2014年中考数学临考点拨系列（12份）

1.7 因动点产生的相切问题
例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．
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图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．
请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切．拖动点P使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙Q都内切．
思路点拨
1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．
2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．
3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．
满分解答
（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．
在Rt△OAH中，OA＝3， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
由此得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．定义域是0＜x≤6．
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图4 图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．
在Rt△QPD中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，可得圆心距OM＝3－r．
由⊙M与⊙Q外切， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，可得圆心距 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△QOM中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，OM＝3－r， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，由勾股定理，得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图6 图7 图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？
同样的，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，可得圆心距OM＝r－3．
由⊙M与⊙Q内切， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，可得圆心距 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△QOM中，由勾股定理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得r＝9．
例2 2012年河北省中考第25题
如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北25”，拖 ( http: / / www.21cnjy.com )动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．
答案 （1）点C的坐标为(0,3)．
（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
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图2 图3
（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；
如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；
如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．
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图4 图5 图6
例3 2012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一
动感体验
请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．
请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．
答案 （1）因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．因此PQ//BC．
（2）如图2，由PQ＝PH＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．
如图4，由PQ＝PC，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图5，当P、C重合时，t＝2．
因此，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或1＜t≤ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
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图2 图3 图4 图51.8 因动点产生的线段和差问题
例1 2013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．
（1）如图1，求点E的坐标；
（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
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图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
请打开超级画板文件名“13天津25”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
思路点拨
1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．
2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．
3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．
满分解答
（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得OE＝1．所以E(0,1)．
（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．
在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．
所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．
所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．
此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．
②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
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图3 图4
考点伸展
第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，
所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．
当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．
在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当A′、B、E′′三点共线时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
例2 2012年滨州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、
B(2, 0)三点．
（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12滨 ( http: / / www.21cnjy.com )州24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM＋OM最小（如图3）．
请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M， M落在线段AB上时， AM＋OM最小．
答案 （1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 。 （2）AM＋OM的最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
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图2 图3
例3 2012年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“1 ( http: / / www.21cnjy.com )2山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．
思路点拨
1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．
2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．
满分解答
（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，
得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．
直线AC的解析式是y＝3x＋3．
（2）Q1(2, 3)，Q2( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )，Q3( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )．
（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．
联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．
作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．
在Rt△BAF中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，AB＝4，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
在Rt△BB′E中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以点B′的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)．
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
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图2 图3
考点伸展
第（2）题的解题思路是这样的：
①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)．
②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．
解方程－x2＋2x＋3＝－3，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以点Q的坐标为( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )或 ( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )．
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图4 图5因动点产生的等腰三角形问题
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
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图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“13虹 ( http: / / www.21cnjy.com )口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．
请打开超级画板文件名“13虹口25”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．
满分解答
（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
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图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
在Rt△ABC中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②如图6，当QC＝QD时，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，可得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以QN＝CN－CQ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图2所示）．
此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
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图5 图6
考点伸展
如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
例2 2012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动 ( http: / / www.21cnjy.com )点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，BO＝CO，得PH＝BH＝2．
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )、(1, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
此时点M的坐标为(1, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )或(1, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
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图3 图4 图5
例3 2012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )图1
动感体验
请打开几何画板文件名“1 ( http: / / www.21cnjy.com )2临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．
请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以点B的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当P在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
综合①、②、③，点P的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，如图2所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得抛物线的顶点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
例4 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城 ( http: / / www.21cnjy.com )28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
