数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王琦（盐城市毓龙路实验学校）
11.1 反比例函数
教学目标
结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式；
3．在探索过程中，引导学生体会反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型．
教学重点
反比例函数的概念．
教学难点
1．讨论两个变量之间的相互关系，从而让学生加深对函数概念的理解；
2．通过对反比例函数的简单应用，使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白：
同学们，在小学里，我们已经知道如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例．例如当路程s一定时，时间t与速度v的关系．那成反比例的两个量之间的关系，怎样用函数表达式来表示呢？
回顾旧知，进入学习状态．
从学生熟悉的反比例知识入手，引发学生的数学学习兴趣．
引入：
南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v(km/h)开往上海，全程所用时间为t(h)．写出t、v的关系式，并填写下表：
v
60
80
90
100
120
t
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？为什么？
积极思考，回答问题，填写表格．
让学生重新回顾函数的有关知识，为引入反比例函数的概念做好准备．
实践探索：
用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系．
（1）计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化；
（2）一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；
（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水池所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化；
（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化．
交流讨论，积极回答：
参考答案：（1）y＝；（2）y＝；（3）t＝；（4）m＝－．
通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生小组合作意识．
观察归纳：
以上函数表达式具有什么共同特征？你还能举出类似的实例吗？
小组讨论，代表回答：
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
注意：
1．反比例函数也可以表示为y＝kx-1(k为常数，k≠0)的形式．
2．反比例函数的自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
通过学生相互讨论，培养学生对问题的分析以及归纳能力，提高学生的数学语言表达能力．
典型例题：
写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）面积是50 cm2的矩形，一边长y(cm)随另一边长x(cm)的变化而变化；
（2）体积是100 cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积S(cm2)的变化而变化．
独立思考，积极回答：
参考答案：（1）根据题意，得xy＝50，即y＝；
（2）根据题意，得Sh＝100，即h＝；
通过例题加强学生对反比例函数的概念及关系式的认识．
课堂提升：
课本125页练习．
独立完成，组内互查，代表总结．
培养学生独立解决问题的能力和合作学习能力．
总结：
怎样判断函数是否为反比例函数？
反比例关系与反比例有何区别与联系？
反比例函数和一次函数有什么区别和联系？
通过这节课的学习，你有什么收获，和大家分享一下吧．
讨论后共同小结．
师生互动，锻炼学生的有条理的表达能力，使学生养成在学习过程中善于对问题进行总结归纳和提升．
课后作业：
课本126页习题第1、2题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王琦（盐城市毓龙路实验学校）
11.2 反比例函数的图像与性质（1）
教学目标
能简单分析反比例函数的特征；
用描点的方法画出反比例函数的图像；
3．经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的数学思想方法．
教学重点
画反比例函数的图像．
教学难点
1．理解用光滑的曲线顺次连接各点；
2．根据图像分析函数具有的一些特征，感受数形结合的思想方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白：
同学们，我们已经知道一次函数（k、b为常数，k≠0）的图像是一条直线．本节课我们一起研究反比例函数（k、b为常数，k≠0）的图像是怎样的图形．
带着疑问思考，进入课堂状态．
温故知新，通过回顾一次函数的图像和性质及研究方法，引导学生用同样的方法研究反比例函数的图像和性质．
引入：
已知反比例函数，请你描述一下这个函数图像具有哪些特征？
思考下列问题：
（1）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？
（2）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？
（3）当＞0时，随着x的增大，y怎样变化？
当＜0时，随着x的增大，y怎样变化？
这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？
积极思考，回答问题．
参考答案：（1）x、y所取值的符号为同号，函数的图像在一，三象限．
（2）x、y的值不可以为0，否则函数表达式没有意义．当然与x轴、y轴也没有交点．
（3）当＞0时，随着x的增大，y在减小；当＜0时，随着x的增大，y也在减小．越向x轴、y轴两端，函数图像与x轴、y轴越靠近，但不相交．
