2022—2023学年北师大版数学八年级下册第四章 因式分解 综合演练（含答案）

因式分解综合演练
一、单选题
1．多项式分解因式后有一个因式是，另一个因式是(　　)
A． B． C． D．
2．已知是的三边长，且满足，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．已知( ).
A．3 B．-3 C．5 D．-5
4．计算等于( )
A． B． C． D．
5．因式分解，其中都为整数，则这样的的最大值是(　　)
A．1 B．4 C．11 D．12
6．已知，则的值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若，则的值是(　　)
A． B．0 C．1 D．2
8．把多项式分解因式的结果( )
A． B．
C． D．
9．已知，则(　　)
A． B． C．7 D．11
10．下列多项式中，能分解因式的是( )
A． B． C． D．
11．若实数、满足，则的最小值为( )
A． B． C．1 D．3
12．已知是一个有理数的平方，则的值为(　　)
A． B． C． D．
13. 下列各式变形中，是因式分解的是(　　)
A．
B．
C．
D．
14．下列因式分解正确的是(　　)
A． B．
C． D．
15．分解因式时，应提取的公因式是(　　)
A． B． C． D．
16．计算的结果是(　　)
A．2 B． C．-299 D．299
17．多项式分解因式的结果是(　　)
A． B．
C． D．
18．已知，则(　　)
A．2 B． C．4 D．
19．，则(　　)
A． B．
C． D．
20．若把多项式分解因式后含有因式，则的值为(　　)
A． B．1 C． D．3
二、填空题
21．分解因式：_____．
22．多项式的公因式是_______.
23．如果，那么______.
24．已知， 则_______．
25．若，则的值等于________．
26．在学习对二次三项式进行因式分解时，粗心的小明由于看错了，而分解的结果是，小红看错而分解的结果是．相信聪明的你能写出正确的分解结果是_________．
27．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：
______．
28．正数满足，那么
______．
29．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是_________.(填出符合条件的一个值)
30．如图，边长为4的正方形中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为________．
31. 在实数范围内分解因式：　 　．
32．因式分解：　 　．
33．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为　 　．
34．分解因式：　 　．
35．已知，则　 　．
36．已知，则　 　．
37．如果一个三角形的三边长满足，那么这个三角形一定是　 　．
38．若，则　 　．
三、解答题
39．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)计算：；
(4)．
40．已知直角三角形的边长均为整数，周长为，则该直角三角形的面积为多少
41．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次；
(2)若分解，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　；
(3)分解因式：为正整数)结果是　 　．
(4)请利用以上规律计算：．
42．阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足则可以把因式分解成，如：
(1)；(2)．
材料2：因式分解：，解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：；
②分解因式：
43．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式．步骤：
解：原式 第1步：拆项法，将拆成和；
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)；
第4步：提公因式法(整体)；
第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
(1)请你试一试分解因式．
(2)请你试一试在实数范围内分解因式．
44. 分解因式：
(1)；
(2)．
45．因式分解
①
②
③．
46．请看下面的问题：把分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲 姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得
人们为了纪念苏菲 姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲 姬曼的做法，将下列各式因式分解．
(1)；
(2)．
47．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“”还原，得：原式．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：　 　．
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
48．阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
49．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：
．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)；
(2)已知分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
50.因式分解
1.
2.
51.因式分解
52.因式分解
因式分解综合演练答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B A D C D D C B A
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D D D D C A B B
21. ．
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37. 直角三角形
38.
39.
(1)原式
；
(2)原式
；
(3)，
，
，
；
(4)原式
．
40.
设直角三角形的三边长分别为(c是斜边)，
则
又为整数，
．
根据勾股定理可得：，把代入，
化简得：
均为整数，
只可能是或
解得或，
当时，三角形的的面积为 ，
当时，三角形的的面积为．
41.
(1)阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
(2)原式，则需应用上述方法2019次，结果是，
故答案为：2019，；
(3)原式
故答案为：；
(4)．
42.
(1)；
(2)①令，则原式可变为，
，
所以；
②设，则原式可变为，
即
，
所以．
43.
(1)
(2)
．
44.
(1)原式；
(2)原式．
45.
(1)原式；
(2)原式；
(3)原式．
46.
(1)
；
(2)
47.
(1)
(2)令，则原式变为，
故；
(3)
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个整数的平方．
48.
(1)
解得，
(2)
将代入，得
解得，
49.
(1)解：
(2)解：由可分解得：
利用拆项得：
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是
所以可以得到
即：的形状是等边三角形．
50.
51.
52.
令
则原式