冀教版数学七年级下册8.5.1 平方差公式导学课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
8.5 乘法公式
第8章 整式的乘法
第1课时 平方差公式
逐点
学练
本节小结
作业提升
学习目标
本节要点
1
学习流程
2
平方差公式的特征
平方差公式
利用平方差公式简便计算
课时导入
用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加．
(m+a)(n+b)= mn+mb+na+ab
多项式乘法法则：
课时导入
如果(x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系，又将得到
什么特殊结果呢？
这就是从本课起要学习的内容.
如果m=n，且都用x表示，那么上式就成为：
(x+a)(x+b)= x2+ (a+b)+ab
这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的二项式的乘积.
知识点
平方差公式的特征
感悟新知
1
1. 计算：
(1) (x+1)(x－1)=_______.
(2) (a+2)(a－2)=_______.
(3) (2x+1)(2x－1)=________.
(4) (a+b)(a－b)=________.
感悟新知
2. 上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？
3. 乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？
归 纳
感悟新知
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差．
这个公式叫做平方差公式.
感悟新知
例 1
解：
计算：
(1) (2x+y)(2x－y)；
(2)
(3) (－5a+3b)(－5a－3b) .
(1) (2x+y)(2x－y)
= (2x)2－y2
=4x2－y2 .
感悟新知
(2)
(3) (－5a+3b)(－5a－3b)
=(－5a)2－(3b)2
=25a2－9b2
归 纳
感悟新知
本题运用转化思想求解．将不符合平方差公式
形式的式子化为符合平方差公式形式的式子，常见
转化方法有位置变化、符号变化、系数变化、指数
变化等．
易错警示：用公式时，当a、b表示的不是单独数字
或字母时，要用括号括起来．
感悟新知
1.
解：
计算：
(1)(x－2)(x＋2) ； (2)(x＋2y)(x－2y) ；
(3)(3m＋2n)(3m－2n) ； (4)(4a＋3b)(3b－4a).
(1)(x－2)(x＋2)＝x2－4.
(2)(x＋2y)(x－2y)＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3)(3m＋2n)(3m－2n)＝(3m)2－(2n)2＝9m2－4n2.
(4)(4a＋3b)(3b－4a)＝(3b)2－(4a)2＝9b2－16a2.
感悟新知
2.
解：
下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正
过来.
(1)(－m－2n)(m－2n)＝m2－2n2
(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2.
(1)不正确，应为(－m－2n)(m－2n)＝－(m＋2n)(m－2n)＝－[m2－(2n)2]＝4n2－m2.
(2)不正确，应为(－a＋b)(－a－b)＝－(b－a)(b＋a)＝－(b2－a2)＝a2－b2.　
感悟新知
3.
平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，b(　　)
A．是数或单个字母 B．是单项式
C．是多项式 D．是单项式或多项式
D
感悟新知
4.
下列计算能运用平方差公式的是(　　)
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.
D
感悟新知
5.
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的
是(　　)
A．(2a＋b)(－2a＋b)
B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b)
D．(a＋b2)(a2－b)
A
感悟新知
知识点
平方差公式
2
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中
有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘
式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪
个数相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或
多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
感悟新知
例2
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)·(2y－x)，
其中x＝1，y＝2.
先利用平方差公式将原式化简合并，再将字
母的值代入求值．
导引：
原式＝(2x－y)(2x＋y)－(2y＋x)(2y－x)＝(2x)2－y2－[(2y)2－x2]＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5－20＝－15.
解：
归 纳
感悟新知
解答本类题的关键是先利用平方差公式将原式
化简，同时有同类项的要合并同类项，再将字母的
值代入即可得到解决．
感悟新知
1.
计算：
(1)(3x＋4)(3x－4) ；
(2)(3a－4b)(－4b－3a) ；
(3) ；
(4) .
感悟新知
(1)(3x＋4)(3x－4)＝(3x)2－42＝9x2－16.　
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b2－9a2.
(3)
(4)
解：
感悟新知
2.
解下列方程：
(1)4x2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ；
(2)2(x＋3)(3－x)＋2x＋2x2＝20.
