模块三：圆锥曲线
曲线种类 椭圆 双曲线
关系 （最大）
焦半径关系
离心率 离心率越大，椭圆越扁 离心率越大，双曲线开口越大
面积
焦点位置 分母哪个大，焦点在哪个轴 分母哪个正，焦点在哪个轴
点差法
通径 通过焦点，且垂直于直线的焦点弦，为最短焦点弦；长度为
焦半径范围 同支： 异支：
|||| /
焦半径公式 【焦点在轴】的坐标为（） 【焦点在轴】的坐标为（）
直线位置 时相切
渐近线斜率 / 横：； 竖：
焦点到 渐近线距离 /
内切圆结论 为其中一个切点
弦长公式 （为联立所得方程的二次项系数）
抛物线的一些常见结论
1.焦点弦的长度表示（见图1）
①用坐标表示：
对于抛物线而言: ,
其中为线段中点的横坐标
对于抛物线而言: ,
②用直线的倾斜角表示(见图2)
对于抛物线而言:
,同理
则
对于抛物线而言: 同理可得
，
则
2. 是抛物线过焦点的弦,是的中点. ,则有：
三点共线 以为直径的圆与相切
若过定点(见图2)
3. 为抛物线的准线一点,均与抛物线相切,为切点,则有：(见图3)
过焦点
圆锥曲线大题训练
解析几何常规处理方法
1．设而不求:运用韦达定理转化是解析几何解题的主线
2．韦达定理内容:若是方程的两根,
则,
3.直线的设法：消,设.尤其已知直线过轴上点；
消,设.尤其已知直线过轴上点.
4.弦长公式：已知
（1）设直线消,则.
（2）设直线消,则
若是方程的两根,则
注意: 任意两点的距离都可用弦长公式
5.两根之比的处理方法：若,且是方程的两根,
由可得
6.直线与圆锥曲线位置关系：
联立方程，
时相切
直线与抛物线及双曲线相交需按二次项系数为0与不为0分类讨论.
7.面积的表示方法:
（1）当坐标轴上的线段为定值时,
以坐标轴上的线段为底作为首选
如图(1)中,当为定值时
如图(2)中,当为定值时
（2）当坐标轴上的线段不为定值,宜将弦长作为底来表示面积
8.直线和曲线过定点问题：把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．
【常考题型剖析】
题型一：利用椭圆的定义求方程
（2021·全国高二课时练习）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
解析：将其看成到点与点的距离之和为4，所以根据椭圆定义，
,
答案为：
（2020·深圳实验学校高二月考）在中，点、 点，且是和的等差中项，则点的轨迹方程是____________________
解析：，根据椭圆定义，,
☆易错：因为题目说了是三角形，所以不能三点共线，点不能在轴
答案为：
题型二：根据方程表示椭圆求参数问题
（2021·全国高二课时练习）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是________
解析：,
☆易错：因为题目说了是椭圆，所以分母不能相等，,
答案为：
（2021·全国高二）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
解析：, ，错误；
☆易错：因为题目说了是椭圆，所以分母不能相等，,
时，表示双曲线，所以正确；
若表示在轴上的椭圆，（知识点：分母哪个大，焦点在哪个轴），错误；
（知识点：分母哪个正，焦点在哪个轴），正确.
答案为：
【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是两条直线
解析：改写成标准方程, ，焦点在正确；
，所以错误；
若表示双曲线，求渐近线方程方法，
, ，正确；
正确.
答案为：
题型三：求椭圆的标准方程
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）(过两点) 过点和
（2）（共焦点）过点（﹣3，2）且与椭圆1有相同的焦点．
（3）已知焦点在轴上的椭圆过点（，且离心率与椭圆相同.
解析：求过两点的椭圆方程：设椭圆方程为
所以解得 故椭圆的标准方程为．
共焦点所以 , , 故椭圆的标准方程为．
共离心率 所以, , 故椭圆的标准方程为．
知识点：
题型四：椭圆的定义及其应用
☆考查知识点：||||的范围
（2021·全国高考真题）已知是椭圆： 的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：||||，最大值为
答案：
（2021·全国）已知椭圆： 的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：三角不等式
易错选C，设左焦点为,
答案：
已知椭圆上一点的横坐标为2，是椭圆的右焦点，则点到点的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
知识点：焦半径公式：的坐标为（）,
解析：由焦半径公式得
答案：
题型四：焦点三角形面积
（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
解析：知识点：向量夹角公式，
焦点三角形面积公式
由向量夹角公式得为，
答案：
题型五：存在性问题
【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
解析：知识点：当点在轴时，为最大值，由题满足,,可得
答案：
题型六：点差法
（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点1：点差法
知识点2：关于轴对称的直线斜率互为相反数
设为关于轴的对称轴点， ，
答案：
（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
解析：知识点1：点差法
知识点2：直线和椭圆的位置关系
，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以.
答案：
（2022·全国高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：点差法
答案：
题型七：离心率的计算
（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的的左，右焦点分别为，以坐标原点为圆心，线段为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点．若，则椭圆的离心率的取值范围为______．
解析：知识点1： ,
知识点2：基本不等式
根据题意可得，且，
因为，结合题意有，
设，则，易得对勾函数在上单调递增，
故在上单调递增，故,
答案：,
（2021·全国高二课时练习）设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为当时，椭圆的离心率为______．
解析：知识点1：
知识点2：（正弦定理）
知识点3：焦点三角形面积公式
根据正弦定理可得,
即(左右两边同时除以)得
解得：或（舍）
答案：
（2021·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为
解析：知识点1：
知识点2：圆外一点到圆的距离
对于选项：由椭圆定义可得的周长为，所以选项正确；
对于选项：得，所以选项正确；
对于选项：椭圆的离心率为，所以选项错误；
对于选项：设，则点到圆的圆心的距离
，所以选项正确，
答案：
（2021·全国高二单元测试）已知双曲线，是其左、右顶点，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
答案：
（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
解析：知识点1：双曲线的焦点到渐近线的距离为
知识点2：圆的一般方程标准化
知识点3：直线和圆相切时，圆心到直线的距离为
双曲线的渐近线为，圆，即所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
答案：
（2019·全国·高考真题（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若， ，则的离心率为____________．
解析：知识点1：双曲线的对称性
知识点2：
因为，（等腰三角形三线合一）
所以
因为（双曲线对称性）
所以,所以
所以
答案：
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
解析：知识点：抛物线的焦点坐标
☆易错:没有化成标准形式
,，开口向上，焦点为
答案：
（2021·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是____________．
解析：知识点：抛物线的准线
☆易错:没有化成标准形式，并且需要分类讨论
,
当时，抛物线开口向上，准线方程为，
点到准线的距离为，，
,.
当时，抛物线开口向下，准线方程为，
点到准线的距离为，，
,.
答案：或.
题型二：抛物线的弦长问题
（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：知识点1：， ，
知识点2：直线过定点
，， ，
答案：
（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线第一象限内一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：， ，
，，，
答案：
（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
解析：知识点：， ，
，
答案：
（2021·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且 ，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：， ，
， ，，
答案：
（2021·河北）已知点为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：， ，
， ，，
， ，
答案：
（2023·全国·高三专题练习）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
解析：知识点：， ，
， ，，
，
答案：
题型三：直线与抛物线的位置关系
（2021·全国高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
解析：知识点：
当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；
当时，由可得：，
则，整理可得：，所以.
