数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4 向量的数量积（共46张ppt）

(共46张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
学习目标
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.
核心素养：
1.数学抽象：数量积的定义；
2.逻辑推理：数量积的性质；
3.数学运算：求平面向量的数量积；
4.直观想象：投影向量。
O
B
A
θ
探究1：向量的夹角：
问题
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
为此，我们引入向量“数量积”的概念。
其中θ是 F 与 s 的夹角 .
W = |F||s| cosθ
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，
S
F
如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
探究2、平面向量数量积的定义：
数量积也称为内积
6.2.4 向量的数量积
探究2、平面向量数量积的定义：
那么它什么时候为正，什么时候为负？
探究应用
例1（教材P17例9改编）．已知|a |=5，|b |=1，a与b的夹角 ，求a ·b.
解： a ·b = |a | |b |cosθ
点金：定义法求平面向量的数量积：若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
探究3　投影向量
投影
投影
文字语言
图形语言
探究4：完成教材P19探究　
|a|cos θ e
符号语言
例2　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.
解　∵|b|＝1，∴b为单位向量.
思考：向量a方向上的单位向量还可用怎样的向量表示？
投影向量的求法
(1)向量a在向量 b上的投影向量为|a |cos θ e (其中e为与b同向的单位向量)
，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
(2)向量 b 在向量 a上的投影向量为| b |cos θ (其中e为与a同向的单位向量)
深度学习：投影向量与数量积有何联系
投影向量的求法2
(1)向量 a在向量b 上的投影向量为| a |cos θ e (其中e为与b同向的单位向量)
(2)向量 b 在向量a 上的投影向量为| b |cos θ (其中e为与a同向的单位向量)
例2变式　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求b在a上的投影向量.
法2　a在b上的投影向量为
法1　a在b上的投影向量为
（1）e · a
（2）a⊥b
（3）当a 与b 同向时，
（4）
（5）|a · b| ≤| a | · | b | .
探究6：数量积的性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
a · e
= | a | cos
=
a · b = 0
a · b = | a | | b |，
当a 与b 反向时，
a · b =－| a | | b |，
特别地
探究5：完成教材P9探究
练习（1）已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为（ ）
A.60° B.120° C.135° D.150°
解析　设a与b的夹角为θ，
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
B
（2）设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(　　)
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1
【解析】　e1·e2＝|e1||e2|cos＝±1.
【答案】　C
探究7、平面向量数量积的运算律：
.
O
C
A
A1
B
B1
两边同时乘以c向量的模，得：
例1.已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．
【解析】因为a2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，
得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，
则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，
所以|b|＝3，即向量b的模为3.
备选例题
课堂小结 升华素养
1.“四基”清单：
(1)向量的夹角.
(2)向量数量积的定义.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的性质.
（5）平面向量数量积的运算律
2.方法归纳：数形结合、等价转化.
3.常见误区(1)向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角.
(2)忽视向量数量积不满足结合律.
作业
1.教材P20练习T1-3+P23T11；
2.活页练习6.2.4+预习教材
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、温故知新:
1、数量积的定义：
其中：
　特别地：
是向量
和
的夹角，范围是：
≤
≤
注意：
平面向量的数量积与向量的和、向量的差本质区别是什么？
平面向量的数量积是一个数量，而向量的和、向量的差分别是一个向量。
O
B
A
θ
2.注意：向量的夹角：共起点
3、数量积的物理意义：
　　数量积的几何意义：　　
等于
的长度
与
在
的方向上的投影
的乘积。
θ
s
F
即
B1
4.投影向量的求法
(1)向量 a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ e (其中e
为与b同向的单位向量)
(2)向量 b 在向量a 上的投影向量为|b |cos θ e (其中e
为与a同向的单位向量)
5、数量积的主要性质：
(2)
(3)
与
同向
与
反向
特别地：
即
，
(4)
(5)
≤
(1)
6、平面向量数量积的运算律：
O
B
A
θ
O
B
A
θ
新知探究1、平面向量数量积的几何意义：
探究1、平面向量数量积的几何意义：
例1、已知e是单位向量，判断下列数量积的大小关系：
技巧:只需比较投影的大小
你学会了求数量积的两个技巧吗 （1）定义法（2）投影法
二、情境诱导，探求新知
利用向量线性运算可以解决平行、三点共线等问题，能解决垂直、角度、长度、距离等问题吗？
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题
数量积运算中常用到哪些公式？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
例2. 我们知道，对任意a ,b∈R，恒有
对任意向量 是否也有下面类似的结论？
解：
因此，结论是成立的.
探究2：类比代数运算探究内积常用公式
常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
(3)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.
探究3：数量积、模的计算
解题技巧（求向量模的常见方法和思路）
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．　
(2)a·a＝a2＝|a|2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
探究4：垂直问题
探究5：夹角问题
深度探究：题设中，夹角改为锐角，如何求λ的范围
已 知 是非零向量，且 与
垂直，
与 垂直，
求 的夹角。
①
②
例6.
代入①得
解：
探究6：综合应用问题
例1.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则|b|＝________.　
解析:∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，
备选例题
作业：练习T1-3+P23T12，P24T
作业：教材P2218-20，T24
1.“四基”清单：(1)向量数量积的运算律.
(2)利用数量积求向量的模和夹角. (3)向量垂直的应用.
2.方法归纳：类比法.
课堂小结