杨浦高级中学2023学年第二学期高二年级数学开学考
一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 掷一颗公正的六面骰子，观察向上的面的点数，则“点数为偶数”的对立事件是______．
【答案】点数为奇数
【解析】
【分析】根据对立事件的概念即可写出答案.
【详解】因为六面骰子的点数只有偶数点和奇数点两种情况，
故“点数为偶数”的对立事件是：点数为奇数，
故答案为：点数为奇数
2. 满足等式的正整数n的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据排列数公式展开，并计算，即可得答案.
【详解】因为，所以，
即，则，
故答案为：4
3. 圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成______个不同的三角形．
【答案】120
【解析】
【分析】根据圆周上任意三点不会共线，任选三点用组合数公式计算即可.
【详解】因为三点在圆周上，所以三点是不会共线的，
所以从十个点中任选三个点即可构成三角形，
所以可以组成不同的三角形的个数为.
故答案为：120.
4. 已知x是1，2，x，4，5这5个数中位数，又知，5，，y这四个数据的平均数为3，则的最小值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据中位数得到，根据平均数得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】x是1，2，x，4，5这5个数的中位数，故；
，5，，y这四个数据的平均数为3，故，即，
，当且仅当时等号成立.
故答案：12
5. 已知不共面，，，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，再由
，得出关于的方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，向量不共面，，，，
则
因为，
则，解得，
所以.
故答案为：.
6. 已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解
【详解】解：因为点，，，，
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为，
故答案为：
7. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为______．
【答案】##0.648
【解析】
【分析】由独立重复试验的概率公式计算即可.
【详解】由题意，设表示击中目标的次数，~，
故答案为：
8. 已知常数.在的二项展开式中，项的系数是项的系数的4倍，则______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】通过展开式得出项和项的系数，利用等量关系建立方程，解方程组即可得出的值.
【详解】解：由题意，
在的二项展开式中，展开式为，
当即时，，
∴项的系数为
当即时，，
∴项的系数为
∵项的系数是项的系数的4倍
∴解得：
故答案为：.
9. 已知三位数abc满足：以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则有______个满足条件的三位数．
【答案】165
【解析】
【分析】利用排列组合的方法，分等边三角形和等腰（非等边）三角形两类情况分类讨论求解.
【详解】若构成等边三角形，则这样的三角形的个数为个；
若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形有个，
由于三位数中只有两个不同数码，设为
注意到三角形腰与底可以置换，所以可取数码组有,
但是当大数为底时，设，必须满足.
此时，不能构成三角形的数码是：
9 8 7 6 5 4 3 2 1
4,3,2,1 4,3,2,1 3,2,1 3,2,1 2,1 2,1 1 1
共20种情况，同时，每个数码组中的二个数码填上三位数，有种情况，
故,
综上，
故答案为:165.
10. 已知圆锥的顶点为，为底面中心，，，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，，为的中点.设直线与平面所成角为，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论和均值不等式确定的最大值即可.
【详解】以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则：
，如图所示，由对称性不妨设且，
则，易知平面SAB的一个法向量为，
据此有：
，
当且仅当时等号成立，
综上可得：的最大值为.
【点睛】本题主要考查空间向量及其应用，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应使用2B铅笔填涂所选项的方框，选对得4分，否则一律得零分．
11. 以下5个命题，其中正确的是（ ）
①从1，2，3，，9九个数字中任取3个不同的数，组成三位数的个数为；
②4封信投入3个信箱，有种投法；
③从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有种选法；
④5个人相互通电话一次，通电话的总次数为次；
⑤5个人相互写一封信，所有信的数量封．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据各命题有无顺序，选择是排列还是组合问题，逐一判断.
【详解】①3个不同的数，组成三位数是排列问题，有顺序，组成三位数的个数为，故①错误；
②4封信投入3个信箱，每封信有3种选择，共有种投法，故②正确；
③从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，因为是同一份工作，没有顺序，有种选法正确，故③正确；
④5个人相互通电话一次，两人通一次电话就是互通，没有顺序，通电话的总次数为次正确，故④正确；
⑤5个人相互写一封信，两人相互写信指各写一封信，所有信的数量封，故⑤错误；
综上②③④正确，有3个正确.