让学生在不知道函数图像的前提下，先进行独立思考，这样有利于培养学生的空间想象能力和独立解决问题的能力．当其中有部分问题不能轻易解决时，易引导学生利用以前研究一次函数性质的方法即画函数图像来研究反比例函数．这样自然就过渡到了下部分教学内容，画反比例函数的图像．
实践探索一：
画反比例函数的图像．
1．列表，恰当的选取几个自变量x的值，并计算相应的y的值．
x
…
－6
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
6
…
…
…
2．在平面直角坐标系中描出相应的点．
3．用平滑的曲线分别顺次连接第一和第三象限内的点，得到的两个分支合在一起就是反比例函数的图像．
小组交流讨论，独立操作画图：
参考答案：1．表格．
x
…
－6
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
6
…
…
－1
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1
…
2．图像．
通过学生相互讨论，动手操作使学生主动参与到学习活动中来，同时培养学生的计算能力、画图能力，以及小组成员之间合作交流的能力．
实践探索二：
说一说反比例函数的图像具有哪些特征，并请在刚才坐标系中画它的图像．
组内讨论交流，代表回答问题，展示图像．
进一步提高学生的观察分析能力和语言表达的条理性，培养学生动手操作的好习惯．
课堂提升：
课本128页练习．
画出反比例函数、的图像．
独立完成，组内互评，代表点评．
在巩固课堂内容的同时，使得组内成员形成互助互学的良好氛围．
总结：
本节课我们了解反比例函数的简单特征，通过自己认真计算、动手操作，画出了反比例函数的图像．在画图过程中你发现有什么需要注意的地方？
讨论后共同小结．
培养学生主动总结知识的习惯，锻炼学生的语言表达能力，发表自己看法，同时听取他人的好的建议．
课后作业：
课本134页习题第1、2题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：方秀林（盐城市毓龙路实验学校）
11.2 反比例函数的图像与性质（2）
教学目标
1．会用待定系数法确定反比例函数解析式；
2．能根据图像分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
教学重点
分析并掌握反比例函数的性质．
教学难点
理解反比例函数的性质．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
导语：
同学们，在上节课我们画出了反比例函数、、、的图像，请观察这些函数的图像，思考反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像有什么特征？
学生观察、思考．
引导学生对函数图像进行分类讨论．
引导学生思考如下问题：
（1）每个函数的图像分别在哪几个象限？
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？
（3）反比例函数的图像与x轴有交点吗？与y有交点吗？为什么？（小组讨论）
积极思考，小组合作，归纳总结．
让学生根据图形得到直观的结论，再小组合作交流，发展学生的语言表达能力．
数学实验室：
反比例函数的图像随k值的变化情况．
随着图形的动态变化，进一步体验反比例函数的性质．
通过几何画板文件演示反比例函数的图像随k值的变化情况，让学生在图像的动态变化中领悟反比例函数的性质．
总结：
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图像是双曲线．
当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
和教师一起总结反比例函数的性质．
通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯和有条理的表达能力．
例1 已知反比例函数y＝的图像经过点A（2，－4）．
（1）求k的值；
（2）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图像；
（4）点B（，－16）、C（－3，5）在这个函数的图像上吗？
学生先独立思考后，写出解答过程，然后小组交流补充，形成完整的有条理的解题过程．
引导学生认识反比例函数由k值确定．要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图像上一个点的坐标即可．
学会用待定系数法求反比例函数的表达式．
会判断一个点是否在函数图像上．
探索反比例函数图像的中心对称性：
（1）点A （4 ，－2 ）在函数的图像上吗？写出点A关于原点O对称的点A′的坐标，点A′在函数的图像上吗？
（2）在函数的图像上任取一点B，点B关于原点O的对称点B′在这个函数的图像上吗？
函数的图像上画出相应的点，并判断这些点是否在函数图像上．
学生动手操作，探索反比例函数图像的中心对称性．
总结：
反比例函数的两支图像关于原点对称．
学生自主小结．
培养学生勇于发表自己看法的能力．
练习：P130-131第1、2题．
课后作业：
P134第3题．
温故知新，练习提高．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：方秀林（盐城市毓龙路实验学校）
11.2 反比例函数的图像与性质（3）
教学目标
1．能根据实际问题中的条件确定函数的类型，明确函数图像所在象限及有关性质；
2．能根据已知点的横坐标，确定点所在的象限，从而比较纵坐标的大小．
教学重点
利用反比例函数某些特征，分析反比例函数的图像和性质．
教学难点
根据实际问题的条件确定反比例函数自变量的取值范围并画出正确的图像；根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
课前导学：
1．如图，是反比例函数y ＝的图像的一支．
（1） 函数图像的另一支在第几象限？
（2）求常数m的取值范围．
2．若点A(7，y1)、B(5，y2)在反比例函数图像上，则y1和y2的大小关系为_________；
学生复习、思考并解题．
小组合作，互相评价．
引导学生复习反比例函数的图像和性质，引发学生思考．
例题教学：
例2 设菱形的面积是5cm2，两条对角线的长分别是xcm、ycm．
