18.2.2(1)菱形的性质 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
18.2.2(1)菱形的性质
人教版八年级下册
教学目标
1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题.
2. 探索并证明菱形的性质定理.
3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法.
新知导入
越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列的黑色菱形暗花纹.
什么样的图形是菱形，菱形有哪些性质呢？
新知讲解
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
有一个角是直角
有一组邻边相等
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
四边形

知识点 1
菱形的定义
新知讲解
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
要点归纳
你能说一说生活中存在哪些图形是菱形吗？
新知讲解
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
做一做
知识点 2
菱形的性质
新知讲解
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
问题1：菱形的四条边在数量上有什么关系
猜想：菱形的四条边都相等.
问题2：菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题3 根据上面折叠过程，菱形的两条对角线有什么关系
猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
新知讲解
已知：如图，在□ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
新知讲解
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰△ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
新知讲解
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
要点归纳
针对训练
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC , BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第3题图
第4题图
6cm
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
典例精析
例1 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB = 5，AO = 4.求AC和BD的长.
解：如图所示，因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.
又因为AB＝5，AO＝4，
所以在Rt△AOB中，OB＝
所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.
典例精析
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
典例精析
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
新知讲解
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
知识点 3
菱形的面积
新知讲解
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
典例精析
例4 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
在Rt△OAB中，
∴ .
∴ .
针对训练
3.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
4.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
针对训练
5.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
课堂总结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
拓展提高
1.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
拓展提高
2、如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
谢谢
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