2021-2022学年黑龙江省人教版八年级数学下学期期末试题选编——第十八章平行四边形练习题（附答案解析）

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图在 ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则 ABCD的周长为（　　）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
2．（2022春·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）如图，过对角线的交点，交于，交于，若的周长为36，，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．20
3．（2022春·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，连接、，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2022春·黑龙江黑河·八年级统考期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
6．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）．
A．18m B．24m C．28m D．30m
7．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．6
8．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
9．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．52° C．62° D．72°
10．（2022春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
11．（2022春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别是DC和BC边上的动点，且始终保持EF＝BF＋DE，连接AE与AF，分别交DB于点N，M，过点A作AH⊥EF于点H．下列结论：①∠EAF＝45°；②∠BAF＝∠HAF；③AH＝；④∠DNE＝67.5°；⑤DN2＋BM2＝NM2．其中结论正确的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③⑤ C．②④⑤ D．①②③④
二、填空题
13．（2022春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 _____．
14．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）
15．（2022春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
16．（2022春·黑龙江鸡西·八年级统考期末）已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是_____________cm．
17．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小军在池塘的一侧选取一点P，测得PA，PB的中点分别是D、E，且DE的长为16米，则A，B间的距离为________米．
18．（2022春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝__．
19．（2022春·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
20．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD=10,点E为DC边上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点E刚好落在BC边上的点F处，则CE的长是___．
21．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级校联考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___．
22．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．
23．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，正方形和正方形的边长分别为3和2，点E、G分别为边上的点，H为的中点，连接，则的长为____________．
24．（2022春·黑龙江七台河·八年级统考期末）如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____．
三、解答题
25．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
26．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知CD为△ABC中线，E为CD上一点，连接AE并延长至点F，使，连接BF、CF，．
(1)求证：四边形DBFC是平行四边形．
(2)设四边形ABFC的面积为S，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中四个面积等于的三角形．
27．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长．
28．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
29．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
30．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，对角线的中点为O，点E为上的动．点，连接，并延长交于点F．
(1)求证：．
(2)连接，，若，试判断四边形的形状，并给出证明过程．
31．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知四边形ABCD是菱形，点F在CD上，点E在BC的延长线上，连接AE、BF交于点H，∠AHB＝∠ADC．
(1)如图1，当点F与点D重合时，求证：AE＝BF
(2)如图2，当点F不与点D重合时，（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若AB＝13，CF＝11，BF＝20，求CE的长
32．（2022春·黑龙江七台河·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
33．（2022春·黑龙江绥化·八年级校考期末）（1）如图①，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，点 N 是 CD 延长线上一点， 且BM=DN，则线段 AM 与 AN 的关系．
（2）如图②，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且∠EAF=45°，判断 BE，DF，EF 三条线段的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边 BC、CD 上，且∠EAF=45°，若 BD=5，EF=3，求四边形 BEFD 的周长．
参考答案：
1．D
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【详解】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故选D．
2．A
【分析】根据平行四边形的性质可求出AD+CD的值，易证△AOE≌△COF，所以AE=CF，OE=OF=3，根据CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF即可求出答案．
【详解】在平行四边形ABCD中，
2（AB+BC）=36，
∴AB+BC=18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC
∴∠AEF=∠CFE，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，OE=OF=3，
∴EF=6
∴AB+BF+FE+EA
=AB+BF+CF+EF
=AB+BC+EF
=18+6
=24
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质，本题属于中等题型．
3．D
【分析】首先根据题意，得出，然后根据，，得出，再根据，，得出，进而得出，最后根据垂直平分线的性质，得出，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴
又∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴平分，故正确；
∵
又∵
∴（三线合一）
∴平分，故正确；
∵
∴
又∵
∴
∴，故正确
∵
∴点在的垂直平分线上
∴（垂直平分线的性质），故正确
综上可得：均正确
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
4．B
【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解．
【详解】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵□ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键．
5．D
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
6．C
【详解】解：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线，
则AB=2DE=28米．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质．
7．B
【分析】先证明 再证明四边形AEPF是矩形，连接PA，当AP⊥CB时，AP最小，可得EF最小，再利用三角形面积解答即可．
【详解】解：连接PA，
，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠PFA=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=PA，
∴当PA最小时，EF也最小， 即当AP⊥CB时，PA最小，
∴PA的最小值为： ．
∴线段EF长的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
8．B
【详解】A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B．∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故选B．
9．C
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵ ，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
10．C
【分析】据已知条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH＝EF＝FG＝HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件．
【详解】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∵FG＝EH＝DB，HG＝EF＝AC，
∴要使EH＝EF＝FG＝HG，
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD应具备的条件是BD＝AC，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键．
11．C
【分析】根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.
