的.(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数对应关系不一定相同,如y=x与y=3x的定义域和值域都是R,但它们的对应关系不同,所以为两个不同的函数.
(4)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用不同字母表示自变量是无关紧要的,如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4是同一函数.
(5)为了便于判断两个函数是否是同一函数,对于较复杂的解析式可先化简,再比较.1.区间的几何表示(-∞,+∞)3.无穷大的几何表示(1)对区间的认识要注意的几个问题
①区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达方式,开或闭不能混淆.
②若[a,b]是确定区间,则一定有a③区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开.
④集合和区间都是表示取值范围的方法,用哪种方法表示取值范围,原则上应与原题的表示方法保持一致.⑤区间的几何表示:在图中用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.
⑥由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.
(2)符号“∞”与数的区别
①无穷大“∞”只是一个符号,而不是一个数,因而它不具备数的一些性质和运算法则.
②以“-∞”或“+∞”为区间一端时,这一端必须是小括号,即区间这一端是开的,不能把[1,+∞)写成[1,+∞].1.下列说法中,不正确的是( )
A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定
D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素
答案: B答案: A D函数的概念[思路点拨] 由函数的概念判断,对于集合A中的任意一个数x,按照某种对应关系,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应,就是从A到B的函数.解析: 答案: B相等函数的判断(1)(2)不是,(3)是.
对于(1),f(x)的定义域为{x|x≠-3},g(x)的定义域为R;
对于(2),f(x)的定义域为Z,g(x)的定义域为R,所以(1),(2)中两组函数均不是相等函数;
(3)两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.讨论函数是否为同一函数问题时,要保持定义域优先的原则,判断两个函数是否相等,要先求定义域,若定义域不同,则不相等;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.解析: [思路点拨] 分析所给函数解析式,列出不等式(组)求出x,用集合或区间表示出来即可.(1)当函数是由解析式给出时,求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形.
①负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等
②分式中分母不能为0;
③零次幂的底数不为0;
④如果f(x)是由几部分数学式子构成,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合;
⑤如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.(2)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中不同之处). [思路点拨] 将x分别赋值,代入对应函数式中化简即得.
(1)在函数y=f(x)中,x为自变量,f为对应关系,f(x)是对应关系f下x对应的函数值,所以求函数值时,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可;
(2)求f(f(a))时,一般应遵循由里到外的原则. [练规范、练速度、练技能]课件39张PPT。1.2.2 函数的表示法某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).
如果某条线路的总里程为20公里,设里程为y,票价为x,
[问题1] x与y是否具有函数关系?
[问题2] 函数的定义域和值域各是什么?
[问题3] x与y之间有何特点?1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.(重点)
2.会求函数解析式,并正确画出函数的图象.(难点、易错点)
3.掌握简单的分段函数,并能简单应用.(重点)
4.了解映射概念及它与函数的联系.(难点、易混点)函数的表示法
函数的三种表示方法的优缺点比较
分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数. 理解分段函数应注意的问题
(1)研究分段函数的性质时,应根据“先分后合”的原则,尤其是在作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间端点需不重不漏.
(3)求分段函数的函数值时,关键是看自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.非空对应关系任意f:A→B映射答案: B解析: 由于f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);当x<0时,y=x2,则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有图形C符合.
答案: C解析: 因为1∈[-1,1],所以f(1)=3×1=3.又3∈(1,5),所以f(3)=32-4×3+6=3.即f(f(1))=3.
答案: 3解析: 紧扣映射的定义.
答案: (2)(4)(5)(6)(8)第1课时 函数的三种表示法求下列函数解析式.换元法就是直接将式子左边括号内的表达式换作字母“t”,然后从中解出x,代入原式中,求出关于“t”的函数关系式,即为所求的函数解析式,这种方法要注意自变量取值范围的变化情况,否则易弄错函数定义域. , 答案: (1)14 (2)f(x)=x2待定系数法求函数解析式已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
[思路点拨] 先设出f(x)的解析式,代入列出方程,求得待定系数.待定系数法是求函数解析式的常用方法:
若已知函数类型,可用待定系数法求解,若f(x)是一次函数,可设f(x)=kx+b(k≠0),若f(x)是二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),然后利用题目中的已知条件,列出待定系数的方程组,进而求出待定的系数. 答案: (1)5 (2)g(x)=2x-5(x∈R)函数图象的作法[思路点拨] (1)函数的定义域是整数集,因此函数的图象是一些点;(2)只需画出二次函数在区间[0,3)上的图象即可;(3)根据函数解析式,函数是反比例函数.作函数图象时应注意的事项:
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. ◎已知f(x2+2)=x4+4x2,求f(x)的解析式.
【错解】 ∵f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4,
设t=x2+2,则f(t)=t2-4.∴f(x)=x2-4.【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法,似乎是无懈可击,然而从其结论,即f(x)=x2-4来看,并未注明f(x)的定义域,那么按一般理解,就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)=x2-4的定义域不是全体实数.
事实上,任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成.所以,当函数f(g(x))一旦给出,则其对应关系f就已确定并不可改变,那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此,我们由f(g(x))求f(x)时,求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥.[练规范、练速度、练技能]课件24张PPT。第2课时 分段函数和映射映射的概念[思路点拨] 根据映射的定义,判断一个对应是否为映射,只要检验对A中的任何元素,按对应关系f,是否在B中都有唯一元素与之对应.(3)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.
(4)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一一个元素与之对应,符合映射定义,是映射.判断对应关系f:A→B是否为集合A到集合B的映射的方法
(1)明确集合A、B中的元素.
(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应.若进一步判断是否为一一映射,还需注意B中的每一个元素在A中都有元素与之对应,集合A中的不同元素对应的元素不相同.解析: (1)A,B,D符合映射定义,C中x∈[0,2)时,每一个x都有两个元素与之对应,故不是映射.
(2)C中,b元素无对应元素,且a元素有两个元素与之对应.
答案: (1)C (2)C分段函数(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得.
(2)多层“f ”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理.
(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验分段解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解. 答案: (1)4 (2)(-∞,-3)分段函数的图象已知函数f(x)=2|x-1|-3|x|,x∈R.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)的值域.
[思路点拨] 本题为含有绝对值的函数,应先用零点分段讨论法去掉绝对值符号,再画出分段函数的图象,然后解之.(1)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同部分,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.
(2)对含有绝对值的函数,要作其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象. 【错因】 因没有理解分段函数的意义而出错.x在不同范围内应利用不同的解析式.
解答分段函数的求值问题应注意自变量的取值范围和相应的解析式,否则容易导致错误. [练规范、练速度、练技能]