答案：
（2022·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
解析：知识点1：
知识点2：
（画三角形求解）
同理可得：
，
(当且仅当时取等)
答案：
（2022·全国高三专题练习（理））已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线，与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：知识点1：
知识点2：
知识点3：
，
(当且仅当时取等)
答案：
已知为椭圆：1的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，当点与坐标原点重合时，直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若2，求面积的最大值．
解析：知识点1：
知识点2：两根之比设法
知识点3：
（1）设，，则．
又1，代入上式可得：，
又，解得．
∴椭圆C的标准方程为：．
（2）设直线的方程为：（），（）．
联立，化为：，
∴，，
∵2，∴，
∴，代入可得：．
∴△的面积，
∴9．
∴S1，当且仅当时取等号．
∴△面积的最大值为1．
（2020届珠海一模文科）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过，两点.
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于两点，求当取何值时，的面积最大.
解析：知识点1：过两点求标准方程
知识点2：韦达定理
知识点3：点到直线的距离
（1）由题意，设椭圆方程为.
则，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立，消去，得
.
有.
即.
设，有
，.
法1：左右分割
所以
当且仅当，即时（符合），的面积最大.
法2：弦长×距离
则弦长
.
原点到直线的距离
.
所以.
当，即时（符合），的面积最大.
已知椭圆的离心率为，焦距为2.
求的标准方程；
过的右焦点作相互垂直的两条直线（均不垂直于轴），交于两点，交于两点. 设线段的中点分别为，证明：直线过定点.
解析：
（1）由已知，有，解得.
所以椭圆方程为.
（2）由（1）知，.
由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.
联立，消去，得
.
设，，则
.
由点为线段的中点，可得
.
.
故点的坐标为.
因为直线与直线互相垂直，所以直线的方程为.
同理可得，点的坐标为.
法1：一般到特殊
i）当且时，直线的斜率为，所以直线的方程为
.
整理，得
.
所以直线过定点.
ii）当时，直线的方程为，也经过点.
综上所述，直线恒过定点.
法2：特殊到一般（转化为定值问题）
取，则点，，显然此时直线的方程为；
取，则点，，此时直线的方程为.
联立，解得.
设，以下证明直线过定点.
当且时，有
即，所以三点共线.
综上所述，直线过定点.模块三：圆锥曲线
曲线种类 椭圆 双曲线
, , 关系 2 = 2 + 2（ 最大） 2 = 2 + 2 ( 最大)
焦半径关系 1 + 2 = 2 | 1 2 | = 2
离心率
离心率越大，椭圆越扁 离心率越大，双曲线开口越大
2
面积 = 2
tan =
2 tan
2
焦点位置 分母哪个大，焦点在哪个轴 分母哪个正，焦点在哪个轴
点差法
2
通径 通过焦点，且垂直于直线 1 2的焦点弦，为最短焦点弦；长度为
2
同支：[ , + ∞)
[ , + ]
异支：[ + , + ∞)
焦半径范围 ( 在 轴上) ≤| | | |≤ （ 在 轴上）
( 在 轴上) ≤ ≤ ( 在 轴上) /
【焦点在 轴】 的坐标为（ , ） 【焦点在 轴】 的坐标为（ , ）
焦半径公式
= + , = = | + |, = | |
+
直线位置
= 当 + = 时相切
+ + =
渐近线斜率 / 横：± ；竖：±
焦点到
渐近线距离 /
内切圆结论 ( , 0)为其中一个切点
1 + 2 Δ
= 1 + 2 1 2 = 1+ 2 1 + 22 4 弦长公式 1 2 = | |
（ 为联立所得方程的二次项系数）
1
抛物线的一些常见结论
1.焦点弦 的长度表示（见图1）
①用 , , ( , )坐标表示：
对于抛物线 2 = 2 而言: = 1 + 2 + = 2 0 + ,
其中 0为线段 中点的横坐标
对于抛物线 2 = 2 而言: = 1 + 2 + = 2 0 + ,
②用直线 的倾斜角 表示(见图 2)
对于抛物线 2 = 2 而言:
= = + = + cos
= ,同理 =
1 cos 1+cos
则 = + = 2
sin2
1 1 2
+ =
| | | |
对于抛物线 2 = 2 而言: 同理可得
= ， =
1 sin 1+sin
则 = + = 2
cos2
2. 是抛物线 2 = 2 过焦点 的弦, ⊥ , ⊥ , 是 的中点. , , ( , ),则有：
2
1 2 1 1 21 2 = , 1 2 = (2) + = 3 ⊥ 4 ⊥ 4 | | | |
5 , , 三点共线 (6) 以 为直径的圆与 相切
(7) 若 ⊥ 过定点(2 , 0)(见图 2)
3. 为抛物线 2 = 2 的准线 一点, , 均与抛物线相切, , 为切点,则有：(见图3)
1 过焦点 (2) 2 = +
(3) ⊥ 4 ⊥
2
圆锥曲线大题训练
解析几何常规处理方法
1．设而不求:运用韦达定理转化是解析几何解题的主线
2．韦达定理内容:若 1, 2是方程 2 + + = 0 的两根,
则 1 +
2 = , = 1 2
3.直线的设法：消 ,设 = + .尤其已知直线过 轴上点(0, )；
消 ,设 = + .尤其已知直线过 轴上点( , 0).
4.弦长公式：已知 1, 1 , ( 2, 2)
（1）设直线 : = + (消 ),则 = 1+ 2| 2 1|.
（2）设直线 : = + (消 ),则 = 1 + 2| 2 1|
若 1, 2是方程 2 + + = 0 的两根,则 2 1 = ( = 2 4 )
注意: 任意两点的距离都可用弦长公式
5.两根之比的处理方法：若 1 = ,且 1, 2是方程 2 + + = 0 的两根, 2
+ 2 2
由 1 2 = 2 + 1 + 2 1可得 = + + 2
1 2 1 2
6.直线与圆锥曲线位置关系：
相交 > 0
联立方程 相切 = 0，
相离 < 0
+
=
当 + = 时相切
+ + =
直线与抛物线及双曲线相交需按二次项系数为 0与不为 0分类讨论.
