苏科版九年级下册 第6讲：隐形圆 复习讲义（无答案）

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第6讲：隐形圆
知识梳理
1、常见确定隐形圆的方法
①到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
②与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
③依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。
2、最大张角——米勒定理
例题讲解
例题1.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是。
例题2.如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为 .
例题3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图象经过点C(0, 2),交轴于点A、B，(A点在点左侧),顶点为D.
①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;
②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标;
③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
例题4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。　 　
例题5.定义：如果一个点与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的和谐点；如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形且这个点是直角顶点，则称这个点为另外两个点的和谐拐点．
举例：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，则点A称为C、B两点的和谐点，点C称为A、B两点的和谐拐点．
初步运用
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A是B、C两点的　 　点，点　 　是A、B两点的和谐点．
实践操作
（2）如图3，点E是正方形ABCD的边CD的中点，请在正方形ABCD内（含边），用直尺和圆规作出B、E两点的所有和谐拐点P（不写作法，保留作图痕迹）；
思维探究
（3）如图4，半径为2的⊙M与x轴正半轴分别交于C、D两点，与y轴正半轴分别交于A、B两点，AB＝CD＝2，点P是⊙M上一点，且点P是C、O两点的和谐点但不是C、O两点的和谐拐点，则∠PDC＝　 　．
思维拓展
（4）如图5，已知点A（0，6）、B（4，0）、C（﹣2，0），点P是x轴上方的一个动点．
①若点P是A、O两点的和谐拐点，则B、P两点间距离的最小值为　 　．
②若点C是P、O两点的和谐拐点，则∠BPO的最大值为　 　，并且此时点P的坐标为　 　．
三、课堂训练
1.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。
2.矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.　 　
3.如图，在边长为2的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，则CP的最小值为____.
4.已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．
四、举一反三
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AB的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠到△EGF的位置，连接GD，则GD的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．
2.问题发现：如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是______；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是_______．
问题解决：如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝，点P是BC边上任意一点．
（1）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（2）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
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