苏科版九年级下册 第8讲：最值问题之胡不归 复习讲义（无答案）

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第8讲：最值问题之胡不归
一、知识梳理
1、问题介绍
胡不归问题是型如“”的“两定一动型”最值问题，其中A、B为定点，D为动点，m、n为正的常数；
解法归类
解决的关键是“两次系数化为1”：①若m、n均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；②借助正弦的定义，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
最终利用“垂线段最短”原理解决问题。
二、例题讲解
引例：从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路，由于思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线段A→D→B虽路程多但速度快的实际情况，当他气踹吁吁的赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭，邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
这个问题引起了人们的思索，小伙子能否提前到家，倘若可以，他应该选择一条怎样的路线。这就是著名的“胡不归问题”
这道题目转化成数学语言描述就是：已知驿道速度V1，砂砾速度V2，在AC上找一定点D，使从A→D→B的行走时间最短
解析：①设总时间为t，则，这里，且均为常数
②提取，得t=
③构造三角函数，过定点A作射线AE，使它们的夹角为，且＜1，作DG⊥AE于点G，则，转化为DG+DB最小
④垂线段最短，过B作BH⊥AE于H，交驿道所在直线于点D’，则点D’即为所要寻找的点，此时DG+DB取最小值为BH
例题1.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
变式：如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．
例题2.如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
变式：抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
例题3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB＝6cm，BC＝cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．
三、课堂训练
1.如图所示，已知D为射线AB上一动点，∠BAC=30°，AC=，当AD= 时，AD+2CD取最小值为 。
2.如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）抛物线的函数关系式为　 　，tan∠BAC＝　 　；
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
四、举一反三
1.如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
2.二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝　 　，c＝　 　；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．
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