7.面积的表示方法:
（1）当坐标轴上的线段为定值时,
以坐标轴上的线段为底作为首选
如图(1)中,当| |为定值时
1
= = | || 2
|
如图(2)中,当| |为定值时
1
= + = | || 2
|
（2）当坐标轴上的线段不为定值,宜将弦长作为底来表示面积
8.直线和曲线过定点问题：把直线或曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，把方程一端化为零，
既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就
得到一个关于 ， 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以
通过特例探求，再用一般化方法证明．
3
【常考题型剖析】
题型一：利用椭圆的定义求方程
1. （2021·全国高二课时练习）已知椭圆 上任意一点 ( , )都满足关系式 1 2 + 2 +
+ 1 2 + 2 = 4，则椭圆 的标准方程为（ ）
2 2 2 2 2 2A． + = 1 B． + = 1 C． + = 1 D．
2
+ 2 = 1
3 4 4 3 16 15 4
2. （2020·深圳实验学校高二月考）在 中，点 ( 2,0)、 点 (2,0)，且| |是| |和
| |的等差中项，则点 的轨迹方程是____________________
题型二：根据方程表示椭圆求参数问题
2 2
3. （2021·全国高二课时练习）已知方程 + = 1 表示椭圆，则实数 的取值范围是
3+ 2
____________________
4
2 2
4. （2021·全国高二）已知方程 + = 1 表示曲线 ，则（ ）
4 1
A．当 1 < < 4 时，曲线 一定是椭圆
B．当 > 4 或 < 1 时，曲线 一定是双曲线
3
C．若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 1 < <
2
D．若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 > 4
5. 【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线 :. 2 + 2 = 1（ ）
A．若 > > 0，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B．若 = > 0，则 是圆，其半径为
C．若 < 0 ，则 是双曲线，其渐近线方程为 =±
D．若 = 0， > 0，则 是两条直线
题型三：求椭圆的标准方程
6. 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
6 2 2
（1）(过两点) 过点( 3 ， 3)和( 3 ，1)
2 2
（2）（共焦点）过点（﹣3，2）且与椭圆 + =1 有相同的焦点．
9 4
2 2
（3）已知焦点在 轴上的椭圆过点（ 2, 1)，且离心率与椭圆 + = 1 相同.
8 4
5
题型四：椭圆的定义及其应用
☆考查知识点：| 1| | 2|的范围
2 2
7. （2021·全国高考真题）已知 1, 2是椭圆 ：
+ = 1 的两个焦点，点 在 上，则
9 4
1 | 2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
8. （2021·全国）已知椭圆 ：
2 2+ = 1 的右焦点为 ， 为椭圆 上一动点，定点 (2,4)，则
4 3
| |的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． 17 D． 17
2 2
9. 已知椭圆 + = 1 上一点 的横坐标为 2， 是椭圆的右焦点，则点 到点 的距离为
25 9
（ ）
8 33 17
A．5 B． C． D．
5 5 5
6
题型四：焦点三角形面积
2 2
10. （2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 + = 1 上的点， 1、 2分别是椭圆的左、25 9
PF PF
右焦点，若 1 2 1 ，则△F1PFPF PF 2 2的面积为（ ）1 2
A．3 3 B．9 3 C． 3 D．9
题型五：存在性问题
11. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点 1, 2为椭圆 的两个焦点，若椭圆 上存在点 ，
使得 F1PF2 90 ，则椭圆 方程可以是（ ）
x2 y2 2
1 x y
2
A． B． 1
25 9 25 16
x2 y2 x2 2
C． 1 yD． 1
18 9 16 9
题型六：点差法
2 2
12. （2022·全国·高考真题（理））椭圆 + ： 2 2 = 1( > > 0)的左顶点为 ，点 ， 均在
1
上，且关于 轴对称．若直线 AP, AQ的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
4
3 2 1 1
A． B． C．
2 2 2
D．
3
7
13. （2022·全国·高三专题练习）椭圆
2
+ 2
1
= 1，则该椭圆所有斜率为 的弦的中点的轨迹方
4 2
程为_________________．
2 2
14. （2022·全国高三专题练习）已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 4，若点 是椭
圆 上任意一点，过原点的直线 与椭圆相交于 、 两点，记直线 、 的斜率分别为
, ，当
1
= 时，则椭圆方程为（ ）4
A．
2
+
2 2
= 1 B． +
2 2 2
= 1 C． 2 + = 1 D． + 2 = 1
16 4 4 2 4 4
题型七：离心率的计算
2 215. （2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆 ： + = 1( > > 0)的的左，右焦点分
2 2
别为 1、 2，以坐标原点 为圆心，线段 F1F2 为直径的圆与椭圆 在第一象限相交于点 ．若
AF1 2 AF2 ，则椭圆 的离心率的取值范围为______．
8
2 2
16. （2021·全国高二课时练习）设椭圆 ： 2 +
2 = 1( > > 0)的焦点为 1, 2， 是椭圆上
一点，且∠ 1 2 = 3，若△ 1 2的外接圆和内切圆的半径分别为 ， ，当 = 4 时，椭圆
的离心率为______．
2
17. （2021·全国高二期中）椭圆 : + 2 = 1 的左、右焦点分别为
4 1
, 2， 为坐标原点，则以
下说法正确的是（ ）
A．过点 2的直线与椭圆 交于 ， 两点，则 1的周长为 8
B．椭圆 上存在点 ，使得 1 2 = 0
1
C．椭圆 的离心率为
2
D． 为椭圆 上一点， 为圆 2 + 2 = 1 上一点，则点 ， 的最大距离为 3
2 2
18. （2021·全国高二单元测试）已知双曲线 ： 2 2 = 1 > > 0 , 1， 2是其左、右顶点，
1, 2是其左、右焦点， 是双曲线上异于 1， 2的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A． 1 2 = 2
2
B．直线 1， 2的斜率之积等于定值
2
C．使得 1 2为等腰三角形的点 有且仅有 8个
2
D． 1 2的面积为tan ∠ 1 22
9
2
19. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线 2 2 = 1( > 0)的渐近线与圆 2 + 2 4 +
3 = 0 相切，则 =_________．
2 2
20. （2019·全国·高考真题（理））已知双曲线 ： 2 2 = 1 > > 0 的左、右焦点分别为
1, 2，过 1的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点．若 F1A AB，F1B F2B 0，则
的离心率为____________．
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1
21. （2020·全国高二）对抛物线， = 2下列描述正确的是（ ）
8
1
A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为(0, )
32
1
C．开口向右，焦点为(2,0) D．开口向右，焦点为( , 0)
32
22. （2021·全国高二（文））点 (5,3)到抛物线 = 2的准线的距离为 6，那么抛物线的标准
方程是____________．
10
题型二：抛物线的弦长问题
23. （2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线 = ( 2)( > 0)与抛物线
: 2 = 8 相交于 ， 两点， 为抛物线 的焦点．若 = 6，则| |等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
24. （2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线 2 = 2 ( > 0)第一象限内一点 到
焦点 的距离等于 2 ，则直线 的斜率为（ ）
A． 3 B． C．± 3 D．± 3
3
25. （2020·江苏高二课前预习）已知抛物线 的顶点在坐标原点，准线方程为 = 1，过其焦
点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若直线 的斜率为 1，则弦 的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
26. （2021·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过 的
直线 交抛物线于 ， 两点，且 = 2 ，则 的斜率为（ ）
A．±1 B．± 2 C． ± 2 D．±2 2
4
11
27. （2021·河北）已知点 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，过点 的直 线交抛物线 于 , 两点，
且 = > 1 = 16，则 =（ ）
3
A． B． C． D．
28. （2023·全国·高三专题练习）已知以 为焦点的抛物线 2 = 4 上的两点 ， 满足 =
( 1 ≤ ≤ 3)，则弦 的中点到 的准线的距离的最大值是（ ）
3
8 10
A．2 B． C． D．4
3 3
题型三：直线与抛物线的位置关系
29. （2021·全国高二课时练习）直线 = + 与抛物线 2 = 4 有且只有一个公共点，则 ，
满足的条件是（ ）
A． = 1 B． = 0, ∈ C． ≠ 0, = 0 D． = 1 或 = 0
30. （2022·全国高三专题练习）已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 分别作两条直线 1，
2，直线 1与抛物线 交于 、 两点，直线 2与抛物线 交于 、 两点，若 1与 2的斜率的平
方和为 1，则 + | |的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
12
31. （2022·全国高三专题练习（理））已知 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，过 作两条互相垂直
的直线 1， 2，直线 1，与 交于 , 两点，直线 2与 交于 , 两点，则 + | |的最小值
为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
2 2
32. 已知 (2,0)为椭圆 ： 2 + 2 =1( > > 0)的右顶点，点 在椭圆 的长轴上，过点 且不与
1轴重合的直线交椭圆 于 , 两点,当点 与坐标原点 重合时,直线 , 的斜率之积为 ．
4
(1)求椭圆 的标准方程；
→ →
2 若 =2 ，求△ 面积的最大值．
13
1
33. （2020 届珠海一模文科）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 过 (0, 1)， ( 3, )
2
两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2) 1设直线 : = + ( ≠ 0)与椭圆 交于 , 两点，求当 取何值时， 的面积最大.
