苏科版九年级下册 第7讲：阿波罗尼斯圆 复习讲义（无答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第7讲：阿波罗尼斯圆
一、知识梳理
1、阿波罗尼斯圆
已知平面上两定点A、B，则所有满足（k＞0，且k不等于1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆。
阿波罗尼斯圆到底是如何画出来的？
如图所示，已知定线段AB，P为动点，且，画出点P的轨迹
第一步：在线段AB上找点C，使=，在线段BA延长线上找点D，使=
第二步：以线段DC为直径画圆，该圆即为点P的运动轨迹
阿波罗尼斯圆经常出现在系数不为1的线段和最值问题中，注意与胡不归进行区分，有时阿波罗尼斯圆也会运用在面积的最大值问题上。
2、阿波罗尼斯圆求最值方法
可能性一：若0＜＜1时，能找到一个以PB为一边的三角形（如△PBC），且该三角形的另外两边为定长，比值为；在点P所对的边BC上取一点F，使△CPF∽△CBP；接下来利用两点之间线段最短求最值；
可能性二：若0＜＜1时，找不到一个以PB为一边，另外两边为定长，比值为的三角形；可将其变为
（）的形式再试一试；在点P所对的边的延长线上取一点F，使△CPF∽△CBP；接下来利用两点之间线段最短求最值；
可能性三：若>1时，能找到一个以PB为一边的三角形（如△PBC），且该三角形的另外两边为定长，比值为；
在点P所对的边的延长线取一点F，使△CPF∽△CBP；接下来利用两点之间线段最短求最值；
可能性四：若>1时，找不到一个以PB为一边，另外两边为定长，比值为的三角形；可将其变为
（）的形式再试一试；在点P所对的边上取一点F，使△CPF∽△CBP；接下来利用两点之间线段最短求最值；
例题讲解
例题1.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，求AD+BD的最小值。
例题2.如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的値；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．
三、课堂训练
1.如图所示，正方形ABCD的边长为4，以点B为圆心，半径为2画圆，且点P为圆B上的动点，求PD+PC的最小值；求PD-PC的最大值。
2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋BP的最小值．
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为
拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90 ，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，求2PA＋PB的最小值．
四、举一反三
1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y＝x+．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii．试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．
图1
图2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)