（1）解方程组 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所以点A的坐标是(3，4)．
令 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为定值， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图5，当AP＝AQ时，解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如7，当PA＝PQ时，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
综上所述，t＝1或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或5或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，△APQ是等腰三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 来求解．
例5 2010年南通市中考第27题
如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是 ( http: / / www.21cnjy.com )大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通2 ( http: / / www.21cnjy.com )7”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．
拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．
思路点拨
1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．
2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．
3．第（3）题头绪复杂，计 ( http: / / www.21cnjy.com )算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．整理，得y关于x的函数关系为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
(2)如图2，当m＝8时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此当x＝4时，y取得最大值为2．
(3) 若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得m＝2（如图4）．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：
由第（1）题得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 总有一个根 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．
例 6 2009年江西省中考第25题
如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“09江西25” ( http: / / www.21cnjy.com )，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，△PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分．
当N在DC上时，△PMN的形 ( http: / / www.21cnjy.com )状发生变化，但是△CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM＝PN”、“MP＝MN”和“NP＝NM”，可以显示△PMN为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的中位线EF＝4，这是x的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等．
2．当点N在线段AD上时，△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．
3．分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．
满分解答
（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．
在Rt△BEG中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∠B＝60°，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
所以点E到BC的距离为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．
因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．
①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．
过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．
在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．
所以BG＝PQ＝1．
因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．
在Rt△PNH中，NH＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，PH＝2，所以PN＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．
因此△PMN的周长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ＋ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ＋4．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图4 图5
②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．
如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．
在Rt△PCM中，PM＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∠PCM＝30°，所以MC＝3．
此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．
如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，x＝GM＝GC－MC＝5－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．
又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．
此时x＝4．
综上所述，当x＝2或4或5－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时，△PMN为等腰三角形．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图6 图7 图8
考点伸展
第（2）②题求等腰三角形PMN可以这样解：
如图8，以B为原点，直线BC为x轴建立坐标系，设点M的坐标为（m，0），那么点P的坐标为（m， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ），MN＝MC＝6－m，点N的坐标为（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）．
由两点间的距离公式，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
当PM＝PN时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
当MP＝MN时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
当NP＝NM时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2013年山西省中考第26题
如图1，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．
请打开超级画板文件名“13山西26” ( http: / / www.21cnjy.com )，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．
思路点拨
1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．
2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
满分解答
（1）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．
（2）直线DB的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
由点P的坐标为(m, 0)，可得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以MQ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．
解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得m＝4，或m＝0（舍去）．
此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．
所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．
所以四边形CQBM是平行四边形．
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图2 图3
（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．
考点伸展
第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
①如图3，当∠DBQ＝90°时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得x＝6．此时Q(6,－4)．
②如图4，当∠BDQ＝90°时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得x＝－2．此时Q(－2,0)．
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图3 图4
例1 2012年广州市中考第24题
如图1，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．
请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．
思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．
2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
满分解答
（1）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．
（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．
由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点D的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．
而D′H＝DH，所以D′G＝3DG HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以D′的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．
联结GM，那么GM⊥l．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△EM1A中，AE＝8， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以M1A＝6．
所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
根据对称性，直线l还可以是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
考点伸展
第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．
因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．
例3 2012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
动感体验
请打开几何画板文件名“12杭州22”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．
请打开超级画板文件名“1 ( http: / / www.21cnjy.com )2杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．
思路点拨
1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．题目中的k都是一致的．
2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当k＝－2时，反比例函数的解析式是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）在反比例函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．
当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的对称轴是直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 图1
所以当k＜0且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．
（3）抛物线的顶点Q的坐标是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，A、B关于原点O中心对称，
当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
由OQ2＝OA2，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图2）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图3）．
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图2 图3
考点伸展
如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．
问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．
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图4 图5
例4 2011年浙江省中考第23题
设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
（1）已知直线① HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；② HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；③ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；④ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．
答案
（1）直线①和③是点C的直角线．
（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得OP＝6或OP＝1．
如图2，当OP＝6时，l1： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， l2：y＝－2x＋6．
如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图2 图3
例5 2010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发 ( http: / / www.21cnjy.com )向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．