2
2 2
34. 已知椭圆 : + 2 2 = 1( > > 0)
5
的离心率为 ，焦距为 2.
5
(1)求 的标准方程；
(2)过 的右焦点 作相互垂直的两条直线 1, 2（均不垂直于 轴）， 1交 于 , 两点， 2交 于 ,
两点. 设线段 , 的中点分别为 , ，证明：直线 过定点.
14模块三：圆锥曲线
曲线种类 椭圆 双曲线
, , 关系 2 = 2 + 2（ 最大） 2 = 2 + 2 ( 最大)
焦半径关系 1 + 2 = 2 | 1 2 | = 2
离心率
离心率越大，椭圆越扁 离心率越大，双曲线开口越大
2
面积 = 2
tan =
2 tan
2
焦点位置 分母哪个大，焦点在哪个轴 分母哪个正，焦点在哪个轴
点差法
2
通径 通过焦点，且垂直于直线 1 2的焦点弦，为最短焦点弦；长度为
2
同支：[ , + ∞)
[ , + ]
异支：[ + , + ∞)
焦半径范围 ( 在 轴上) ≤| | | |≤ （ 在 轴上）
( 在 轴上) ≤ ≤ ( 在 轴上) /
【焦点在 轴】 的坐标为（ , ） 【焦点在 轴】 的坐标为（ , ）
焦半径公式
= + , = = | + |, = | |
+
直线位置
= 当 + = 时相切
+ + =
渐近线斜率 / 横：± ；竖：±
焦点到
渐近线距离 /
内切圆结论 ( , 0)为其中一个切点
1 + 2 Δ
= 1 + 2 1 2 = 1+ 2 1 + 22 4 弦长公式 1 2 = | |
（ 为联立所得方程的二次项系数）
1
抛物线的一些常见结论
1.焦点弦 的长度表示（见图1）
①用 , , ( , )坐标表示：
对于抛物线 2 = 2 而言: = 1 + 2 + = 2 0 + ,
其中 0为线段 中点的横坐标
对于抛物线 2 = 2 而言: = 1 + 2 + = 2 0 + ,
②用直线 的倾斜角 表示(见图 2)
对于抛物线 2 = 2 而言:
= = + = + cos
= ,同理 =
1 cos 1+cos
则 = + = 2
sin2
1 1 2
+ =
| | | |
对于抛物线 2 = 2 而言: 同理可得
= ， =
1 sin 1+sin
则 = + = 2
cos2
2. 是抛物线 2 = 2 过焦点 的弦, ⊥ , ⊥ , 是 的中点. , , ( , ),则有：
2
1 2 1 1 21 2 = , 1 2 = (2) + = 3 ⊥ 4 ⊥ 4 | | | |
5 , , 三点共线 (6) 以 为直径的圆与 相切
(7) 若 ⊥ 过定点(2 , 0)(见图 2)
3. 为抛物线 2 = 2 的准线 一点, , 均与抛物线相切, , 为切点,则有：(见图3)
1 过焦点 (2) 2 = +
(3) ⊥ 4 ⊥
2
圆锥曲线大题训练
解析几何常规处理方法
1．设而不求:运用韦达定理转化是解析几何解题的主线
2．韦达定理内容:若 1, 2是方程 2 + + = 0 的两根,
则 1 +
2 = , = 1 2
3.直线的设法：消 ,设 = + .尤其已知直线过 轴上点(0, )；
消 ,设 = + .尤其已知直线过 轴上点( , 0).
4.弦长公式：已知 1, 1 , ( 2, 2)
（1）设直线 : = + (消 ),则 = 1+ 2| 2 1|.
（2）设直线 : = + (消 ),则 = 1 + 2| 2 1|
若 1, 2是方程 2 + + = 0 的两根,则 2 1 = ( = 2 4 )
注意: 任意两点的距离都可用弦长公式
5.两根之比的处理方法：若 1 = ,且 1, 2是方程 2 + + = 0 的两根, 2
+ 2 2
由 1 2 = 2 + 1 + 2 1可得 = + + 2
1 2 1 2
6.直线与圆锥曲线位置关系：
相交 > 0
联立方程 相切 = 0，
相离 < 0
+
=
当 + = 时相切
+ + =
直线与抛物线及双曲线相交需按二次项系数为 0与不为 0分类讨论.
7.面积的表示方法:
（1）当坐标轴上的线段为定值时,
以坐标轴上的线段为底作为首选
如图(1)中,当| |为定值时
1
= = | || 2
|
如图(2)中,当| |为定值时
1
= + = | || 2
|
（2）当坐标轴上的线段不为定值,宜将弦长作为底来表示面积
8.直线和曲线过定点问题：把直线或曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，把方程一端化为零，
既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就
得到一个关于 ， 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以
通过特例探求，再用一般化方法证明．
3
【常考题型剖析】
题型一：利用椭圆的定义求方程
1. （2021·全国高二课时练习）已知椭圆 上任意一点 ( , )都满足关系式 1 2 + 2 +
+ 1 2 + 2 = 4，则椭圆 的标准方程为（ ）
2 2 2 2 2 2 2
A． + = 1 B． + = 1 C． + = 1 D． + 2 = 1
3 4 4 3 16 15 4
解析：将其看成 ( , )到点 1( 1,0)与点 2(1,0)的距离之和为 4，所以根据椭圆定义，
= 2, = 1, = 3,
答案为：
2. （2020·深圳实验学校高二月考）在 中，点 ( 2,0)、 点 (2,0)，且| |是| |和
| |的等差中项，则点 的轨迹方程是____________________
解析： + = 2 = 8，根据椭圆定义， = 4, = 2, = 2 ,
☆易错：因为题目说了是三角形，所以不能三点共线， 点不能在 轴
2 2
答案为： + = 1( ≠± 4)
12
题型二：根据方程表示椭圆求参数问题
2 2
3. （2021·全国高二课时练习）已知方程 + = 1 表示椭圆，则实数 的取值范围是
3+ 2
________
3 + > 0
解析： 2 > 0,
3 + > 0
☆易错：因为题目说了是椭圆，所以分母不能相等， 2 > 0 ,
3 + ≠ 2
答案为： 3, 1 ∪ ( 1 , 2)
2 2
2 2
4. （2021·全国高二）已知方程 + = 1 表示曲线 ，则（ ）
4 1
A．当 1 < < 4 时，曲线 一定是椭圆
B．当 > 4 或 < 1 时，曲线 一定是双曲线
4
3
C．若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 1 < <
2
D．若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 > 4
4 t > 0
5
解析： ： t 1 > 0 ,∴ ≠ ， 错误；2
4 ≠ 1
3 + > 0
☆易错：因为题目说了是椭圆，所以分母不能相等， 2 > 0 ,
3 + ≠ 2
： 4 1 < 0 时，表示双曲线，所以 正确；
4 t > 0
:若表示在 轴上的椭圆，∴ t 1 > 0 （知识点：分母哪个大，焦点在哪个轴）， 错误；
4 > 1
： 4 < 0 1 > 0（知识点：分母哪个正，焦点在哪个轴）， 正确.
