苏科版八年级下册 第六讲 矩形和菱形 复习讲义（无答案）

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第六讲 矩形和菱形
一 知识点梳理
知识点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
知识点三 、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知识点五、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点六、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
知识点七、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
二 例题讲解
例题1.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
例题2.已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
例题3.如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形．
例题4.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
A．20 B．12 C．14 D．13
例题5.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
例题6.如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗 试说明理由．
例题7.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F． 求证：四边形AEFG是菱形．
例题8.如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：
(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块
(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形
三 课堂训练
1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　 　．
2.在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.
3.如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
4.如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=　 　度．
5.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于　 ．
6.如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗 请说明理由．
7.如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．
四 举一反三
一、选择题
1．下列关于矩形的说法中正确的是（　　）.
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 矩形的对角线互相垂直且平分
2．下列说法中，错误的是（　　）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边
C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
3．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4
4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
A. B. C. D.
5．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）
A. B. C.4 D.
二、填空题
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
8．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______
9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________.
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为________.
11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　 　．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.
三、解答题
13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，
求∠ADB的度数和BD的长.
14.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
　　（1）求证：四边形BFDE是矩形；
　　（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．
　　　　　
15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
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