数学人教A版（2019）必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法 课件（共15张ppt）

第 6章 平面向量及其应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
例1 如图所示,DE是?ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC, DE=1/2BC.
例2. 如图，已知 ABCD中，AC、BD是 ABCD的两条对角线，求证
AC2+BD2=2(AB2+AD2)
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)基底理论的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题.
(2)坐标理论的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题.
证平行，共线
证明　如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2。
因为CE⊥AB，且AD＝DC，
所以四边形AECD为正方形。
所以可求得各点的坐标分别为E(0,0)，
B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1，0)。
(1)因为＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
所以＝，所以∥，即DE∥BC。
(2)连接MB，MD。
因为M为EC的中点，所以M，
所以＝(－1,1)－＝，＝(1,0)－＝。
所以＝－，所以∥。
又与有公共点M，
所以D，M，B三点共线。
例3　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
　　【例3】　如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC。求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小。
解　(1)设=a,=b,则=+
=+=+(-)=+=a+b。
所以||2===a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3。
所以AD=。(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为与的夹角,
所以cos θ=====0。
所以θ=90°,即∠DAC=90°。
【变式训练】　已知正三角形ABC的边长为4,D是BC边上的动点(含端点),则(+)·(+)的取值范围是( )
A.[4,8] B.[8,24] C.[2,18] D.[4,20]
解析　以BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴,
建立如图的平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0),A(0,2)。
设D(x,0)(-2≤x≤2),则=(-x,2),=(-2-x,0),=(2-x,0),
所以(+)·(+)=(-2-2x,2)·(2-2x,2)=4x2-4+12=4x2+8。
由-2≤x≤2,知4x2+8∈[8,24],
故(+)·(+)的取值范围是[8,24]。
故选B。