思路点拨
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．
2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．
3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．
4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．
满分解答
(1) 因为抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 经过原点，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （舍去）．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以点B的坐标为（2，4）．
(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．
如图5，当P、Q重合时，两圆内切， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图6，当两圆外切时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图4 图5 图6
例6 2009年嘉兴市中考第24题
如图1，已知A、B是线段MN上的两点， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“0 ( http: / / www.21cnjy.com )9嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．
思路点拨
1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．
2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．
3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．
满分解答
（1）在△ABC中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
（2）①若AC为斜边，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，此方程无实根．
②若AB为斜边，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
③若BC为斜边，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
因此当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时，△ABC是直角三角形．
（3）在△ABC中，作 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 于D，设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，△ABC的面积为S，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
①如图2，若点D在线段AB上，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．移项，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．两边平方，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．两边平方，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）．
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时（满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 取最大值 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，从而S取最大值 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
②如图3，若点D在线段MA上，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
同理可得， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）．
易知此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
综合①②得，△ABC的最大面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
考点伸展
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，
例如在图2中，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 列方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．所以
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
因此
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
例 7 2008年河南省中考第23题
如图1，直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08河南2 ( http: / / www.21cnjy.com )3”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．
观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
满分解答
（1）直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
定义域为2＜t≤5．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图2 图3
②把S＝4代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或者 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，△MON为直角三角形．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图6 图7
例8 2008年河南省中考第23题
如图1，直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08 ( http: / / www.21cnjy.com )河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．
观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
满分解答
（1）直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．
Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．
点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．
因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．
在Rt△BNH中，BN＝t， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．定义域为2＜t≤5．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图2 图3
②把S＝4代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （舍去负值）．
因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或者 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，△MON为直角三角形．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图6 图72.2 由面积产生的函数关系问题
例1 2013年菏泽市中考第21题
如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．
2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．
3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．
满分解答
（1）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得A(0,3)，C(4,0)．
由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．
因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．
将B(－4,0)、D(8,3)分别代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，c＝－3．所以该二次函数的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）①设点P、Q运动的时间为t．
如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当PQ⊥AC时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
由于S△APQ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
S△ACD＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以当AP＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，四边形PDCQ的最小值是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”
除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．
这时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图4所示）．
( http: / / www.21cnjy.com )
图4
例2 2012年广东省中考第22题
如图1，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点 ( http: / / www.21cnjy.com )E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖 ( http: / / www.21cnjy.com )动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．
思路点拨
1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
（1）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．
所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
而 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，AE＝m，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
m的取值范围是0＜m＜9．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
（3）如图2，因为DE//CB，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，△CDE的面积最大，最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
此时E是AB的中点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图3，作EH⊥CB，垂足为H．
在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
在Rt△BEH中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当⊙E与BC相切时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
考点伸展
在本题中，△CDE与△BEC能否相似？
如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．
例3 2012年河北省中考第26题
如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展 如图2，点D在AC上（ ( http: / / www.21cnjy.com )可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
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图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．
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图3 图4
答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．
拓展 （1）S△ABD＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，S△CBD＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
由于AC边上的高 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以x的取值范围是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ≤x≤14．
所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．
（3）x的取值范围是x＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或13＜x≤14．
发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
例4 2011年淮安市中考第28题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．
请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点 ( http: / / www.21cnjy.com )F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．
思路点拨
1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．
2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．
满分解答
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．
（2）①如图1，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②如图2，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
于是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
③如图3，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图9，当G落在AC上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图8 图9
例5 2011年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11山西26 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成．
请打开超级画板文件名“11山西 ( http: / / www.21cnjy.com )26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．点击按钮“函数表达式”， S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22.
