7.3.1离散型随机变量的均值2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）(共31张PPT)

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直线
7.3.1 离散型随机变量的均值
问题引入
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
问题引入
问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.
环数 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
新知探索
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为，，，.
甲次射箭射中的平均环数为.
当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
.
新知探索
一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示，
则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
例析
例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？
解：因为
所以
即该运动员罚球1次的得分的均值是.
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么
例析
例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值.
解：的分布列为
因此，
新知探索
思考1：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
新知探索
观察图(1)可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
例析
例3.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.
歌曲
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
新知探索
问题2：如果是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即和(其中，为常数)分别与有怎样的联系？
设的分布列为，，，，.
根据随机变量均值的定义，
.
类似地，可以证明.
一般地，下面的结论成立：
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)随机变量的数学期望是个变量，其随的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
(3)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体平均值.( )
(4)若随机变量的数学期望，则.( )
(5)若随机变量的数学期望，则.( )
答案：×，×，√，√，√.
新知探索
辨析2.设件产品中有件废品，从中抽取件进行检查，则查得废品数的均值为( ).
A.20 B.10 C.5 D.15
答案：.
辨析3.已知随机变量的分布列如图所示，若，则_____.
答案：2.
1
例析
解：分别用表示猜对歌曲歌名的事件，则相互独立.
的分布列如图所示：
0 1000 2000 3000
0.2 0.32 0.288 0.192
的均值为
例析
例4.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3：不采取措施.
工地的领导该如何决策呢？
例析
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为.
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总的损失为元.因此，，.
采用方案3，，
于是，，，
.
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.
例析
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
练习
题型一：求离散型随机变量均值
例1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均值.
解：可取的值为1，2，3，则，
所以抽取次数的分布列为：
练习
方法技巧：
求离散型随机变量的均值的一般步骤
(1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；
(2)求概率：计算出；
(3)写分布列：写出的分布列；
(4)求均值：利用的计算公式计算.其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.
练习
变1.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为，求.
解：记“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件可能取值为0，1，2.
，
所以的分布列为：
故.
练习
题型二：离散型随机变量的均值性质的应用
例2.已知随机变量的分布列为：
若，则______.
解：由随机变量分布列的性质，得，解得，
∴.
由，得，即.
-2 -1 0 1 2
练习
方法技巧：
若给出的随机变量与的关系为，，为常数，求的两种思路：
(1)先求出，再利用公式求.
(2)利用的分布列得到的分布列，关键由的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得.
练习
变2.已知随机变量的分布列为：
(1)若，则______.
(2)若且，则______.
-2 -1 0 1 2
解(1)：由随机变量分布列的性质，得，解得，
∴.
由，得.
(2)因为
∴.
练习
题型三：离散型随机变量均值的实际应用
例3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三、等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为
(1)求的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即的均值)；
解(1)：的所有可能取值有6，2，1，-2，
故的分布列为：
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
解(2)：(万元).
练习
例3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三、等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解(3)：设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
，
依题意，，即，解得，所以三等品率最多是.
练习
方法技巧：
1.实际问题中的均值问题
均值再实际中有广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
练习
变3.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病互相独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解(1)：方案甲中，化验的次数一定为5次.方案乙中，若记化验次数为，则的取值范围是.因为5人都不患病的概率为，所以
，.从而.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
练习
变3.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病互相独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解(2)：若记方案乙中，检查费用为元，则，从而可知
.
即方案乙的平均化验费用为元.
课堂小结
1.离散型随机变量的均值(或数学期望)：
一般地，设离散型随机变量的分布列为：
则称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.两点分布的均值
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么.
课堂小结
3.均值的性质：
若，其中，为常数，是随机变量，
(1)也是随机变量；
(2).
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P66的练习1——3题；
(3)课本P71的习题7.3的第2、3、4、6题.