课件40张PPT。3．2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元．
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元．
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一倍．
请问你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元
方案一：每天回报40元，
y＝40(x∈N*) 常函数
方案二：第一天回报10天，以后每天比前一天多回报10元，
y＝10x(x∈N*) 正比例函数
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一倍，
y＝0.4×2x－1(x∈N*) 指数型函数进行描述1．掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点)
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型的性质的比较．(易混点)．
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)指数函数(底数a>1)常见的增长模型对数函数(底数a>1)随自变量的增大越来越慢函数模型的意义及应用
(1)函数是描述客观规律的数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述．数学应用题的建模过程就是信息获取、存储、处理、综合、输出的过程．
(2)通过研究不同增长的几类函数模型，寻找出最能反映实际问题的函数模型，解题过程可分四步：①建立模型；②画图；③检验筛选；④判断．增函数增长速度越来越快越来越慢logax
1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝2x B．y＝10 000x
C．y＝log3x D．y＝x3
解析： 指数函数模型增长速度最快，故选A.
答案： A2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
解析： 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
答案： B3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．
答案： ax>xn>logax4．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解析： 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求. 函数模型的增长差异[思路点拨] (1)由图象可知x1与x2两侧函数值的大小关系，因此可取特值验证，从而确定x1与x2的取值范围．
(2)利用函数y＝f(x)的单调性比较．
(3)利用图象，由图象高低比较大小．对于三种函数增长的几点说明：
(1)对于幂函数y＝xn，当x>0，n>0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax>logax(x>0，a>1)．
(3)指数函数与幂函数，当x>0，n>0，a>1时，可能开始时有xn>ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax>xn.
特别提醒：上述结论体现了指数函数的爆炸式增长． 1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
解析： 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x增长速度最快．故选D.
答案： D二次函数模型[思路点拨] 首先把g(x)表示出来，再利用函数解决最值问题．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题． 指数函数模型某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人．(精确到1年)
((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，
(1＋1.2%)16≈1.21)．
[思路点拨] 已知增长率问题，建立指数函数模型求解．(1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.6分(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人).8分
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，
解方程可得x≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.12分在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 解析： (1)光线经过1块玻璃后，强度为y＝(1－10%)k＝0.9k；
光线经过2块玻璃后，强度为y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k；
光线经过3块玻璃后，强度为y＝(1－10%)·0.92k＝0.93k；
…
光线经过x块玻璃后，强度为y＝0.9xk.
故y关于x的函数关系式为y＝0.9xk(x∈N*)．对数函数模型[思路点拨] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．本题是属于直接以对数函数为模型的应用题，解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式进行运算来解． 【错因】 对增长率问题的公式y＝N(1＋P)x未能理解透彻而造成指数写错，或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．若某月的产值是b，则此月第x月后的产值是b(1＋a)x，指数x是基数所在时间后所跨过的时间间隔数．［练规范、练速度、练技能］课件37张PPT。3．2.2 函数模型的应用实例某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元．
[问题] 经理的决定，正确吗？
[提示] 设降价x元，利润为y元，则由题意可知：
y＝(20＋2x)(40－x)＝－2x2＋60x＋800.
∴当x＝15时，ymax＝1 250元，
即经理的决定是正确的．1．了解函数模型的广泛应用．
2．能利用已知函数模型求解实际问题．(重点)
3．通过对数据的合理分析，能自建函数模型解决实际问题．(难点)
4．能归纳掌握求解函数应用题的步骤．(重点、难点)解模型确定的函数应用题的基本步骤 解函数应用题应注意的问题
(1)读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质．尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化．
(2)审题时要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、探索，敢于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．拟合函数模型的应用题求解步骤 选择函数模型时应注意的问题
在选择函数模型时，要让函数的性质与所要解决的问题的变化基本吻合，通常用待定系数法求模拟函数的解析式，由于函数模型的局限性，所求数据往往只是在一定的范围内与实际问题基本相符．解析： 画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.
答案： D解析： 令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案： 254．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙与购买台数x之间的函数关系式；
(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？分段函数模型(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？
[思路点拨] 由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)所满足的关系式．由于分段函数与日常生活紧密联系，故常成为考查的热点，分段函数一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点问题，以保证在各区间端点的“不重不漏”． 1．某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)．
(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？数据拟合型函数的应用某工厂今年1月份、2月份、3月份分别生产某种产品1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c或函数g(x)＝abx＋c(其中a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[思路点拨] 分别依据1,2,3月份的产量确定出两种函数模型的解析式，再分别预测当x＝4时对应的函数值，选择与1.37差的绝对值较小的函数模型．根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型． 2．下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值，可用一个函数模拟刹车后的停车距离y与车速x的关系，模拟函数可用y＝axn或y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为常数，且a≠0)，试从中选择模拟较好的函数模型，并根据此函数模型预测车速为120 km/h时的停车距离.◎“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，月收入不超过2 000元的免征个人工资、薪金所得税；超过2 000元的部分需征税，设全月计税金额为：x＝全月总收入－2 000，税率见下表：(1)若应征税额为f(x)，试用分段函数表示1～3级纳税额f(x)的计算公式；
(2)王老师2011年3月份工资收入为3 200元，试计算王老师3月份应缴纳个人所得税多少元？【错因】 错解的原因是没有理解题意，不明确税率表表示的含义．
求解数学应用题必须突破三关：(1)理解关：一般数学应用题的文字阅读量比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义；(2)建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题；(3)数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．【正解】 (1)依题意1～3级纳税金额f(x)的计算公式为：(2)因为x＝3 200－2 000＝1 200，所以f(x)＝10%×(1 200－500)＋500×5%＝95(元)．
所以王老师3月份应缴纳个人所得税95元. ［练规范、练速度、练技能］