答案为：BD
5. 【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线 :. 2 + 2 = 1（ ）
A．若 > > 0，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B．若 = > 0，则 是圆，其半径为
C．若 < 0 ，则 是双曲线，其渐近线方程为 =±
D．若 = 0， > 0，则 是两条直线
2 2 1 1
解析： ：改写成标准方程 1 + 1 = 1, > > 0,∴ < ，焦点在 轴， 正确；
： = > 0, 1其半径为 ，所以 错误；
1、把右边的“1”变为 0
：若表示双曲线，求渐近线方程方法 ，
2、将方程化为 y = kx
∴ 2 + 2 = 0, =± ， 正确；
1：若 = 0， > 0， 2 = 1， =± , 正确.
答案为：
题型三：求椭圆的标准方程
6. 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
5
6
（1）(过两点) 过点( 3 ， 3)和(
2 2
3 ，1)
2 2
（2）（共焦点）过点（﹣3，2）且与椭圆 + =1 有相同的焦点．
9 4
2 2
（3）已知焦点在 轴上的椭圆过点（ 2, 1)，且离心率与椭圆 + = 1 相同.
8 4
解析：求过两点的椭圆方程：设椭圆方程为 2 + 2 = 1 > 0, > 0
6
2
3 +
2
3 = 1 = 1 2
所以 解得 = 1 故椭圆的标准方程为
2 + 9 = 1．
2 23 + 12 =1
9
2 2+ 2 2
2 2
= 1 3 2 22
共焦点 2 2 所以 + = 1 , = 6 , 故椭圆的标准方程为 + = 1． + = 1 9+ 4+ 15 10
2+ 2+
2 +
2
2 2 = 1 2 2 2 2 2共离心率 2 2 所以 +
1 = , = 1 , 故椭圆的标准方程为 + = 1．
+ = 8 4 2 4 2
2 2
知识点：
题型四：椭圆的定义及其应用
☆考查知识点：| 1| | 2|的范围
2 2
7. （2021·全国高考真题）已知 , 是椭圆 ： + 1 2 = 1 的两个焦点，点 在 上，则9 4
1 | 2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：知识点：| 1| | 2|∈ [ 2, 2]，∴最大值为 2 = 9
答案：
2 2
8. （2021·全国）已知椭圆 ： + = 1 的右焦点为 ， 为椭圆 上一动点，定点 (2,4)，则
4 3
| |的最小值为（ ）
6
A．1 B．－1 C． 17 D． 17
+ ≥ | |（AB 为最小值，三点共线且 P 在线段 AB 上）
解析：知识点：三角不等式
≤ | |（AB 为最大值，三点共线且 P 在线段 AB 外）
易错选 C，设左焦点为 1, = 2 1 = 4 1,
= 4 1 = + 1 4 ≥ 1 4 = 1
答案：
2 2
9. 已知椭圆 + = 1 上一点 的横坐标为 2， 是椭圆的右焦点，则点 到点 的距离为
25 9
（ ）
8 33 17
A．5 B． C． D．
5 5 5
知识点：焦半径公式： 的坐标为（ 0, 0）, 1 = + 0, 2 = 0
4 17
解析：由焦半径公式得 2 = 0 = 5 × 2 =5 5
答案：
题型四：焦点三角形面积
2 2
10. （2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 + = 1 上的点， 1、 2分别是椭圆的左、25 9
PF PF
1 2 1右焦点，若 ，则△F1PFPF PF 2 2的面积为（ ）1 2
A．3 3 B．9 3 C． 3 D．9
解析：知识点：向量夹角公式 <
1
1, 2 >= 2 ，| 1 | | 2 |
焦点三角形面积公式 2 = tan 2
由向量夹角公式得 为 ，∴ = 2 tan = 9 × 33 = 3 32 3
答案：
题型五：存在性问题
11. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点 1, 2为椭圆 的两个焦点，若椭圆 上存在点 ，
使得 F1PF2 90 ，则椭圆 方程可以是（ ）
7
x2 y2 x2 y2
A． 1 B． 1
25 9 25 16
x2 y2 21 x y
2
C． D． 1
18 9 16 9
解析：知识点：当 点在 轴时，∠ 1 2为最大值，由题满足∠ 1 2 22 ≥ 90°, 1 + 2 ≤
1 22 ,可得 2 ≥ 2 2
答案：
题型六：点差法
2 2
12. （2022·全国·高考真题（理））椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左顶点为 ，点 ， 均在
1
上，且关于 轴对称．若直线 AP, AQ的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
4
3 2 1 1
A． B． C． 2 D．2 2 3
解析：知识点 1：点差法
知识点 2：关于 轴对称的直线斜率互为相反数
2
设 '为 1关于 轴的对称轴点，∴ = ' ∵ = ，4 ∴ ' =
1 = 4 2
2 3
= 1 2 = 2
答案：
2 1
13. （2022·全国·高三专题练习）椭圆 + 2 = 1，则该椭圆所有斜率为 的弦的中点的轨迹方
4 2
程为_________________．
解析：知识点 1：点差法
知识点 2：直线和椭圆的位置关系
=
2 1
= 1， =
2 4 2
2 + 2 = 1 2
由于在椭圆内部，由 4 1 得 + +
2 1 = 0，
= + 2
2
所以 = 2 2 2 1 = 0 时，即 =± 2直线与椭圆相切，
2
此时由 ± 2 + 1 = 0 解得 = 2或 = 2，
2
8
所以 2 < < 2.