思路点拨
1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．
2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．
3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．
满分解答
（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）①当M在OC上，Q在AB上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△OPM中，OP＝t， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△AQE中，AQ＝2t， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
于是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②当M在OC上，Q在BC上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因此当M、Q都在BC上，相遇前， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，PM＝4， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
（3）①当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，
所以当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，S最大，最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因为抛物线开口向下，所以当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，S最大，最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
③当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因为S随t的增大而减小，所以当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，S最大，最大值为14．
综上所述，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，S最大，最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
考点伸展
第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？
此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图5
例6 2011年重庆市中考第26题
如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点 ( http: / / www.21cnjy.com )t，当t＝1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
思路点拨
1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．
2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．
3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．
4．本题运算量很大，多用到1∶2∶ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，注意对应关系不要错乱．
满分解答
（1）在Rt△ABC中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以∠BAC＝30°．
如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，
在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1． 图2
（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3 图4 图5
（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO．
在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．
△AEH的形状保持不变，AH＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．
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图6 图7 图8
①当AO＝AH时，解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图7）；
解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图8）．
②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）．
③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" AH＝3AE．
解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得t＝2（如图10）；解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得t＝4（如图11）．
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图9 图10 图11
考点伸展
图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2013年宁波市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．
①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13宁波26 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
答案
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．
（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，
因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
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图2 图3 图4
（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：
由△DMB∽△BNF，知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．
②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．
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图5 图6
例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
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图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点 ( http: / / www.21cnjy.com )O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．
请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别 ( http: / / www.21cnjy.com )点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．
思路点拨
1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．
2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．
3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．
满分解答
在Rt△ABC中，AC＝6， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，
所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4
（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．
在Rt△BOM中，BM＝2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
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图5 图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．
当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
在Rt△ONF中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．
于是得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．定义域为0＜x＜5．
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图7 图8
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△BMF中，BM＝2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
在Rt△OMF中，OF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
在Rt△BPQ中，BP＝1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
在Rt△OPQ中，OF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
①当MO＝MP＝1时，方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 没有实数根．
②当PO＝PM＝1时，解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，可得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
③当OM＝OP时，解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，可得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
例3 2012年连云港市中考第26题
如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出 ( http: / / www.21cnjy.com )发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝ ( http: / / www.21cnjy.com )MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．
请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．s与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．
答案 （1）当M、N都在O右侧时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．因此MN与AB不平行．
（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．
②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．
③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得t＝2．
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图2 图3 图4
（3）①如图2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②如图3， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
③如图4， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
综合①、②、③，s HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．
例4 2011年上海市中考第25题
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
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图1 图2 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，从图象中可以看到，y是x的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E在AC和BC上，各存在一个时刻，△AME∽△ENB．
请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，当点E与点C重合时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．点E在边AC上时，y是x的一次函数．当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。
思路点拨
1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．
2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中．
3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．
满分解答
（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△ACP中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△CMP中，因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）在Rt△AEP中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△EMP中，因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
于是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
定义域为0＜x＜32．
（3）①如图3，当E在AC上时，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
解得x＝AP＝22．
②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．
在Rt△BEP中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
在Rt△EMP中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
这时由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．
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图3 图4 图5
考点伸展
如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、 ( http: / / www.21cnjy.com )M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．1.6 因动点产生的面积问题
例1 2013年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．
（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连结BC，过点A作直线AE//BC， ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13苏州29” ( http: / / www.21cnjy.com )，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．
请打开超级画板文件名“13苏州29” ( http: / / www.21cnjy.com )，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．
思路点拨
1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．
2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．
3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．
4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．
满分解答
（1）b＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点B的横坐标为－2c．
（2）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，设E HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
过点E作EH⊥x轴于H．
由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当C、D、E三点在同一直线上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （舍去）．
所以抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．
直线BC的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．
当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．
综上所述，0＜S＜5．