故选：B.
12. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】由题，可得平面，后由平面，可得答案.
详解】由，，可知.
又平面，平面，，则平面.
因，平面，则平面.
故，即是直角三角形.
故选：C
13. 为创建“全国文明城区”，某市随机抽取了甲、乙两区，派出一个考核组对这两个区的创建工作进行量化考核．量化考核过程中，在两个区各随机抽取20个单位量化考核成绩，得到下图数据，以此作为依据对甲乙两个区的工作进行分析．关于甲、乙两个区的考核成绩，下列结论正确的是（ ）
A. 甲区样本数据的平均数是80
B. 甲区样本数据众数小于乙区样本数据众数
C. 不低于80的数据个数，甲区多于乙区
D. 甲区样本数据的分位数是83
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：计算甲区样本数据的平均数即可判断；对于B：分别计算两区的众数即可判断；对于C：分别计算两区不低于80的数据个数即可判断；对于D：计算甲区样本数据的分位数即可判断.
【详解】对于A：甲区样本数据的平均数
，A错误；
对于B：由图可知甲区众数为79,乙区众数为，B错误；
对于C：因为不低于80的数据个数, 甲区为5个, 乙区为：，C错误；
对于D：因为,甲区的分位数为：，D正确.
故选：D
14. 如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据射影面积法找到平面ABCD，平面，平面所成的锐二面角的关系，进而求的结果.
【详解】如图，作，．
在平面内，由平面．
在平面内，由面．又因为与全等，
设平面ABCD为平面α，平面为平面β，平面为平面γ.
由面积射影定理知：，
同理可得，
所以，故有．
故选：B.
【点睛】射影面积法求二面角大小的方法点睛：
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式，求出二面角的大小.
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
15. 2男3女排成一排，求：
（1）2个男生相邻的概率；
（2）3个女生都相邻的概率；
（3）判断（1）和（2）中的两个事件是否是独立事件，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用“捆绑法”求解即可；
（3）利用独立事件的乘法公式求解即可.
【小问1详解】
5个人排成一排共有种情况，
先把2个男生看作一个整体，共有种情况，
再将这个“整体”与3个女生排列，共有种情况，
所以2个男生相邻的概率.
【小问2详解】
先把3个女生看作一个整体，共有种情况，
再将这个“整体”与2个男生排列，共有种情况，
所以3个女生相邻的概率.
【小问3详解】
将2个男生看作一个整体，3个女生看作一个整体，
由此可得2个男生和3个女生都相邻的概率，
因为，所以（1）和（2）中的两个事件不是独立事件.
16. 如图，在四棱锥中，底面正方形ABCD的边长为2，底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为．
（1）求PA的长度；
（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直进而可得平面，进而是是与平面所成的角，因此，求出，由此能求出．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．
【小问1详解】
在四棱锥中，底面正方形的边长为2，底面，底面，，又，
又，平面
平面，
是直线与平面所成的角，
与平面所成的角为．
，解得，
．
【小问2详解】
以为原点，以，，为正方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，0，，，2，，
，1，，，2，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的大小．
17. 某工厂36名工人的年龄数据如下表．
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
A．40 J．36 S．27 AB．34
B．44 K．31 T．43 AC．39
C．40 L．38 U．41 AD．43
D．41 M．39 V．37 AE．38
E．33 N．43 W．34 AF．42
F．40 O．45 X．42 AG．53
G．45 P．39 Y．37 AH．37
H．42 Q．38 Z．44 AI．49
I．43 R．36 AA．42 AJ．39
（1）计算按随机抽样法抽取到样本44，40，36，43，36，37，44，43，37样本的平均值x和方差；
（2）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比足多少（精确到）？
【答案】（1）平均值为40，方差为
（2）在和之间的人数有23人，所占的百分比为
【解析】
【分析】(1)根据平均数和方差公式求解；
(2)利用频率公式求解.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
因为，所以，
所以36名工人中年龄在和之间的人数等于在区间内的人数，
即，共23人，
所以36名工人中年龄再和之间的人数所占的百分比为.