答案：
2 214. （2022·全国高三专题练习）已知椭圆 ： +
2 2
= 1( > > 0)的长轴长为 4，若点 是椭
圆 上任意一点，过原点的直线 与椭圆相交于 、 两点，记直线 、 的斜率分别为
1 , ，当 = 时，则椭圆方程为（ ）4
2 2 2 2 2 2
A． + = 1 B． + = 1 C． 2 + = 1 D． + 2 = 1
16 4 4 2 4 4
解析：知识点：点差法
1 2
= = ∵ = 2, ∴ = 14 2
答案：
题型七：离心率的计算
2 2
15. （2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的的左，右焦点分
别为 1、 2，以坐标原点 为圆心，线段 F1F2 为直径的圆与椭圆 在第一象限相交于点 ．若
AF1 2 AF2 ，则椭圆 的离心率的取值范围为______．
= 2 | 1 2|解析：知识点 1： = = 2 | |+| | ,1 2
知识点 2：基本不等式
根据题意可得∠ 1 2 = 90°，且 > ，
2
= = 2 = | 1 2| = 1 + 2 2 1 | 2| = 1 2 1 2 = 1 2
2 | 1|+| 2| | 1|+| 2| 1 + 2 2 1 2
| 2|
+| |+21
因为 1 ≤ 2 2 ,，结合题意有 1 <
1 ≤ 2
| | ，2
设 1
2
= 1
| | ，则
= 1
= + + 2 +1+2，易得对勾函数 在(1,2]上单调递增，2
故 = 1 2 2 51 在(1,2]上单调递增，故 ∈ ( , ] + +2 2 3
答案：( 2, 5 ]
2 3
9
2 2
16. （2021·全国高二课时练习）设椭圆 + ： 2 2 = 1( > > 0)的焦点为 1, 2， 是椭圆上
一点，且∠ 1 2 = 3，若△ 1 2的外接圆和内切圆的半径分别为 ， ，当 = 4 时，椭圆
的离心率为______．
2
解析：知识点 1： 内 =
知识点 2： 外 =
2 （正弦定理）
知识点 3：焦点三角形面积公式 2 = tan 2
1 2 2 2 3
根据正弦定理可得 外 = = = = 2 2∠ ,1 2 2 sin 3 3
3
2 2 2 tan 30° (
2 2)
= = = 3
1 3
内 2 + 2 + = 4 外 = 6
即 2 2 3 2 = 0(左右两边同时除以 2)得 3 2 + 2 = 0
2
解得： = 或 = 1（舍）
3
2
答案：
3
2
17. （2021·全国高二期中）椭圆 : + 2 = 1 的左、右焦点分别为 1, 2， 为坐标原点，则以4
下说法正确的是（ ）
A．过点 2的直线与椭圆 交于 ， 两点，则 1的周长为 8
B．椭圆 上存在点 ，使得 1 2 = 0
C．椭圆 1的离心率为
2
D． 为椭圆 上一点， 为圆 2 + 2 = 1 上一点，则点 ， 的最大距离为 3
解析：知识点 1： ≤ ≤
知识点 2：圆外一点 到圆 的距离 ∈ [ , + ]
对于选项 ：由椭圆定义可得 1的周长为 4 = 8，所以选项 正确；
对于选项 ： ≤ ≤ 得 ≤ ≤ ，所以选项 正确；
对于选项 ：椭圆 的离心率为 3，所以选项 错误；
2
对于选项 ：设 ( 2 21. 1)，则点 到圆 + = 1 的圆心的距离
10
= + = 3，所以选项 正确，
答案：
2 2
18. （2021·全国高二单元测试）已知双曲线 ： 2 2 = 1 > > 0 , ， 1 2是其左、右顶点，
1, 2是其左、右焦点， 是双曲线上异于 1， 2的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A． 1 2 = 2
B．直线 ， 的斜率之积等于定值
2
1 2 2
C．使得 1 2为等腰三角形的点 有且仅有 8个
2
D． 1 2的面积为tan ∠ 1 22
答案：
2
19. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线 2 2 = 1( > 0)的渐近线与圆 2 + 2 4 +
3 = 0 相切，则 =_________．
解析：知识点 1：双曲线的焦点到渐近线的距离为
知识点 2：圆的一般方程标准化
知识点 3：直线和圆相切时，圆心到直线的距离为
2
双曲线 2 2 = 1( > 0)的渐近线为 =± ，圆 2 + 2 4 + 3 = 0，即 2 2 + 2 = 1,所
以圆心为(2,0)，半径 = 1，
依题意圆心(2,0)到渐近线 =± 的距离 = |2 | = 1，
1+ 2
3
解得 = 或 = 3（舍去）．
3 3
答案： 3
3
2 2
20. （2019·全国·高考真题（理））已知双曲线 ： 2 2 = 1 > > 0 的左、右焦点分别为
1, 2，过 1的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点．若 1 = ， 1 2 = 0，则
的离心率为____________．
解析：知识点 1：双曲线的对称性
2
知识点 2： = 1 +
2
11
因为 1 = ， 1 2 = 0（等腰三角形三线合一）
所以∠ 1 = ∠ ,
因为∠ 1 = ∠ 2 （双曲线对称性）
所以∠ 1 = ∠ = ∠ 2 = 60°
,所以 = = tan 60°
2
所以 = 1 + = 1+ 3 = 2
2
答案：2
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1
21. （2020·全国高二）对抛物线， = 2下列描述正确的是（ ）
8
1
A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为(0, )
32
1
C．开口向右，焦点为(2,0) D．开口向右，焦点为( , 0)
32
解析：知识点：抛物线的焦点坐标
☆易错:没有化成标准形式
∵ = 1 2,∴ 2 = 8 ，∴开口向上，焦点为(0,2)
8
答案：
22. （2021·全国高二（文））点 (5,3)到抛物线 = 2的准线的距离为 6，那么抛物线的标准
方程是____________．
解析：知识点：抛物线的准线
☆易错:没有化成标准形式，并且需要分类讨论
∵ = 2,∴ 2 = 1
当 > 0 1时，抛物线开口向上，准线方程为 = ，
4
∴点 (5,3) 1 1到准线的距离为 3 + = 6， = ，
4 12
∴ = 1 2,∴ 2 = 12 .
12
1
当 > 0 时，抛物线开口向下，准线方程为 = ，
4
12
∴点 (5,3)到准线的距离为|3 + 1 | = 6 1， = ，
4 36
∴ = 1 2,∴ 2 = 36 .
36
答案： 2 = 12 或 2 = 36 .