（1）确定y与x的函数表达式；
（2）画出这个函数的图像．
（用几何画板画出图形）
先积极思考、独立解题，再小组合作，归纳总结．
解：（1）由“菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半”，得．
y与x的函数表达式为，y是x的反比例函数．
（2）根据题意，可知x＞0．
反比例函数（ x＞0）的图像是其在第一象限的一支．
引导学生根据实际问题的条件确定函数的类型，并确定反比例函数自变量的取值范围并画出正确的图像．体会该图像是双曲线的一支．
例3 已知反比例函数的图像与一次函数y＝x＋1的图像的一个交点的横坐标是－3．
（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；
（2）根据反比例函数图像，指出当x＜－1时，的取值范围．
（用几何画板画出图形）
师生共同完善解题过程．
学生先独立思考后，写出解答过程，然后小组交流补充，形成完整的有条理的解题过程．
解：（1）把x＝－3代入y＝x＋1，得 y＝－2．
根据题意，可得反比例函数的图像与一次函数的图像的一个交点的坐标是（－3，－2）．
把x＝－3 、y＝－2代入，得，即k＝6．
函数的图像如图．
（2）由函数图像可知，当x＜－1时，－6＜y＜0．
引导学生掌握根据点的坐标求函数表达式的一般方法，明白函数图像在解题中的重要性，一切性质皆源于图像．
练习：P132练习1、2．
独立完成，互相交流．
培养学生勇于发表自己看法的能力．
学生自主小结．
课后作业：
P135第4、5题．
温故知新，练习提高．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王 萍（盐城市毓龙路实验学校）
11.3 用反比例函数解决问题（1）
教学目标
1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；
2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力；
3．在交流过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．
教学重点
把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想．
教学难点
1．把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想；
2．将生活问题与数学问题联系起来，培养学生对数学的兴趣．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白：
同学们，你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？
进入状态，积极思考，回答问题．
由学生熟悉的情景入手，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．
引入：
反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，它与一次函数、正比例函数一样，在生活、生产实际中也有着广泛的应用．
在一个实际问题中，两个变量x、y满足关系式（k为常数，k≠0），则y就是x的反比例函数．这时，若给出x的某一数值，则可求出对应的y值，反之亦然．
给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．
实践探索一：
小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（1）如果小明以每分钟 120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？
（2）完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？
（3）在直角坐标系中，作出相应函数的图像；
（4）要在3h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
（分析：条件“3h内”即t的范围是0＜t≤3，而要求“每分钟至少应录入多少个字”是求v的取值范围，这是个不等式的问题．由于反比例函数t，当v＞0时，t随v的增大而减小，所以，当t取得最大值时，v有最小值；因此我们可以通过等式去解决这个问题） ．
（5）你能利用图像对（4）作出直观解释吗？
互相讨论，踊跃回答：
参考答案：（1） ．
所以完成录入任务需200 min ．
（2）由v·t＝24000，得t．
完成录入的时间t是录入文字的速度v的反比例函数．
（3）略．
（在实际问题中，反比例函数的自变量与函数的取值不再是非零实数，一般为正数、正整数等）．
（4）把t＝180代入v·t＝24000，得
≈133.3．
小明每分钟至少应录入134字，才能在3h内完成录入任务 (本题v的取值为正整数，需对计算结果“进一”， 作为实际问题的解．不等式的问题转化为求函数值的问题）．
（5）我们在函数图像上找到当t＝180的点，此时在这个点下侧也就是右侧的函数图像所对应的v值都是满足要求的．结合实际意义，此时v为≥134的正整数．
通过生活中的实际问题得出具体的反比例函数，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的认识．
通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．
实践探索二：
某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（1）蓄水池的底面积S(m2）与其深度h(m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？
（3）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少米（精确到0.01）？
小组讨论，代表回答：
（1）由Sh＝4×104，得．
蓄水池的底面积S是其深度h的反比例函数．
（2）把h＝5代入，得．
当蓄水池的深度设计为5m时，它的底面积应为8000m2 (本题中给出了 h 的值，求相应 S 的值，这是个求函数值的问题）.
