冀教版七年级下册第7章 相交线与平行线中的思想方法 专题(含解析)

专题：相交线与平行线中的思想方法　　　　　　　　　
类型一　方程思想
【方法点拨】方程思想主要应用在有关角的度数的计算中，当已知角之间的关系比较复杂或不容易表达时，利用方程思想可以使解题过程变得比较简洁、清楚．
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为________．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．
3．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.
(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；
(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．
类型二　分类讨论思想
【方法点拨】在本章中，过一点作已知直线的垂线与过一点作已知直线的平行线等问题中，当点的位置不确定时，需要对点的位置进行分类讨论．在有关角的计算问题中，还常对某条射线在角的内部或外部进行分类讨论．
4．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA、PB.若PA⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB的度数是__________．
5．已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，画出图形，并求∠BOC的度数．
6．在∠ABC与∠DEF中， AB∥EF，BC∥DE.(1)请你探究∠ABC与∠DEF的关系；
(2)请你用上面的结论解决下面问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是________________．
类型三　转化思想
一、利用转化思想求角度
【方法点拨】当一个角的度数不能直接求出时，常常转化为求它的补角、余角或与它相等的角，进而求出这个角的度数．
7．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD.若∠1＝60°，则∠2的度数是(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
8．如图，已知AB∥CD，∠C＝100°，且∠B∶∠D＝2∶3，求∠A的度数.
9．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β，求α＋β的值．
二、利用转化思想求图形周长或面积
【方法点拨】当图形的周长或面积不能直接求出时，常常利用平移的性质把不规则图形的周长、面积转化为规则图形的周长、面积，或者是规则图形的周长、面积的和差形式．
10．如图①，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路，为求草坪面积，我们进行了如图②所示的平移变换，则草坪的面积为________m2.
11．如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为______cm2.
第11题图　第12题图
12．如图，直角三角形AOB的周长为100，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为________.
13.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；
(2)求四边形AEFC的周长．
参考答案与解析
1．160°
2．解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°.∵∠COE∶∠AOC＝2∶5，设∠COE＝2x，则∠AOC＝5x，∠AOE＝∠AOC－∠COE＝3x，∴3x＝90°，解得x＝30°，∴∠COE＝60°，∠AOC＝150°.∵OF平分∠AOC，∴∠COF＝75°，∴∠DOF＝180°－∠COF＝105°.
3．解：(1)∵BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，∴∠EBC＝2∠DBC＝60°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC＝120°.∵AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴∠A＝60°.
(2)存在∠DFB＝∠DBF.设∠DBC＝x°，则∠EBC＝2x°，∠ABC＝2∠EBC＝4x°.∵7∠DBC－2∠ABF＝180°，∴7x°－2∠ABF＝180°，∴∠ABF＝°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝°，∠DBF＝∠CBF－∠DBC＝°.∵AD∥BC，∴∠DFB＋∠CBF＝180°，∴∠DFB＝°，∴∠DFB＝∠DBF.
4．50°或130°
5．解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°.∵∠AOB∶∠AOC＝2∶3，∴∠AOB＝60°.如图，∠AOB的位置有两种：①当∠AOB在∠AOC内时，∠BOC＝90°－60°＝30°；②当∠AOB在∠AOC外时，∠BOC＝90°＋60°＝150°.综上所述，∠BOC的度数为30°或150°.
6．解：(1)如图①，∠ABC＝∠DEF.理由如下：∵AB∥EF，∴∠1＝∠DEF.∵BC∥DE，∴∠1＝∠ABC.∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∠ABC＋∠DEF＝180°.理由如下：∵AB∥EF，∴∠1＋∠DEF＝180°.∵BC∥DE，∴∠1＝∠ABC.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.∴∠ABC与∠DEF相等或互补．
(2)30°，30°或70°，110°　解析：设另一个角为x°，根据以上结论，得2x－30＝x或2x－30＋x＝180，解得x＝30或x＝70，故答案为30°，30°或70°，110°.
7．C
8．解：∵AB∥CD，∴∠C＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°，∴∠B＝180°－∠C＝80°.∵∠B∶∠D＝2∶3，∴∠D＝120°，∴∠A＝180°－∠D＝60°.
9．解：如图，过点C作CE∥m.∵m∥n，∴CE∥n，∴∠1＝α，∠2＝β.∵∠1＋∠2＝90°，∴α＋β＝90°.
10．1344　11.6
12．100　解析：如图，过小直角三角形的直角顶点作AO，BO的平行线，则小直角三角形与AO平行的边的长度和等于AO，与BO平行的边的长度和等于BO.因此小直角三角形的周长等于直角△AOB的周长．故这n个小直角三角形的周长为100.
13．解：(1)∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，∴AD＝BE＝CF，EF＝BC＝3cm.∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝CF＝＝3(cm)．
(2)四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．