题型二：抛物线的弦长问题
23. （2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线 = ( 2)( > 0)与抛物线
: 2 = 8 相交于 ， 两点， 为抛物线 的焦点．若 = 6，则| |等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：知识点 1： = ， = ， = 2
1 1+ sin2
知识点 2：直线过定点
∵ = 4 1 2 2 =
2 8
= = 6，∴ cos = ， ， = = 9
1 1 cos 3 ∴ sin = 3 sin2 89
答案：
24. （2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线 2 = 2 ( > 0)第一象限内一点 到
焦点 的距离等于 2 ，则直线 的斜率为（ ）
A． 3 B． C．± 3 D．± 3
3
解析：知识点： = ， = 2 ， =
1 1+ sin2
∵ = = = 2 1 ∴ =
= tan = 3
1 1 cos ，∴ cos = ， ，2 3 3
答案：
25. （2020·江苏高二课前预习）已知抛物线 的顶点在坐标原点，准线方程为 = 1，过其焦
点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若直线 的斜率为 1，则弦 的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
解析：知识点： = ， = ， = 2
1 1+ sin2
∵ = tan = 1 ∴ sin = 2， = 2 4
2 sin2
= 1 = 8
2
答案：
13
26. （2021·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过 的
直线 交抛物线于 ， 两点，且 = 2 ，则 的斜率为（ ）
A．±1 B．± 2 C． ± 2 D．±2 2
4
解析：知识点： = ， = 2 ， =
1 1+ sin2
∵ = 2 ，∴ | | = 2| | ∴ = 2 ，cos = 1，∴ = tan =± 2 2
1 1+ 3
答案：
27. （2021·河北）已知点 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，过点 的直 线交抛物线 于 , 两点，
且 = > 1 , = 16，则 =（ ）
3
A． B． C． D．
2
解析：知识点： = ， = ， =
1 1+ sin2
∵ = ，∴ | | = | | ∴ = = 1+ ， ，
1 1+ 1
= 2 = 4 162 2 = , ∴ sin =
3
，cos = 1 ， = 1+ = 4
sin sin 3 2 2 1
答案：
28. （2023·全国·高三专题练习）已知以 为焦点的抛物线 2 = 4 上的两点 ， 满足 =
( 1 ≤ ≤ 3)，则弦 的中点到 的准线的距离的最大值是（ ）
3
8 10
A．2 B． C． D．4
3 3
2
解析：知识点： = ， = ， =
1 1+ sin2
∵ = ，∴ | | = | | ∴ = ，| cos | = 1 = 1 2 ∈ [0, 1 ]，
1 1+ +1 +1 2
= 1 = = 2 , ∴ sin2 = 1 cos2 ∈ [ 3 , 1] ∈ [2, 8
2 sin2 2
， ]
sin 4 3
答案：
题型三：直线与抛物线的位置关系
29. （2021·全国高二课时练习）直线 = + 与抛物线 2 = 4 有且只有一个公共点，则 ，
满足的条件是（ ）
A． = 1 B． = 0, ∈ C． ≠ 0, = 0 D． = 1 或 = 0
14
解析：知识点：直线和抛物线的位置关系
当 = 0 时，直线 = 与抛物线 2 = 4 有且只有一个公共点，符合题意；
= +
当 ≠ 0 时，由 2 2 2 2 = 4 可得： + 2 4 + = 0，
则 = 2 4 2 4 2 2 = 0，整理可得：16 16 = 0，所以 = 1.
答案：
30. （2022·全国高三专题练习）已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 分别作两条直线 1，
2，直线 1与抛物线 交于 、 两点，直线 2与抛物线 交于 、 两点，若 1与 2的斜率的平
方和为 1，则 + | |的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
解析：知识点 1：基本不等式
知识点 2： = 2
sin2
∵ 1 = tan , ∴ sin =
1 2 4 1（画三角形求解）∴ = 2 = 2 = 4 (1 + 2 )
1+ 2 sin
1 1
1 1+ 21
同理可得： = 4 (1 + 1 )
22
∵ 2 + 2 = 1 ∴ + = 4(1 + 1 11 2 ， 2 + 1 + )1 22
∵ 1 + 1 = 1 + 1 2 + 2 ≥ 2 + 2 = 4
2
2 =
2
2 2 2 2 1 2 (当且仅当
1
2
= 1 时取等)
1 2 1 2 1
2
2
1 1
∴ + = 4 1 + 2 + 1+ 2 ≥ 24 1 2
答案：
31. （2022·全国高三专题练习（理））已知 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，过 作两条互相垂直
的直线 1， 2，直线 1，与 交于 , 两点，直线 2与 交于 , 两点，则 + | |的最小值
为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：知识点 1：基本不等式
2
知识点 2： =
sin2
知识点 3：sin + = cos
2
∴ = 2 = 4 = 2 = 4
sin2 sin2 sin2 ( + 22) cos
∵ sin2 + cos2 = 1，∴ + = 4( 1 + 1 )
sin2 cos2
15
1 1 1 1
∵ + = + sin2 + cos22 2 2 2 ≥ 2 + 2 = 4sin cos sin cos
cos2 sin2
(当且仅当 2 + 2 = 1 时取等)sin cos
1 1
∴ + = 4 + ≥ 16
sin2 cos2
答案：
2 2
32. 已知 (2,0)为椭圆 ： 2 + 2 =1( > > 0)的右顶点，点 在椭圆 的长轴上，过点 且不与
轴重合的直线交椭圆 于 ， 两点，当点 与坐标原点 重合时，直线 ， 的斜率之积
为 1．
4
（1）求椭圆 的标准方程；
→ →
（2）若 =2 ，求△ 面积的最大值．
解析：知识点 1：点差法
知识点 2：两根之比设法
知识点 3：基本不等式
2
（1）设 ( 1， 1)， ( 1， 1)，则
1 1
= 2 = ． 1 4 4
2 2 2
又 1 + 1 1
2 2
=1，代入上式可得：
2
= ，
4
又 = 2，解得 = 1．
2
∴椭圆 C的标准方程为： + 2 = 1．
4
（2）设直线 的方程为： = + （ ≠ 0），（ 2 ≤ ≤ 2）．
1, 1 , ( 2， 2)
= +
联立 2 + 4 2 = 4，化为： 4 +
2 2 + 2 + 2 4 = 0，
+ = 2
2 4
∴ 1 2 4+ 2， 1 2 = ，4+ 2
→ →
∵ =2 ，∴ 1 = 2 2，
2
∴ 1 + 2 = 5 4 +16，代入可得： 2 = ．
2 1 2 9 2+4
1 3
∴△ 的面积 = | ( 1 2)| = | 2 2 2|，
9 2 9 4 2 2 = 2 = × +16
2 2
∴ 2 2 ×
16 = × 16 9 ．
4 4 9 +4 (4+ 2)(9 2+4) (9 2+4)2
16
= 12| | = 12∴S 2 4 ≤1，当且仅当 2 =
4
时取等号．
9 +4 9| |+ 9| |
∴△ 面积的最大值为 1．
1
33. （2020 届珠海一模文科）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 过 (0, 1)， ( 3, )
2
两点.
(1)求椭圆 的方程；
1
(2)设直线 : = + ( ≠ 0)与椭圆 交于 , 两点，求当 取何值时， 的面积最大.
2
解析：知识点 1：过两点求标准方程
知识点 2：韦达定理
知识点 3：点到直线的距离
（1）由题意，设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > 0, > 0,且 ≠ ).
02 + ( 1)2 = 1 1
则 ，解得{ = 4 .
( 3)2 + ( 1 )2 = 1
2 = 1
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1.
4
= 1 +
2
（2）联立 2 ，消去 ，得+ 2 = 1
4
2 + 2 + (2 2 2) = 0.
有 = 4 2 4(2 2 2) = 4(2 2) > 0.
即 0 < 2 < 2.
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，有
1 + 2 = 2 ， 1 = 2 22 2.
法 1：左右分割
所以
1 = | | |
| |
1 2| = ( 1 + 2)2 4 1 2 2 2
= | | 2 2
= 2(2 2)
2
≤ ( +2
2
)2
2
= 1.
当且仅当 2 = 2 2，即 =± 1 时（符合 > 0）， 的面积最大.
法 2：弦长×距离
17
则弦长
| | = 1 + ( 1 )2 | 5 21 2| = ( 1 + 2) 4 1 2 = 5 2 2.2 2
原点 到直线 的距离
= | | = 2| |
(1 22) +1
2 5 .