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．
当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．
例 2 2012年菏泽市中考第21题
如图1，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动 ( http: / / www.21cnjy.com )点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
思路点拨
1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是
△A′B′O面积的3倍．
2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．
3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．
满分解答
（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．
因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，
代入B′(0, 2)，得a＝1．
所以该抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．
（2）S△A′B′O＝1．
如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．
如图2，作PD⊥OB，垂足为D．
设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．
所以点P的坐标为(1，2)．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．
考点伸展
第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．
例 3 2012年河南省中考第23题
如图1，在平面直角坐标系中，直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．
在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以PD的最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
BM＝4－m．
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
例 4 2011年南通市中考第28题
如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (x＞0)交于点B(2，1)．过点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (p＞1)作x轴的平行线分别交曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (x＞0)和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”，拖 ( http: / / www.21cnjy.com )动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．
思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．
2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．
满分解答
（1）因为点B(2，1)在双曲线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上，所以m＝2．设直线l的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所以直线l的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）由点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (p＞1)的坐标可知，点P在直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1， 2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．
当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．
①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （此时点P在x轴下方，舍去）．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （此时点P在x轴下方，舍去）．此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．
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图5 图6
例5 2010年广州市中考第25题
如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时 ( http: / / www.21cnjy.com )，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10广州 ( http: / / www.21cnjy.com )25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．
思路点拨
1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．
2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．
3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．
4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．
满分解答
(1)①如图2，当E在OA上时，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 可知，点E的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，AE＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，BE＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．此时
S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD
＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
(2)如图4，因为四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．
作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．
设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以重叠部分菱形DMEN的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，如图7所示．
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图5 图6 图7
例 6 2010年扬州市中考第28题
如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F ( http: / / www.21cnjy.com )与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
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图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“10扬州28”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。
思路点拨
1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．
2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．
3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．
满分解答
(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
(2) ①如图2，当F在AC上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．在Rt△AEF中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
如图3，当F在BC上时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．在Rt△BEF中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
②当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ；
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因此，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，y的最大值为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．此方程无实数根．
例7 2009年兰州市中考第29题
如图1，正方形 ABCD中，点A ( http: / / www.21cnjy.com )、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度速度不 ( http: / / www.21cnjy.com )变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“09兰州29”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．
思路点拨
1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线 ( http: / / www.21cnjy.com )段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．
2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．
3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．
4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．
满分解答
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．
在Rt△ABE中，BE＝8，A ( http: / / www.21cnjy.com )E＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．
（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 轴于N．因为PM//BE，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．于是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
设△OPQ的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (平方单位)，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，定义域为0≤ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ≤10．
因为抛物线开口向下，对称轴为直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )．
（4）当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时, OP与PQ相等．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图3 图4
考点伸展
附加题的一般思路是：点Q的横 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．
附加题也可以这样解：
①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，但这时点P不在BC上．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图5 图61.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy ( http: / / www.21cnjy.com )中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．
请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点 ( http: / / www.21cnjy.com )C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。
思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．
2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．
3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以A HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
设y＝ax(x－2)，代入点A HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，可得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 图2
所以抛物线的表达式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
得抛物线的顶点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、B(2,0)、M HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以∠ABO＝30°， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．此时C(4,0)．
②如图4，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．此时C(8,0)．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．
如图5，因为△BOM是30 ( http: / / www.21cnjy.com )°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
( http: / / www.21cnjy.com )
图5
例2 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内 ( http: / / www.21cnjy.com )是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否 ( http: / / www.21cnjy.com )存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖 ( http: / / www.21cnjy.com )动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )．
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．
因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．
如图3，联结OP．
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝2b．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以点P的坐标为( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
（3）由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得A(1, 0)，OA＝1．
①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，△BQA∽△QOA．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以符合题意的点Q为( HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )．
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△QOA．
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．
所以C、Q、B三点共线．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．此时Q(1,4)．
( http: / / www.21cnjy.com )
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点 ( http: / / www.21cnjy.com )是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例3 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两 ( http: / / www.21cnjy.com )种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．
满分解答
（1）将M(2, 2)代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得m＝4．
（2）当m＝4时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以C(4, 0)，E(0, 2)．
所以S△BCE＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
