7.3.2离散型随机变量的方差-2022-2023学年高二数学同步精讲 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
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7.3.2 离散型随机变量的方差
问题引入
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平？
通过计算可得，，.因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
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评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图分别是和的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
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思考1：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
设离散型随机变量的分布列如表所示.
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考虑所有可能取值与的偏差的平方，，，.因为取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称
为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
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随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为：
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因为(等价地，)，所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.
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方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质.
问题3：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即.
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即.
一般地，可以证明下面的结论成立：
.
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辨析1.判断正误.
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( )
(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望值的平均程度.( )
(3)离散型随机变量的方差反映了取值的波动水平.( )
(4)若随机变量的方差，则.( )
答案：×，√，√，×.
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辨析2.已知随机变量，，则的标准差为__________.
答案：.
辨析3.已知随机变量的分布列如图所示，若，则_____.
答案：.
2
例析
例5.抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数的方差.
解：随机变量的分布列为.
因为，，所以.
例析
例6.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示.
(1)投资哪种股票的期望收益大？
解(1)：股票和股票投资收益的期望分别为
因为，所以投资股票的期望收益较大.
例析
例6.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示.
(2)投资哪种股票的风险高？
解(2)：股票和股票投资收益的方差分别为
因为和相差不大，且，所以投资股票比投资股票的风险高.
例析
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果给随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.
练习
题型一：求离散型随机变量的方差
例1.(1)随机变量的分布列如图所示，若成等差数列，，则.
解：(1)由题意可得解得
所以.
1
练习
例1.(2)两封信随机投入三个空邮箱中，则邮箱的信件数的方差.
解：(2)的所有可能取值为0，1，2，
所以，
.
练习
方法技巧：
求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解的意义，明确其可能取值；
(2)判定是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤；
(3)写取每个值的概率；
(4)写出的分布列，并利用分布列性质检验；
(5)根据方差定义求.
练习
变1.如图，左边为国外的著名数学家，右边为国籍，一位数学教师为了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分.假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分的分布列及其数学期望、方差.
解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分.
故的分布列为：
∴，
.
2 4
练习
题型二：离散型随机变量的方差的性质的应用
例2.已知随机变量的分布列为：
(1)求的方差及标准差；
(2)设，求.
解：(1)
.
∴
(2)∵，∴.
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练习
方法技巧：
关于方差性质的四点说明
(1)当时，，即常数的方差等于0.
(2)当时，，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身.
(3)当时，，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
(4)当均为非零常数时，随机变量的方差.
练习
变2.已知随机变量的分布列如图，若.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
解：由分布列的性质，得，解得，
∵，∴.
(1)
(2)∵，∴.
练习
题型三：方差的实际应用
例3.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个互相独立的随机变量与，且，的分布列为：
(1)求的值；
(2)计算的期望与方差，并依次分析甲、乙技术状况.
解：(1)由离散型随机变量分布列的性质得，解得.同理，解得.
(2)，，
.由于，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.
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练习
方法技巧：
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.
练习
变3.甲()、乙()两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
试评定这两个保护区的管理水平.
解：甲保护区违规次数的数学期望和方差为，，
乙保护区违规次数的数学期望和方差为，，
因为，，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.
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课堂小结
1.离散型随机变量的方差：
(1)设离散型随机变量的分布列为：
则称
为随机变量的方差，有时也记为，其算术平方根为随机变量的标准差，记为.
(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
课堂小结
(3)两点分布的方差：
若服从两点分布，则(其中为成功概率).
2.方差的性质：
(是常数).
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P70的练习1——3题；
(3)课本P71的习题7.3的第1、5、7、8题.