20203届高三数学二轮培优教案：微专题36讲 01.盘点全国卷中的同构问题

函数同构
函数同构问题是当下的一个热门问题，2022，2020,的导数问题就可以从同构角度构造恒成立. 同构问题常见于指对混合函数的恒成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性较强. 当然这类指对混合函数的恒成立也可用其他方法完成，在这里学习同构，更多的是提升观察与思维能力.
一．基本原理
解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①；②；③；④；⑤.
答题思路；
1.直接变形：
（1）积型：（同左）；
（同右）；
（取对数）.
说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.
（2）商型：（同左）；
（同右）；
（取对数）.
（3）和差型：（同左）；
（同右）.
2.先凑再变形：
若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有：
①；
②；
③
④
⑤
二．典例分析
例1.（2022全国甲卷）
已知函数．
（1）若,求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
解析：（1），令，则，于是
.于是等价于在上恒成立，故.
（2）由（1）知要使得有两个零点，则
假设.要证明即证明，又由于在单增，即证明.下面构造函数
由于，又函数在单减，.
时在单调递增，而
得证．
例2.已知函数．（为常数）若，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
解析：由题意得：；
即：因为，当且仅当时等号成立，构造容易得：，所以只需要满足.
例3．已知函数，其中.
（1）当时，求的最小值；
（2）讨论方程根的个数.
解析：（1）的最小值是.
（2）由题，，则，
即.所以.由，得.当时，；
当时，；所以，在上递减；在上递增.
又因为，所以，当且仅当或.又，故和不可能同时成立.所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中
当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，，令，即，解得.
当易知时，,单调递减，当时，，单调递增；
在处取得最小值为，所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.
同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，
设，则，所以函数在单调递增，在处的函数值为，所以故时，在上必有1个零点.综上所述，时，方程有1个根；时，方程有2个根；时，方程有3个根.
例3.（2022全国新高考1卷）
已知函数和有相同的最小值.
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
解析：（2）由（1）可得，的最小值在处取到，的最小值在处取到，且最小值均为1. 于是,在上增，在上减，则存在，使得
.这样的话，令,且直线与两条曲线和共有三个不同的交点.
另一方面，注意到，考虑函数，则.
设直线与两条曲线和从左到右的三个交点横坐标为.且有.由上述讨论可知：，故①，同理，由②可得：.又因为③
联立①，②，③可得：，即从左到右的三个交点横坐标成等差数列.
习题演练
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C解： A选项：，设
，设，则有恒成立，所以在单调递增，所以，从而存在，使得，由单调性可判断出：
，所以在不单调，不等式不会恒成立B选项：
，设可知单调递增.所以应该，B错误C选项：，构造函数，，则在恒成立。所以在单调递减，所以成立.
D选项：，同样构造，由C选项分析可知D错误.
习题2.已知不等式最小值为（ ）
B. C. D.
解析：
，
只需考虑其为负数的情况，
，
令
故