6.2.4+向量的数量积（1）（人教A版2019必修第二册课件）(共23张PPT)

(共23张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积（1）
第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积
学习目标
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.
核心素养：
1.数学抽象：数量积的定义；
2.逻辑推理：数量积的性质；
3.数学运算：求平面向量的数量积；
4.直观想象：投影向量。
O
B
A
θ
探究1：向量的夹角：
问题
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
为此，我们引入向量“数量积”的概念。
其中θ是 F 与 s 的夹角 .
W = |F||s| cosθ
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，
S
F
如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
探究2、平面向量数量积的定义：
数量积也称为内积
6.2.4 向量的数量积
探究2、平面向量数量积的定义：
那么它什么时候为正，什么时候为负？
探究应用
例1（教材P17例9改编）．已知|a |=5，|b |=1，a与b的夹角 ，求a ·b.
解： a ·b = |a | |b |cosθ
点金：定义法求平面向量的数量积：若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
探究3　投影向量
投影
投影
文字语言
图形语言
探究4：完成教材P19探究　
|a|cos θ e
符号语言
例2　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.
解　∵|b|＝1，∴b为单位向量.
思考：向量a方向上的单位向量还可用怎样的向量表示？
投影向量的求法
(1)向量a在向量 b上的投影向量为|a |cos θ e (其中e为与b同向的单位向量)
，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
(2)向量 b 在向量 a上的投影向量为| b |cos θ (其中e为与a同向的单位向量)
深度学习：投影向量与数量积有何联系
投影向量的求法2
(1)向量 a在向量b 上的投影向量为| a |cos θ e (其中e为与b同向的单位向量)
(2)向量 b 在向量a 上的投影向量为| b |cos θ (其中e为与a同向的单位向量)
例2变式　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求b在a上的投影向量.
法2　a在b上的投影向量为
法1　a在b上的投影向量为
（1）e · a
（2）a⊥b
（3）当a 与b 同向时，
（4）
（5）|a · b| ≤| a | · | b | .
探究6：数量积的性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
a · e
= | a | cos
=
a · b = 0
a · b = | a | | b |，
当a 与b 反向时，
a · b =－| a | | b |，
特别地
探究5：完成教材P9探究
练习（1）已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为（ ）
A.60° B.120° C.135° D.150°
解析　设a与b的夹角为θ，
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
B
（2）设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(　　)
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1
【解析】　e1·e2＝|e1||e2|cos＝±1.
【答案】　C
探究7、平面向量数量积的运算律：
.
O
C
A
A1
B
B1
两边同时乘以c向量的模，得：
例1.已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．
【解析】因为a2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，
得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，
则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，
所以|b|＝3，即向量b的模为3.
备选例题
课堂小结 升华素养
1.“四基”清单：
(1)向量的夹角.
(2)向量数量积的定义.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的性质.
（5）平面向量数量积的运算律
2.方法归纳：数形结合、等价转化.
3.常见误区(1)向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角.
(2)忽视向量数量积不满足结合律.
作业
1.教材P20练习T1-3+P23T11；
2.活页练习6.2.4+预习教材