所以 = 1 | | = | | 2 2 = 4 + 2 2 = ( 2 1)2 + 1 ≤ 1.2
当 2 = 1，即 =± 1 时（符合 > 0）， 的面积最大.
2 2
34. 已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
5
的离心率为 ，焦距为 2.
5
(1)求 的标准方程；
(2)过 的右焦点 作相互垂直的两条直线 1, 2（均不垂直于 轴）， 1交 于 , 两点， 2交 于 ,
两点. 设线段 , 的中点分别为 , ，证明：直线 过定点.
解析：
= = 5 = 5
（1）由已知，有{ 52 = 2 ，解得{ = 2 .
2 = 2 2 = 1
2 2
所以椭圆方程为 + = 1.
5 4
（2）由（1）知， (1,0).
由题意可知，直线 1, 2的斜率存在且不为 0，设直线 1的方程为 = + 1( ≠ 0).
= + 1
联立{ 2 2+ = 1，消去
，得
5 4
(4 2 + 5) 2 + 8 16 = 0 1.
设 ( 1, 1)， ( 2,
2)，则
1 + 2 =
8
.
4 2+5
由点 为线段 的中点，可得
= 1+ 2 4
= 2 .2 4 +5 2
= + 1 =
5
4 2
.
+5
5 4 故点 的坐标为( , ).
4 2+5 4 2+5
18
1
因为直线 2与直线 1互相垂直，所以直线 2的方程为 = + 1.
( 5
2 4
同理可得，点 的坐标为 , ).
4+5 2 4+5 2
法 1：一般到特殊
9
i）当 ≠± 1 且 ≠ 0 时，直线 的斜率为 = 5( 2 1)，所以直线 的方程为
2
4 2 =
9 ( 5 ).
4+5 5( 2 1) 4+5 2
整理，得
= 9 ( 52 )5( 1) 9 .
5
所以直线 过定点( , 0).
9
5 5
ii）当 =± 1 时，直线 的方程为 = ，也经过点( , 0).
9 9
5
综上所述，直线 恒过定点( , 0).
9
法 2：特殊到一般（转化为定值问题）
5 4 5 4 5
取 =± 1，则点 ( , )， ( , ± )，显然此时直线 的方程为 = ；
9 9 9 9 9
= 2 ( 5 , 8 ) ( 5 1 6 2取 ，则点 ， , )，此时直线 的方程为 = .
21 21 6 3 5 3
= 5 = 5
联立{ 96 2，解得{ 9. = = 0
5 3
设 ( 5 , 0)，以下证明直线 过定点 .
9
4 4
当 ≠± 1 且 ≠ 0 时，有 = 4
2+5 4+5 2
5 5
5 2 54 2+5 9 4+5 2 9
= 4 ( 9 9
5 4 4 2
4 2
)
4
= 0
即 = ，所以 , , 三点共线.
5
综上所述，直线 过定点 ( , 0).
9
19模块三：圆锥曲线
曲线种类 椭圆 双曲线
关系 （最大）
焦半径关系
离心率 离心率越大，椭圆越扁 离心率越大，双曲线开口越大
面积
焦点位置 分母哪个大，焦点在哪个轴 分母哪个正，焦点在哪个轴
点差法
通径 通过焦点，且垂直于直线的焦点弦，为最短焦点弦；长度为
焦半径范围 同支： 异支：
|||| /
焦半径公式 【焦点在轴】的坐标为（） 【焦点在轴】的坐标为（）
直线位置 时相切
渐近线斜率 / 横：； 竖：
焦点到 渐近线距离 /
内切圆结论 为其中一个切点
弦长公式 （为联立所得方程的二次项系数）
抛物线的一些常见结论
1.焦点弦的长度表示（见图1）
①用坐标表示：
对于抛物线而言: ,
其中为线段中点的横坐标
对于抛物线而言: ,
②用直线的倾斜角表示(见图2)
对于抛物线而言:
,同理
则
对于抛物线而言: 同理可得
，
则
2. 是抛物线过焦点的弦,是的中点. ,则有：
三点共线 以为直径的圆与相切
若过定点(见图2)
3. 为抛物线的准线一点,均与抛物线相切,为切点,则有：(见图3)
过焦点
圆锥曲线大题训练
解析几何常规处理方法
1．设而不求:运用韦达定理转化是解析几何解题的主线
2．韦达定理内容:若是方程的两根,
则,
3.直线的设法：消,设.尤其已知直线过轴上点；
消,设.尤其已知直线过轴上点.
4.弦长公式：已知
（1）设直线消,则.
（2）设直线消,则
若是方程的两根,则
注意: 任意两点的距离都可用弦长公式
5.两根之比的处理方法：若,且是方程的两根,
由可得
6.直线与圆锥曲线位置关系：
联立方程，
时相切
直线与抛物线及双曲线相交需按二次项系数为0与不为0分类讨论.
7.面积的表示方法:
（1）当坐标轴上的线段为定值时,
以坐标轴上的线段为底作为首选
如图(1)中,当为定值时
如图(2)中,当为定值时
（2）当坐标轴上的线段不为定值,宜将弦长作为底来表示面积
8.直线和曲线过定点问题：把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．
【常考题型剖析】
题型一：利用椭圆的定义求方程
（2021·全国高二课时练习）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
（2020·深圳实验学校高二月考）在中，点、 点，且是和的等差中项，则点的轨迹方程是____________________
题型二：根据方程表示椭圆求参数问题
（2021·全国高二课时练习）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是____________________
（2021·全国高二）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是两条直线
题型三：求椭圆的标准方程
求符合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）(过两点) 过点和
（2）（共焦点）过点（﹣3，2）且与椭圆1有相同的焦点．
（3）已知焦点在轴上的椭圆过点（，且离心率与椭圆相同.
题型四：椭圆的定义及其应用
☆考查知识点：||||的范围
（2021·全国高考真题）已知是椭圆： 的两个焦点，点在上，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2021·全国）已知椭圆： 的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆上一点的横坐标为2，是椭圆的右焦点，则点到点的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
题型四：焦点三角形面积
（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
题型五：存在性问题
【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：点差法
（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
（2022·全国高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
题型七：离心率的计算
（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的的左，右焦点分别为，以坐标原点为圆心，线段为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点．若，则椭圆的离心率的取值范围为______．
（2021·全国高二课时练习）设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为当时，椭圆的离心率为______．
（2021·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
（2021·全国高二单元测试）已知双曲线，是其左、右顶点，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
（2019·全国·高考真题（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为____________．
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
（2021·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是____________．
题型二：抛物线的弦长问题
（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线第一象限内一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
（2021·陕西汉中·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且 ，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
（2021·河北）已知点为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
题型三：直线与抛物线的位置关系
（2021·全国高二课时练习）直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
（2022·全国高三专题练习（理））已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线，与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
已知为椭圆：1的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于,两点,当点与坐标原点重合时,直线,的斜率之积为．
求椭圆的标准方程；
若2，求面积的最大值．
（2020届珠海一模文科）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过，两点.
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于两点，求当取何值时，的面积最大.
已知椭圆的离心率为，焦距为2.
求的标准方程；
过的右焦点作相互垂直的两条直线（均不垂直于轴），交于两点，交于两点. 设线段的中点分别为，证明：直线过定点.