【详解】根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
12．B
【分析】把△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，过点B作BK平分∠ABG，BK与AG交于点K，连接MK，证明△AEF≌△AGF，得∠EAF＝∠GAF，便可判断结论①；由△AEF≌△AGF得∠AFE＝∠AFG，再根据等角的余角性质，便可判断结论②；由AH⊥EF，AB⊥BC，∠AFE＝∠AFB，根据角平分线的性质便可判断结论③；证明Rt△ADE≌Rt△AHE，得∠DAE＝∠DAH，若AH不在AC上，则∠DAH≠45°，此时，∠DAE≠22.5°，根据三角形外角性质得∠DNE≠67.5°，便可判断结论④；证明△ADN≌△ABK，得DN＝BK，再由勾股定理得BM2＋BK2＝MK2，进而得DN2＋BM2＝MK2，再证明△AMN≌△AMK，得MN＝MK，便可判断结论⑤．
【详解】解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，过点B作BK平分∠ABG，BK与AG交于点K，连接MK，如图，
则AG＝AE，∠ABG＝∠ADE＝90°，DE＝BG，∠DAE＝∠BAG，
∵∠ABC＝90°，
∴G、B、C共线，
∵EF＝BF＋DE，
∴EF＝BF＋BG＝GF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF，
∵∠DAE＝∠BAG，
∴∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠EAF＝∠EAG＝45°，
故①正确；
∵△AEF≌△AGF，
∴∠AFE＝∠AFG，
∵AH⊥EF，∠ABC＝90°，
∴∠BAF＋∠AFB＝∠HAF＋∠AFH＝90°，
∴∠BAF＝∠HAF，
故②正确；
∵AH⊥EF，AB⊥BC，∠AFE＝∠AFB，
∴AH＝AB＝，
故③正确；
∵AD＝AB，AB＝AH，
∴AD＝AH，
在Rt△ADE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AHE（HL），
∴∠DAE＝∠HAE，
∴，
若AH不在AC上，则，
此时，，
∵∠DNE＝∠DAN＋∠ADN，∠ADN＝∠ADC＝45°，
此时，，
故④不正确；
∵BK平分∠ABG，∠ABG＝90°，
∴∠ABK＝45°，
在△ADN和△ABK中，
，
∴△ADN≌△ABK（ASA），
∴DN＝BK，AN＝AK，
∵∠ABD＝45°，∠ABK＝45°，
∴∠MBK＝90°，
∴BM2＋BK2＝MK2，
∴DN2＋BM2＝MK2，
在△AMN和△AMK中，
，
∴△AMN≌△AMK（SAS），
∴MN＝MK，
∴DN2＋BM2＝NM2，
故⑤正确．
综上所述，结论正确的为①②③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分的性质以及勾股定理等知识，图形复杂，涉及的知识点多，综合性强，难度大，解题关键在于构造与证明全等三角形．
13．7
【分析】根据勾股定理先求CE的长，由∠B=45°，得出△ABE是等腰直角三角形，BE=AE=3，从而BC=BE+CE，再由平行四边形的性质得出AD=BC即可．
【详解】∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°，
∴,
∵∠B=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AE=3,
∴BC=BE+CE=7，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．AD=BC（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB=CD.
【详解】解：添加的条件：AD=BC，理由是：
∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键.
15．12
【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm），
∴OC=OA，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：12．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．
16．3
【分析】分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，易证明四边形CPDH是平行四边形，从而得到M是PH的中点故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，由此求解即可．
【详解】解：如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
∵△APC、△BPD都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，
∴四边形CPDH是平行四边形，
∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，
故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，
∴cm，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．
【分析】结合题意，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵D、E分别是PA，PB的中点，
∴DE是△PAB的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米，
故答案为：32．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
18．1
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴在Rt△CEO中，由勾股定理可知：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，关键是掌握矩形的性质．
19．
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【详解】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
20．3
【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质得到AF =AD= 10、EF=DE，再运用勾股定理求得CF=4，设CE=x，DE=EF=8-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD =AB =8，BC= AD=10，∠B=∠D=∠C=90°
∵△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处，
∴AF =AD= 10，EF=DE
在Rt△ABF中，BF =
∴CF =BC-BF=10-6=4，
∴设CE=x，DE=EF=8-x
在Rt△CEF中，.
∵CF2+CE2=EF2，
∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，
∴CE的长为3．
故填3．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，根据勾股定理出列方程是解答本题的关键．
21．5
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为5
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质，熟练掌握其性质是解决此问题的关键．
22．##4.8
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，
∴BC＝＝5cm，
∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝cm．
故答案为 cm．
【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
23．##
【分析】延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，利用三角形中位线的判定及性质求出FN、NH，再利用勾股定理求出的长．
【详解】解：延长GF交AB于M，过点H作HN⊥GM于N，
∵正方形和正方形，
∴GM⊥AB，FM=3-2=1，BM=3-2=1,
∴FM=BM，，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24．12
【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点，
，且．
同理求得，且，
又，
，且．
四边形是矩形．
四边形的面积，即四边形的面积是12．
故答案是：12．
【点睛】本题考查的是中点四边形，解题的关键是利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
25．见解析.
