浙江省余姚市提前招生考试数学试卷（附答案）

余姚市自主招生考试数学试题
（本卷满分120分　测试时间90分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
1．在如图所示的12个图形中，轴对称图形有( )个．
A．4个 B．3个
C．5个 D．6个
2．John于早上6点x分钟从A地出发， ( http: / / www.21cnjy.com )在当天早上6点y分钟抵达B地．他发现，在这段行程的起点和终点时刻，时针和分针所成的夹角都是110．那么John从A地至B地耗时（ ）
A．35分钟 B．38分钟 C．40分钟 D．44分钟
3. 若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （ ）
A．7 Ｂ．2008 Ｃ．20082 　Ｄ．-20082
4．如图,一个等边三角形的边长与它的一边相 ( http: / / www.21cnjy.com )外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了 ( )
A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈
5．如图，点A HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 在反比例函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图像上，且OA=5，过A作AC⊥y轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，连结AB，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．7 C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
6．二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 取值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时有最大值 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的取值范围为（ 　）
（A） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≤0　　　（B）0≤ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≤3　　　（C） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≥3　　　（D）以上都不对．
7．图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人 ( http: / / www.21cnjy.com )由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）。图2中E为AB的中点，图3中AJ>JB。判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A、甲=乙=丙 B、甲<乙<丙
C、乙<丙<甲 D、丙<乙<甲
8．P是△ABC内一点，AD、BE、CF过点P并且交边BC、CA、AB于D、E、F，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
9．若2x+5y-5=0,则4x×32y=______________
10．记 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
11．圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为
12．如图， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 分别是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上的点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 相交于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 相交于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" △APD HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" △BQC HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则阴影部分的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
13若ax2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根，x1,x2,且x1<214．如图，正方形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的边长为1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 所在直线上的两点，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积为___________
15．方程x2+2x－1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0的解可视为函数y＝x+2的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，那么方程kx2+x－4＝0的两个解其实就是直线 ▲ 与双曲线 ▲ 图象交点的横坐标，若这两个交点均在直线y＝x的同侧，则实数k的取值范围是 .
三、解答题（本大题共5小题，第16-19题各10分，第20题12分，共52分）
16．（1）已知非零实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，试求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值．
（2）已知实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，试求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值．
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
18．在代数学中，为了表述的简洁，常用记号 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，… 来表示以x为自变量的函数．例如，若用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 来表示二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；而 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 表示自变量x取值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时的函数值，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
另外，我们把形如 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
（其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为系数，x为变量）的函数称为关于x的一元n次多项式．
已知关于x的实系数多项式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足：对任意实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，以下两式恒成立．
（ⅰ） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ； （ⅱ） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
试解答如下两个问题：
（1）证明：函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是一次函数； （2）求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的表达式．
19．设抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°.
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交抛物线于另一点E. 若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标.
（3）在（2）的条件下，△BD ( http: / / www.21cnjy.com )P的外接圆半径等于________________.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
20．在ΔABC中，AB=AC，BC=6，sinB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)如图(1)，当点P为AB的中点时，求CD的长；
(2)如图(2)，过点P作直线BC ( http: / / www.21cnjy.com )的垂线，垂足为点E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段 请说明理由；
(3)如图(3)，当PQ经过ΔABC的重心G时，求BP的长．
2012年
余姚市自主招生考试数学答题卷
（本卷满分120分　测试时间90分钟）　姓名 学号
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
9.　　 　　　 10． 　 　
11．　　　　　　 12． 　　　　 　　
13．　　　　　　 14．　　　 　　　
15．　　 　　 　 　　　　　　 　
三、解答题（本大题共5小题，第16、17、18、19题各10分，第20题12分，共52分）
16．（1）已知非零实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，试求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值．
（2）已知实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，试求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值．
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
18．在代数学中，为了表述的简洁，常用记号 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，… 来表示以x为自变量的函数．例如，若用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 来表示二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；而 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 表示自变量x取值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时的函数值，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
另外，我们把形如 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
（其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为系数，x为变量）的函数称为关于x的一元n次多项式．
已知关于x的实系数多项式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足：对任意实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，以下两式恒成立．
（ⅰ） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ； （ⅱ） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
试解答如下两个问题：
（1）证明：函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是一次函数； （2）求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的表达式．
19． 设抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°.
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交抛物线于另一点E. 若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标.
（3）在（2）的条件下，△ ( http: / / www.21cnjy.com )BDP的外接圆半径等于________________.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
20． （本题满分12分）在ΔABC中，AB=AC，BC=6，sinB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)如图(1)，当点P为AB的中点时，求CD的长；
(2)如图(2)，过点P作直线BC的垂线，垂 ( http: / / www.21cnjy.com )足为点E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段 请说明理由；
(3)如图(3)，当PQ经过ΔABC的重心G时，求BP的长．
余姚市自主招生考试数学参考答案
（本卷满分120分　测试时间90分钟）　
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A D C A
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
9.　　32 　　　 10． 　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 　
11．　　90　　　　 12． 　　40　　　　
13．　　-4/15小于a小于0　　　 14．　　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 　　　　
15． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
三、解答题（本大题共5小题，第16、17、18、19题各10分，第20题12分，共52分）
16．解：
（1）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 得， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， ………………2分
将b消去可得， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ………………4分
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ………………5分
（2）依题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ………………7分
对等式两端分别平方可得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
将两式的左右对应相加可得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ………………9分
即知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ………………10分
17. 解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°，
∠CED＋∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ………………4分
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 　………………8分　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" …………10分
（解法2： 如图3－278，作FH⊥CE于H）
18. 解：（1）设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （c为常数），则在（ⅰ）式中令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 可得，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ………………4分
以x代y，即知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 是一次函数． ………………5分
（2）由（ⅰ）式知， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ……6分
代入（ⅱ）式得到， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
对任意实数恒成立． ………………8分
因此， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
但同时注意到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，经检验符合题意． ………………10分
19．解答:21、（1）.M=4，y=1/2x -3/2x-2………………2分
(2)p1(13/7,0) p2(-22/5,0) ………………6分
（3）3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" /14或3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" /5………………10分
20．(1)过点P作PF∥AC交BC于F，∵P为AB的中点， F为BC的中点，∴FC=3，可证ΔPFD≌ΔQCD得DC=FD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ------2分．
(2) 当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变．-----3分
①如果点P在线段AB上时，过点P作PF∥AC交BC于F，由AB=AC，可证PB=PF，
∵PE⊥BC，∴BE=FE，再证ΔPFD≌ΔQCD得DC=FD，∴ED= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BC=3-----5分．
②如果点P在线段BA的延长线上时，同理可得ED=3------6分．
∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变-------7分．
（3）作PE⊥BC于点E，连结AG并延长交BC于点H，∵AB=AC，G为ΔABC的重心，∴AH⊥BC，BH=CH=3，由sinB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得AH=4，GH= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ---9分
设BP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则PE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，BE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∵ BH= ED=3，∴HD=BE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ---10分，
由ΔDGH∽ΔDPE得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，BP= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
………………12分
第1题
x
O
A
C
B
第5题
第4题
（第14题）
P
A
B
C
D
E
F
Q
（第12题）