设对称轴与x轴的交点为P，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以点H的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
整理，得0＝16．此方程无解．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得x＝2m．所以F′ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以BF′＝2m＋2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
综合①、②，符合题意的m为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
例4 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为( ( http: / / www.21cnjy.com )1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是 ( http: / / www.21cnjy.com )：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，顶点为M（1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面积 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，由此得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．由于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当S=36时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的 ( http: / / www.21cnjy.com )情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例5 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作 ( http: / / www.21cnjy.com )PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
, ( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， ( http: / / www.21cnjy.com ) 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，代入点C的 坐标（0，－2），解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．所以抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
（2）设点P的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
如果 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 不合题意．
如果 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．此时点P的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．此时点P的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
解方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
设点D的横坐标为m HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，那么点D的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，点E的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，那么
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
由于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
例6 2008年苏州市中考第29题
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08 ( http: / / www.21cnjy.com )苏州29”，拖动表示a的点在y轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点E1和E3时，直线NE1、NE3和直线AB交于同一个点G，此时△POB∽△PGN．当抛物线经过点E2和E4时，直线NE2、NE4和直线AB交于同一个点G，可以体验到，这个点G在点N右侧较远处．
思路点拨
1．求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值．
2．以DN为边画正方形及对角线， ( http: / / www.21cnjy.com )可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a．
3．当E在x轴上方时，∠GNP＝45°，△POB∽△PGN，把 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 转化为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
4．当E在x轴下方时，通过估算得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 大于10 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
满分解答
（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）由抛物线的解析式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得
点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，点N的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
因此MN的中点D的坐标为（2，0），DN＝3．
因为△AOB是等腰直角三角形，如果△DNE与△AOB相似，那么△DNE也是等腰直角三角形．
①如图2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或E2（2，－3）．
将E1（2，3）代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
此时抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
将E2（2，－3）代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
此时抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
②如果DN为斜边，那么点E的坐标为E3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或E4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
将E3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
此时抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
将E4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
此时抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED PBrush
图2 图3
对于点E为E1（2，3）和E3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，直线NE是相同的，∠ENP＝45°．
又∠OBP＝45°，∠P＝∠P，所以△POB∽△PGN．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
对于点E为E2（2，－3）和E4 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，直线NE是相同的．
此时点G在直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的右侧， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
又 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
考点伸展
在本题情景下，怎样计算PB的长？
如图3，作AF⊥AB交OP于F，那么△OBC≌△OAF，OF＝OC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，PF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，
PA＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动 ( http: / / www.21cnjy.com )点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．
请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动 ( http: / / www.21cnjy.com )点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．
思路点拨
1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．
2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．
满分解答
（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，c＝1．
所以抛物线的解析式是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．
在Rt△AOH中，OA＝1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 图2
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
在Rt△ABH中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（3）直线AB的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
设点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点N的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．
解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．
因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图3）．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3 图4
考点伸展
第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．
由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （如图5）．
所以符合题意的点M有4个： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图5
例2 2012年福州市中考第21题
如图1，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ ( http: / / www.21cnjy.com )为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1 　 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12福州21 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．
请打开超级画板文件名“12福州21 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.
思路点拨
1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．
2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．
满分解答
（1）QB＝8－2t，PD＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝10． 图3
在Rt△APE中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．　
当PQ//AB时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以点Q的运动速度为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（3）以C为原点建立直角坐标系．
如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．
如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．
直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，t）．经验证，点M（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，t）在直线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图4 图5 图6
考点伸展
第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．
设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 解得a＝0，b＝－2，c＝6．
所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．
例3 2012年烟台市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．
请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。
思路点拨
1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．
2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．
3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．
满分解答
（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，
代入点C(3, 0)，可得a＝－1．
所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）因为PE//BC，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以点E的横坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
将 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以点G的纵坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．于是得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．
（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 或 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
考点伸展
第（3）题的解题思路是这样的：
因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．
再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （舍去）．
如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
整理，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （舍去）．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
例4 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图象上，且MO＝MA．二次函数
y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．
思路点拨
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．
2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．
3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．
满分解答
（1）当x＝0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．
如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．将 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得x＝1．所以点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以二次函数的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 或者m＝0（舍去）．
因此点C的坐标为（2，2）．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
考点伸展
如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：
如图4，点C的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图4
例5 2011年江西省中考第24题
将抛物线c1： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长 ( http: / / www.21cnjy.com )度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11江西24 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况．
