6.2.3向量的数乘运算（1）（上课）（人教A版2019必修第二册课件）(共21张PPT)

(共21张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算（1）
第六章 平面向量及其应用
课程目标 学科素养
1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算； 2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行； 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。 1.数学抽象：实数与向量的积的定义；
2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平行；
3.直观想象：共线向量定理；
4.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算。

温故知新
特点: 共起点，连终点，指向被减
1. 向量加法三角形法则:
特点: 首尾连，连首尾
特点: 同起点，连对角
2. 向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
A
O
B
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
问题1已知非零向量 ，作出 和 . 它们的长度和方向分别是怎样的
P
O
C
A
B
Q
M
N
上述这种实数与向量的乘法运算称为向量的数乘.
引入
（这种运算叫做向量的数乘）
探究新知1.向量的数乘的定义
思考：反之，若 ，则 λ=0，对吗？
特殊到一般
①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 有关；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减， ， 无意义；
③和向量 方向相同的单位向量是什么？
注：
问题2如果把非零向量a 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，
向量b 该如何表示？向量a、b之间的关系怎样？
b=3.5a ;
b与a 的方向相同， b的长度是a 的长度的3.5倍.
②几何意义：将 的长度扩大（或缩小）|λ|倍，改变（不改变） 的方向.
探究新知2.向量的数乘的几何意义
练习：1. 任画一向量 ，分别求作向量 .
A
C
B
2. 点C在线段AB上，且 ，则
C
A
B
作法：
M
P
N
特别地，
探究3.向量数乘的运算律
探究4.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有
注意：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.
探究应用一、向量的线性运算
变式1.若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
4b－3a
探究应用二、用已知向量表示其他向量
例2
A
D
C
B
M
√
问题3
探究新知
1.向量共线定理
数学符号表示：
思考：
时，
b＝λa　
（1）为何要求a是非零向量？
（2）b可以是零向量吗？
（3）对任意向量a，b，若b＝λa，那么a与b共线，对吗？
对任意向量a，b，若b＝λa，那么a与b方向相同或相反，对吗？
（4）对任意向量a，b，若a与b共线，那么一定有b＝λa吗？
可以.
对.
×，λ=0，b=0
×，a=0
若a=0，b≠0，a与b共线但此时λa=0，不存在实数λ，使得b＝λa.
根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数λ，使________.也就是说，位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
l
b＝λa　
a
b
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
例3 设e1，e2不共线，判断下列各小题中的向量a与b是否共线.
判断e1，e2系数之比是否相等.
变式3： 设e1，e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2，b=2e1+ke2. 若a与b是共线向量，求实数k的值为 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
-4
A
B
C
D
E
已知两个非零向量
不共线，如果
备选例题
√
课堂小结
1.一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ．它的长度和方向规定如下：
(2)当λ>0时， 的方向与 方向相同；
当λ<0时， 的方向与 方向相反.
当λ=0时， ．
向量共线定理：
3、平面向量共线定理：