课件43张PPT。3．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点[问题1] 填表：[提示] (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点[问题2] 方程的根与对应函数的图像与x轴的交点有什么关系？
[提示] 方程的根等于对应函数的图像与x轴的交点的横坐标．1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)f(x)＝0的实数x函数的零点 函数零点概念的理解
(1)函数y＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域内．
(2)若c是函数y＝f(x)的零点，则有f(c)＝0.
(3)函数的零点不是点，是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，即零点是个实数．连续不断f(a)·f(b)<0f(c)＝0函数零点的判定 零点存在性定理的适用条件
(1)判断零点是否存在是在闭区间[a，b]上进行的；
(2)函数y＝f(x)在[a，b]上的图象应是连续无间断的一条曲线；
(3)f(a)·f(b)<0是关键条件，即两端点的函数值必须异号；(4)由于函数f(x)在两端点的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个根c.
答案： A2．函数y＝2x2－4x－3的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
解析： 方程2x2－4x－3＝0的Δ＝40>0，
故方程2x2－4x－3＝0有两个根，
∴函数y＝2x2－4x－3有2个零点．
答案： C4．判断函数f(x)＝ex－5零点的个数．
方法二：令y1＝ex，y2＝5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f(x)＝ex－5的零点仅有一个.解析： 方法一：f(0)＝－4<0，f(3)＝e3－5>0，
∴f(0)·f(3)<0.
又∵f(x)＝ex－5在R上是增函数，
∴函数f(x)＝ex－5的零点仅有一个．求函数的零点[思路点拨] 分别令各个解析式等于0，根据方程的根来确定函数的零点．(1)令f(x)＝0，
即x3－7x＋6＝0，
即(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)
＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
(2)令f(x)＝(x－3)(x＋2)＝0得
x＝3或x＝－2，
∴f(x)＝x2－x－6的零点是：3或－2.函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 答案： (1)B (2)－1和0函数零点的判断答案： D2．(1)函数f(x)＝x＋ln x的零点所在的区间为( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1，e)
(2)已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根 (2)f(x)＝－x－x3图象在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)<0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．答案： (1)B (2)D (3)B函数零点的应用关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
[思路点拨] 由方程的两个根一个大于4，一个小于4，可转化为相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标一个大于4，一个小于4，通过分类讨论列出不等式来求得m的范围．解此类问题可设出方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意以下四点：
(1)判别式；(2)对称轴；(3)所给区间端点的函数值；
(4)开口方向． 答案： 1选手：750.
主持人：低了．
选手：800.
主持人：高了．选手：760.
主持人：高了．
选手：755.
主持人：高了．
选手：753.
主持人：高了．
选手：752.
主持人：祝贺你，答对了．
[问题] 物价竞猜体现了什么数学知识？
[提示] 二分法求近似值．1．会用二分法求方程的近似解．(重点)
2．明确精确度ε与近似值的区别．(易混点)
3．会判断函数零点所在的区间．(难点)连续不断f(a)·f(b)<0一分为二零点用二分法求方程的近似解对二分法定义的理解
(1)二分法的基本思想：逼近思想；
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．解析： 由题意知选C.
答案： C2．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析： 由题意知f(1.25)·f(1.5)<0，
∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A.
答案： A3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．解析： 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数．
答案： 1.437 5
解析： 由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25. 4．求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度0.1)二分法的概念下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
[思路点拨] 解答本题可根据二分法的定义，判断是否具备二分法的条件．
解析： 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案： B“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．1．(1)函数f(x)的图象如图所示，能用二分法求函数f(x)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．4 D．3解析： (1)由图可知，图象与x轴有四个公共点，三个穿过x轴，共有4个零点，其中有3个变号零点，故选D.
(2)根据二分法定义得①②正确，故选A.
答案： (1)D (2)A用二分法求函数零点的近似值用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)[思路点拨]
令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．用二分法求方程的近似解要注意的问题：
(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
(3)在二分法的第四步，由|a－b|＜ε，便可判断零点近似值为a或b，即只需进行有限次运算即可．
(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值． 2．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
解析： 经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)，
如此继续下去，如下表：因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.函数零点与方程解的个数问题求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[思路点拨]方法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，4分
f(2)＝4＋lg 3－2≈2.48>0，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点.8分
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点.12分判断函数零点个数的方法主要有：
(1)直接求出函数的零点进行判断；
(2)结合函数图象进行判断；
(3)借助函数的单调性及函数零点存在性判定定理进行判断：若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点． 答案： (1)B◎用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解．(精确度为0.1)
【错解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25.
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.225.
【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|<ε.【正解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25. ［练规范、练速度、练技能］