思路点拨
1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．
2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．
3．根据矩形的对角线相等列方程．
满分解答
（1）抛物线c2的表达式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
（2）抛物线c1： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
抛物线c2： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，与x轴的两个交点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，AB＝2．
抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，与x轴的两个交点为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．
①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：
情形一，如图2，B在D的左侧，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．
情形二，如图3，B在D的右侧，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图2 图3 图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．
考点伸展
第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以△ABM是等边三角形．
同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．
因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．
例6 2010年山西省中考第26题
在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10山西26”， ( http: / / www.21cnjy.com )拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．
思路点拨
1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．
满分解答
(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2) 因为OE＝2EB，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，E(2,4)．
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．所以直线DE的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
(3) 由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )，点N的坐标为(－5, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 )．
②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．
由△NPO∽△DOF，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．此时点N的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ．
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图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．
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图5 图6
例7 2009年江西省中考第24题
如图1，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09江西 ( http: / / www.21cnjy.com )24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．
思路点拨
1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程．
3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．
满分解答
（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．
（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．
把x＝1代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．
因此DE=2．
因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，点F的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （与点E重合，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．
②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
m的变化范围是0≤m≤3．
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图2 图3
考点伸展
在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．
如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．
于是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ．解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （与点CE重合，舍去）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （与点E重合，舍去）．
因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．
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图43.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2013年南京市中考第26题
已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
动感体验
请打开几何画板文件名“13 ( http: / / www.21cnjy.com )南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖动点A可以改变m的值．分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”，再改变实数a，可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等．
请打开超级画板文件名“13南京26 ( http: / / www.21cnjy.com )”， 拖动点A可以改变m的值，竖直拖动点C可以改变a的值．分别点击按钮，可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。
思路点拨
1．第（1）题判断抛物线与x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m＋1,0)，AB＝1．
2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．
3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．
4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．
满分解答
（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，
得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m＋1,0)．
因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
得抛物线的顶点坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因为AB＝1，S△ABC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以a＝±8．
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等．
第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
将 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
将 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 代入 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
( http: / / www.21cnjy.com )
图2 图3
考点伸展
第（1）题也可以这样说理：
由于由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，抛物线的顶点坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
当a＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；
当a＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点．
因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：
由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a[x2－(2m＋1)x＋m2＋m]，
得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＞0．
因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．
例2 2013年南昌市中考第25题
已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推
（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；
（3）探究下列结论：
①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1 An；
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
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备用图（仅供草稿使用）
动感体验
请打开几何画板文件名“13南昌25 ( http: / / www.21cnjy.com )”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．
请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．
思路点拨
1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．
2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．
3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．
满分解答
（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．
所以符合题意的a1＝1．
此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．
将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．
所以符合题意的a2＝4．
此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．
（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；
第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．
（3）①如图1，A0A1＝2．
由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)．
所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．
所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)．
所以An－1 An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．
②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．
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图1
考点伸展
我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．
第一步，由yn＝－(x－a ( http: / / www.21cnjy.com )n)2＋an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．
第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．
第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．
动感体验
请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖 ( http: / / www.21cnjy.com )动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．
请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．
思路点拨
1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．
2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．
满分解答
（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．
（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．
此时yA＝2xA．
解方程－x2＋1＝2x，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以点A的横坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
因此正方形ABCD的面积等于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
②设OP与AB交于点F，那么 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
又因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以∠PAE＝∠PDA．
又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：
如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
又因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．
例2 2013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．
①AF＝AG＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB、AC ( http: / / www.21cnjy.com )为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB、A ( http: / / www.21cnjy.com )C为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点 ( http: / / www.21cnjy.com )A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．
请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．
思路点拨
1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．
2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．
3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？
满分解答
（1）填写序号①②③④．
（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，MF//AC，MG//AB．
所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．
所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
所以MF＝EG，DF＝NG．
所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．
（3）△MDE是等腰直角三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
图4 图5
考点伸展
第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．
如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．
如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．
如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．