苏科版九年级下册 第11讲：相似与全等之一线三等角 复习讲义（无答案）

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第11讲：相似与全等之一线三等角
一、知识梳理
1、模型概述
“一线三等角”是一个常见的相似或全等的模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似或全等的图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，利用好此类模型可以帮我们解决很多几何大题。
2、应用总结
图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；
图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.
最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，可以构造“一线三等角”来解题.
二、例题讲解
例题1.如图，△ABC为等边三角形，∠APM=60°，BP=1，CM=，求△ABC的边长。
例题2.问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？
问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．
建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：
如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA＝a，BC＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．
解：如图2，作AM⊥BC于点M，
∴△AOM为直角三角形．
又∵∠AOB＝α，∴sinα＝即AM＝OA sinα
∴△ABC的面积＝ BC AM＝ BC OA sinα＝absinα．
问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．
如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝20m，BD＝30m，∠AOB＝60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）
新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积＝　 　．
模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝60°，已知AC＝a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）
例题3.等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN＝60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F．
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP＝x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF＝AE＝2时，求PE的长．
例题4.如图1，已知直线y＝kx与抛物线y＝交于点A（3，6）．
（1）求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
三、课堂训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　 　．
2.（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：　 　；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
3.在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、点F，设BE＝x，CF＝y，∠BOE＝α（45°≤α≤90°）．
（1）试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）试判断∠BEO与∠OEF的大小关系？并说明理由．
（3）在三角板绕O点旋转的过程中，△OEF能否成为等腰三角形？若能，求出对应x的值；若不能，请说明理由．
四、举一反三
1.如图所示，直线AC：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2 +bx+c（a＞0）过A，C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D位抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标．
2.如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ．
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP＝1，CQ＝，求PQ的长．
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