（3）根据题意，得S＝100×60＝6000．
把S＝6000代入，得≈6.667．
蓄水池的深度至少应为6.67m ．
通过学生相互讨论，提高学生的分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．无论学习成绩好坏，学生都有自己的思维方式和解决问题的途径，通过回答能把这些情况展示出来，有利于教师对症下药，掌握学生思路上的偏差．
实践探索三：
某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa）是气体体积V(m3）的反比例函数，其图像如图所示．
（1）你能写出这个函数表达式吗？
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
练习：课本练习1、2．
小组讨论，代表回答：
（1） ；
（2）当V＝1m3时， ．
（3）当P＝140时，V＝≈0.686．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
学生答题的过程，就是学生主动参与学习的过程，既提高了学生的参与度，又发挥了学生的自由度，变被动学为主动学．
生活中还有许多反比例函数模型的实际问题，你能举出例子吗？
积极思考，踊跃回答．
让学生进一步感受反比例函数是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型．学生利用已有的生活经验与对反比例函数的认识，通过举例、说理、交流达到内化、升华，渗透函数建模的数学思想．
最大限度地激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的主动性和解决问题的能力，从而培养对数学学科的浓厚兴趣．让学生真正体会到生活处处皆数学，生活处处有函数．
总结：
讨论后共同小结．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后作业：
课本习题1、2．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王萍（盐城市毓龙路实验学校）
11.3 用反比例函数解决问题（2）
教学目标
1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；
2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力；
3．在交流过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．
教学重点
把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想．
教学难点
1．把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想；
2．将生活问题与数学问题联系起来，培养学生对数学的兴趣．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白：
同学们，公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，有哪位同学知道？
进入状态，积极思考，回答问题．
参考答案：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
设置悬念，营造氛围，引发思考，激发兴趣．
引入：
阿基米德曾豪言：给我一个支点，我能撬动地球．
你能解释其中的道理吗？
踊跃发言，各抒己见：
“给我一个支点，我就能撬起整个地球”的豪言，他的设想有道理，只是不能实现，因为没有这么长的杠杆，也没有合适的支点，即便都能找到，当地球翘起1cm，需要很长的一段时间，这段时间用他的一生都无法完成．
给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．
实践探索一：
问题3 某报报道：一村民在清理鱼塘时被困淤泥中，消防队员以门板作船，泥沼中救人．
如果人和门板对淤泥地面的压力合计900N，而淤泥承受的压强不能超过600Pa，那么门板面积至少要多大？
（分析：根据物理学知识，人和门板对淤泥的压力F（N）确定时，人和门板对淤泥的压强p（Pa）与门板面积S（m2）成反比例函数关系：．）
互相讨论，踊跃回答：
参考答案：设人和门板对淤泥的压强为p（Pa），门板面积为S（m2），则．
把p＝600代入，得
．
解得：S＝1.5．
根据反比例函数的性质，p随S的增大而减小，所以门板面积至少要1.5m2．
通过自然科学方面的隐性应用，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的认识．
通过学生相互讨论，提高学生的分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．
实践探索二：
某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V ＝1.5m3时，p＝16000Pa．
（1）当V ＝1.2m3时，求p的值；
（2）当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
练习：课本练习1．
小组讨论，代表回答：
（1）设p与V的函数表达式为．
把p＝16000、V ＝1.5代入，得
．
解得：k＝24000．
p与V的函数表达式为．
当V＝1.2时，．
（2）把p＝40000代入，得
．
解得：V＝0.6．
根据反比例函数的性质，p随V的增大而减小．为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．
学生答题的过程，就是学生主动参与学习的过程，既提高了学生的参与度，又发挥了学生的自由度，变被动学为主动学．渗透函数建模的数学思想．
实践探索三：
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm．设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
（1）当x＝50时，求y的值，并说明这个值的实际意义；
当x＝100时，求y的值， 并说明这个值的实际意义；
当x＝250呢？x＝500呢？
x
…
50
100
250
500
…
y
…
…
（2）当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请大家猜想一下．
（板书：比较两个动力之间的关系）
小结：当动力臂扩大到原来的n倍时，动力就缩小到原来的，所以当动力臂无限地扩大，动力就会无限地缩小，所以阿基米德会说：“给我一个支点，我能撬起地球．”