(1)4x2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
4x2＋x－(4x2－9)＝1，
4x2＋x－4x2＋9＝1，
x＋9＝1，
x＝－8.
解：
感悟新知
(2)2(x＋3)(3－x)＋2x＋2x2＝20，
2(9－x2)＋2x＋2x2＝20，
18－2x2＋2x＋2x2＝20，
2x＋18＝20，
2x＝2，
x＝1.
感悟新知
3.
已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为________．
下列运算正确的是(　　)
A．x3＋x5＝x8
B．x2·x5＝x10
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
D．(2x)5＝2x5
3
C
4.
感悟新知
5.
下列计算正确的是(　　)
A．b3·b3＝2b3
B．(a＋2)(a－2)＝a2－4
C．(ab2)3＝ab6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
B
感悟新知
6.
下列计算正确的是(　　)
A．2a3＋3a3＝5a6
B．(x5)3＝x8
C．－2m(m－3)＝－2m2－6m
D．(－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－4
D
感悟新知
7.
若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
B
感悟新知
8.
若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值为(　　)
A．14 B．－14
C．45 D．－45
D
感悟新知
9.
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(　　)
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D
感悟新知
10.
如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　　)
A．a2＋4　　　　　
B．2a2＋4a
C．3a2－4a－4
D．4a2－a－2
C
感悟新知
知识点
利用平方差公式简便计算
3
例 3
运用平方差公式计算：
(1)2 014×2 016－2 0152；(2)1.03×0.97；
(3)40 ×39 .
感悟新知
在(1)中，2 014与2 016都与2 015相差1，即2 014
＝2 015－1，2 016＝2 015＋1；在(2)中1.03与0.97
都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；
在(3)中40 与39 都与40相差 ，即40 ＝40
＋ ，39 ＝40－ ，因此可运用平方差公式进
行计算．
导引：
感悟新知
(1)原式＝(2 015－1)(2 015＋1)－2 0152＝2 0152－1－2 0152＝－1；
(2)原式＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032＝1－
0.000 9＝0.999 1；
(3)原式＝
解：
归 纳
感悟新知
本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计
算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，
再将两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的
和与两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解.
感悟新知
1.
用平方差公式计算 ：
(1)998×1 002； (2)395×405.
(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
＝1 000 000－4＝999 996.
(2)395×405＝(400－5)×(400＋5)＝4002－52
＝160 000－25＝159 975.
解：
感悟新知
2.
解：
用平方差公式计算 ：
(1)99×101； (2)39.8×40.2.
(1)99×101＝(100－1)×(100＋1)＝1002－1
＝10 000－1＝9 999.
(2)39.8×40.2＝(40－0.2)×(40＋0.2)＝402－0.22
＝1 600－0.04＝1 599.96.
感悟新知
3.
解：
(1)用简便方法计算：
19×21=______；29×31=______；39×41=______；49×51=______.
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
399
899
1 599
2 499
(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1(n为正整数)．
感悟新知
4.
解：
运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)
＝(24－1)(24＋1)
＝28－1
＝256－1
＝255.
感悟新知
5.
计算2 0182－2 017×2 019的结果是(　　)
A．1　 　　B．－1　　　
C．2　 　　D．－2
A
感悟新知
6.
计算：
(1)499×501； (2)60 ×59 ；
(3)99×101×10 001.
(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12
＝250 000－1＝249 999.
(2)60 ×59 ＝ ＝602－
＝3 600－ ＝3 599 .
解：
感悟新知
(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001＝(1002－1)×10 001＝9 999×10 001
＝(10 000－1)×(10 000＋1)＝10 0002－1
＝99 999 999.
本节小结
平方差公式
平方差公式
法则：两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差.
式子表示：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
本节小结
平方差公式
下列运算正确的是(　　)
A．(a－2b)(a－2b)＝a2－4b2
B．(－a＋2b)(a－2b)＝－a2＋4b2
C．(a＋2b)(－a＋2b)＝a2－4b2
D．(－a－2b)(－a＋2b)＝a2－4b2
易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错
D
本节小结
点拨：
平方差公式
本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．
请完成教材课后习题
作业提升