18. 如图，已知直三棱柱中，，， 分别是 的中点，点在直线上运动，且
（1）证明：无论取何值，总有平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，位置满足
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点， 所在的直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，计算，可得证；
（2）假设存在，由空间向量法求二面角可得．
【小问1详解】
证明：如图，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，，，，，，
由，可得，
所以，，又
所以，，
所以，，.又，平面，
所以平面，
所以无论取何值，总有平面.
【小问2详解】
解：设是平面法向量，
则，即，
令，所以是平面的一个法向量，
取平面的一个法向量为
假设存在符合条件的点，则，
化简得，解得或（舍去）.
综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为.
19. 将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求得表达式；
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率.
（2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案.
【小问1详解】
当时，，
即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，
则恰好取到0的概率为；
【小问2详解】
当时，这个数有1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，；
综上所述：，
【小问3详解】
时，，
当时，；
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于k单调递增，
故当时，有的最大值为，
又，所以当时，的最大值为．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.杨浦高级中学2023学年第二学期高二年级数学开学考
一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 掷一颗公正的六面骰子，观察向上的面的点数，则“点数为偶数”的对立事件是______．
2. 满足等式的正整数n的值为______．
3. 圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成______个不同的三角形．
4. 已知x是1，2，x，4，5这5个数中位数，又知，5，，y这四个数据的平均数为3，则的最小值为______．
5. 已知不共面，，，，若，则______．
6. 已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为________．
7. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为______．
8. 已知常数.在的二项展开式中，项的系数是项的系数的4倍，则______.
9. 已知三位数abc满足：以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则有______个满足条件的三位数．
10. 已知圆锥的顶点为，为底面中心，，，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，，为的中点.设直线与平面所成角为，则的最大值为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应使用2B铅笔填涂所选项的方框，选对得4分，否则一律得零分．
11. 以下5个命题，其中正确的是（ ）
①从1，2，3，，9九个数字中任取3个不同的数，组成三位数的个数为；
②4封信投入3个信箱，有种投法；
③从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有种选法；
④5个人相互通电话一次，通电话的总次数为次；
⑤5个人相互写一封信，所有信的数量封．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ）
A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
13. 为创建“全国文明城区”，某市随机抽取了甲、乙两区，派出一个考核组对这两个区的创建工作进行量化考核．量化考核过程中，在两个区各随机抽取20个单位量化考核成绩，得到下图数据，以此作为依据对甲乙两个区的工作进行分析．关于甲、乙两个区的考核成绩，下列结论正确的是（ ）
A. 甲区样本数据的平均数是80
B. 甲区样本数据众数小于乙区样本数据众数
C. 不低于80的数据个数，甲区多于乙区
D. 甲区样本数据的分位数是83
14. 如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
15. 2男3女排成一排，求：
（1）2个男生相邻的概率；
（2）3个女生都相邻的概率；
（3）判断（1）和（2）中的两个事件是否是独立事件，并说明理由．
16. 如图，在四棱锥中，底面正方形ABCD的边长为2，底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为．
（1）求PA的长度；
（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．
17. 某工厂36名工人的年龄数据如下表．
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
A．40 J．36 S．27 AB．34
B．44 K．31 T．43 AC．39
C．40 L．38 U．41 AD．43
D．41 M．39 V．37 AE．38
E．33 N．43 W．34 AF．42
F．40 O．45 X．42 AG．53
G．45 P．39 Y．37 AH．37
H．42 Q．38 Z．44 AI．49
I．43 R．36 AA．42 AJ．39
（1）计算按随机抽样法抽取到样本44，40，36，43，36，37，44，43，37样本的平均值x和方差；
（2）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比足多少（精确到）？
18. 如图，已知直三棱柱中，，， 分别是 的中点，点在直线上运动，且
（1）证明：无论取何值，总有平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
19. 将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求得表达式；
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值．