（3）想一想：如果动力臂缩小到原来的时，动力将怎样变化？为什么呢？
积极思考，踊跃回答．
参考答案：（1）当x＝50时，y＝100；当x＝100时，y＝50；当x＝250时，y＝20；当x＝500时，y＝10．
（2）[学生思考后作答]根据第二小题的表格中数据的变化，有学生能得出自己的猜想．
教师带学生一起来验证猜想．
教师给出假设动力x＝d ，求出对应的动力，老师再给出扩大n倍后的动力x＝nd，求出对应的动力．
x
…
50
100
250
500
d
nd
…
y
…
100
50
20
10
…
（3）动力扩大到原来的n倍．
动力和动力臂的乘积始终是一个常数5000，这也就是反比例函数的实质．
在教师的引导下运用反比例函数解决杠杆问题，让学生体会到“理论来自于实践，而理论又反过来指导实践”的哲学思想，从而培养和提高学生分析问题和解决问题的能力．
在第1小题中用表格形式呈现，学生不难从表格中猜测出当动力臂扩大到原来的n倍，动力将缩小为原来的，乘势用验证猜想的方式推出第3小题，同样利用表格的形式，让数据直观地展现在学生面前，不仅轻松地解决本节课的一个难点，还让学生体验了真理的产生过程，即：实验——猜想——验证．
通过此例，让学生感受用数学模式的变化来理解物理性质，使学生在运用数学知识的能力上有一个提高．
总结：
讨论后共同小结．
由学生总结本节课的主要内容、要注意的地方和所涉及的数学思想等．通过小结，培养学生自我整理的学习习惯，强化对知识的理解和记忆，并锻炼学生归纳概括的能力．再由老师对本节课的知识要点加以整理归纳，使学生在脑海中形成一个完整的知识体系．
课后作业：
课本习题3、4．
课件9张PPT。11.1 反比例函数八年级(下册)作 者：王琦（盐城市毓龙路实验学校） 初中数学 南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v(km/h)开往上海，全程所用时间为t(h). 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？为什么？情境引入你能写出t与v
的关系式吗?填写下表：11.1 反比例函数 （4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.实践探索用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系： （1）计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化； （2）一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化； （3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水池所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化；11.1 反比例函数 以上函数表达式具有什么共同特征？观察归纳 你还能举出类
似的实例吗？11.1 反比例函数总结结论 一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数． 注意：
1．反比例函数也可以表示为 （k为常数，
k≠0)的形式．
2．反比例函数的自变量的取值范围是不等于0的
一切实数．
11.1 反比例函数典型例题 （1）面积是50cm2的矩形，一边长y (cm)随另一
边长 x(cm)的变化而变化；
（2）体积是100cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积
S(cm2)的变化而变化． 写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．11.1 反比例函数课堂提升 课本125页练习．11.1 反比例函数 通过这节课的学习，你有什么收获？和大家分享一下吧．总结归纳反比例函数和一次函数有什么区别和联系？反比例关系与反比例有何区别与联系？怎样判断函数是否为反比例函数？11.1 反比例函数课件9张PPT。八年级(下册)作 者：王琦（盐城市毓龙路实验学校） 初中数学11.2 反比例函数的图像与性质（1）情境引入 一次函数 （k、b为常数，k≠0）它的图像是什么？有哪些性质？ 本节课我们一起研究反比例函数 （k、b为常数，k≠0）的图像是怎样的图形？ 你能举例说明吗？11.2 反比例函数的图像与性质（1） 已知反比例函数 ，请你描述一下这个函数图像具有哪些特征？思考下列问题：
（1）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ （2）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？ （3）当x＞0时，随着x的增大，y怎样变化？当x＜0时，随着x的增大，y怎样变化？这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？观察思考11.2 反比例函数的图像与性质（1）实践探索一画出反比例函数 的图像.1.列表．1.5236－1－6－3－2－1.5111.2 反比例函数的图像与性质（1）2．描点．3．连线．实践探索一11.2 反比例函数的图像与性质（1） 说一说反比例函数 的图像具有哪些特征，并请在刚才坐标系中画它的图像．实践探索二11.2 反比例函数的图像与性质（1） 本节课我们了解反比例函数的简单特征，通过自己认真计算、动手操作，画出了反比例函数的图像．在画图过程中你发现有什么需要注意的地方？总结归纳11.2 反比例函数的图像与性质（1）课堂提升课本128页练习．画出反比例函数 、 的图像．11.2 反比例函数的图像与性质（1）课件10张PPT。八年级(下册)作 者：方秀林（盐城市毓龙路实验学校） 初中数学11.2 反比例函数的图像与性质（2）观察与思考 观察反比例函数 、 、 、
的图像，思考反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像有什么特征？ 11.2 反比例函数的图像与性质（2） 见几何画板文件反比例函数 的图像随k值的变化情况．数学实验室11.2 反比例函数的图像与性质（2） 见几何画板文件 反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像是双曲线． 当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，
在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，
在每一个象限内，y随x的增大而增大．总结 11.2 反比例函数的图像与性质（2）例1 已知反比例函数 的图像经过点A（2，－ 4）.
