2023年高中数学必修一教学课件★★3.2.1 单调性与最大（小）值(共14张PPT)

(共14张PPT)
2023年高中数学必修一教学课件★★
3.2.1 单调性与最大(小)值
实例探究
在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，
这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.
先研究二次函数 的单调性.画出图像，
可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，
任意取 ，得到 ，
有 .这时我们就说函数 在区间
(-∞，0]上是单调递减的.














同理，函数 在[0,+∞)上是单调递增的.

函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.
因为 ，所以
实例探究
【问题】如何判断本题中 的大小？








【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到
函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.


【2】做差法：





所以

在区间(-∞，0]单调递减；
在区间[0，+∞)单调递增.
【思考】函数 和函数 各有怎样的单调性？
【解】作出两个函数的图像，由图像可知：











函数 在区间(-∞，0]单调递增；
在区间[0，+∞)单调递减.
单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为S，区间 ，如果 ，
当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调
递增.特别地，若函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为
增函数.







如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间A上单调递减.特别地，若函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数. 函数具有单调性的的区间叫做单调区间.










单调性的定义
【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？
（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.
（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|，
S=(-∞，+∞)，当A= (-∞，0]时，函数单调递减.
（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称
作单调递增或者单调递减.如图示的函数.



单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )：

【1】


在D上为增函数；
【2】


在D上为减函数；
【3】

在D上为增函数；

【4】

在D上为减函数.

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
单调性定义的应用
【1】判断(证明)单调性：
【2】比较函数值大小：
【3】已知函数值大小比较自变量：
并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数
虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.







单调性定义的应用
【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？
函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+无穷大)
反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.
单调性的应用
【例题1】根据定义，研究函数 的单调性.

【解】函数 的定义域是R，对于任意的 且
，




由 知 ，所以：


①当 时， ，即 ，




这时，函数 是增函数；

①当 时， ，即 ，




这时，函数 是减函数；

且 ，有：
单调性的应用
【例题2】物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数)告诉我们，对于一定量的
气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意，只要证明函数 是减函数即可.


【证明】


由 得 ；由 得




又 ，所以 即



所以函数 是减函数.问题得证.

【观察】观察函数 的图像可以发现，二次
函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：
函数的最值(最大值和最小值)






当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：
，那么我们就称 是函数的最小值；



反之，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：
，那么我们就称 是函数的最大值.





【常用结论与表达方式】
函数的最值(最大值和最小值)
【1】若函数 在区间 上单调递增，那么函数的最小值
，最大值




【2】若函数 在区间 上单调递减，那么函数的最小值
，最大值




【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：
THANKS
“
”