【分析】由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】证明：∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠DAE=∠BCF=90°，
在△ADE和△CBF中，
∵∠DAE=∠BCF，∠ADE=∠CBF，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF(AAS) ，
∴AD=BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC．
26．(1)见详解
(2)S△BCF=S△AFC= S△BCD= S△ACD=
【分析】（1）根据平行线得出∠DAE=∠CFE，再证△ADE≌△FCE（AAS），利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）利用中线得出S△ACD=S△BCD，利用平行四边形对角线性质得出S△DBC=S△FBC，利用△ACF与△BCF为同底等高的三角形，得出S△BCF=S△AFC，由S四边形ABFC=S△ADC+S△BDC+S△BFC=3S△ADC即可得出结论
（1）
证明：∵，
∴∠DAE=∠CFE，
在△ADE和△FCE中,
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AD=FC，
∵CD为△ABC中线，
∴AD=BD=CF，
∵BD∥FC，
所以四边形DBFC为平行四边形；
（2）
∵CD为△ACB的中线，
∴S△ACD=S△BCD，
∵BC为平行四边形DBFC的对角线，
∴S△DBC=S△FBC，
∵△ACF与△BCF为同底等高的三角形，
∴S△BCF=S△AFC，
∵S四边形ABFC=S△ADC+S△BDC+S△BFC=3S△ADC，
∴S△ADC=，
∴S△BCF=S△AFC= S△BCD= S△ACD=．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等判定与性质，中线性质，同底等高三角形性质，掌握平行四边形的判定与性质，三角形全等判定与性质，中线性质，同底等高三角形性质是解题关键．
27．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，利用等量关系得，根据等腰三角形的性质可得G是AH的中点，则可得AG是△ABH的中位线，进而可求证结论．
（2）根据平行四边形的性质得，进而可根据平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质结合平行线的性质可得，，根据三角形内角和可得∠KBF=∠BKF，可得△BFK为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质即可求证结论．
（3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，根据平行四边形的判定及性质可得，，则，利用勾股定理的逆定理得△AKD为直角三角形，且，则可得，进而可得，利用SAS可得，进而可得，根据利用勾股定理即可求解．
(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴△ADH为等腰三角形，
∵，
∴，
∴G是的中点，
∴E是的中点，
∴EG是△ABH的中位线，且EG与DE在同一直线上，
∴．
(2)
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠KBF=∠BKF，HF⊥BK，
∴△BFK为等腰三角形，
∴HF为BK的垂直平分线，
∴BH=HK．
(3)
连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
设，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴△AKD为直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、平行四边形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理及判定定理，巧妙借助辅助线解决问题是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)四边形ADCF是矩形，理由见解析
【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；
（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．
【详解】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中点；
（2）解：四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF=DC，AFDC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．
30．(1)见解析
(2)菱形，见解析
【分析】（1）利用平等四边形对边互相平行证明，，再利用O为AC中点可知，得证，根据全等三角形对应边相等可证．
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据其对角线可证明其为菱形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，．∵O为中点，∴，∴，∴．
（2）四边形是菱形，证明如下：∵点O是中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形、平行四边形和菱形的知识，充分利用平行四边形的条件可容易得到证明所需条件．
31．(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)8
【分析】（1）根据菱形的性质可得，进而证明，根据等角对等边可得，证明，同理可得，即可得证；
（2）在上取一点K，使，连接，证明，即可得证；
（3）过点A作于点T，设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，解方程求得的值，即可求解．
（1）
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
也即；
（2）
当点F不与点D重合时，（1）中的结论成立，证明如下：
在上取一点K，使，连接，如图：
则，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
，
∴；
（3）
在（2）的条件下，，
∴，
过点A作于点T，如上图，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得
∴，
解得：，
∴，
∴，
即的长为8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
32．见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
33．（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由见解析；（2）BE+DF=EF；（3）四边形BEFD的周长为11．
【分析】（1）利用正方形条件证明△ABM≌△ADN，即可推出结论,
（2）过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G,证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题,
（3）过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题.
【详解】（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，
∵BM=DN，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，
∴∠AMN=∠BAD=90°，
∴AM⊥AN，
（2）如图②中，过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE 和△ADG 中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE 和△FAG 中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
（3）如图③中，过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．
∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG，
∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE 和△ADG 中，
，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，BE=DG．
∵∠EAF=45°，AG⊥AE，
∴∠EAF=∠GAF=45°．
在△FAE 和△FAG 中，
，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴BE+DF=EF．
∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB=3+3+5=11．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定,正方形的性质,中等难度,作辅助线是解题关键.