（1）求k的值；
（2）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图像；
（4）点B（ ，－16）、C（ － 3，5）在这个函数的图像上吗？11.2 反比例函数的图像与性质（2） 见几何画板文件探索 点A （4 ，－2 ）在函数 的图像上吗？写出点A关于原点O的对称点A′的坐标，点A′在函数
的图像上吗？ 在函数 的图像上任取一点B，点B关于原点O的对称点B′在这个函数的图像上吗？反比例函数的两支图像关于原点对称．11.2 反比例函数的图像与性质（2） 见几何画板文件 1．反比例函数① ；② ；③ ；
④ 的图像中：
（1）在第一、三象限的是 ，在
第二、四象限的是 .
（2）在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增大
的是 .练习① ② ④③③11.2 反比例函数的图像与性质（2）2．已知反比例函数的图像经过点A（ － 6，－3）.
（1）确定这个反比例函数的表达式；
（2）这个函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎
样变化？
（3）点B（4， ），C（2，－5）在这个函数的
图像上吗？练习11.2 反比例函数的图像与性质（2）课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．11.2 反比例函数的图像与性质（2）谢 谢!课件11张PPT。八年级(下册)作 者：方秀林（盐城市毓龙路实验学校） 初中数学11.2 反比例函数的图像与性质（3）1．如图，是反比例函数 的图像的一支．
（1）函数图像的另一支在第几象限？
（2）求常数m的取值范围．课前热身11.2 反比例函数的图像与性质（3）2．已知点A、B在反比例函数 的图像上，若A（3， ），B (5， )，比较 、 的大小．11.2 反比例函数的图像与性质（3） 例2 设菱形的面积是5cm2，两条对角线的长分别是xcm、ycm．
（1）确定y与x的函数表达式；
（2）画出这个函数的图像．例题教学11.2 反比例函数的图像与性质（3）解：（1）由“菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半”，得 ． y与x的函数表达式为
，y是x的反比例函数．（2）根据题意，可知x＞0．
反比例函数 （ x＞0）的图像是其在第一象限的一支． 见几何画板文件11.2 反比例函数的图像与性质（3） 例3 已知反比例函数 的图像与一次函数
的图像的一个交点的横坐标是－3 .
（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；
（2）根据反比例函数图像，指出当x＜－1时，
y的取值范围.例题教学11.2 反比例函数的图像与性质（3） 解：（1）把x＝－3代入y＝x＋1，得 y＝－2.
根据题意，可得反比例函数 的图像与一次函
数y＝x＋1 的图像的一个交点的坐标是（－3，－2）.
把x＝－3 、y＝－2代入 ，得 ，
即k＝6.
函数 的图像如图.
（2）由函数图像可知，当x＜－1时，－6＜y＜0.11.2 反比例函数的图像与性质（3） 见几何画板文件练习 1．已知反比例函数y＝ 的图像在同一象限内，
y随x增大而增大，求n的取值范围．
11.2 反比例函数的图像与性质（3）练习 2．已知点A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函数
（k＜0）的图像上，比较y1、y2的大小．11.2 反比例函数的图像与性质（3）课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．11.2 反比例函数的图像与性质（3）谢 谢!课件18张PPT。11.3 用反比例函数解决问题（1）八年级(下册)作 者：王萍（盐城市毓龙路实验学校） 初中数学11.3 用反比例函数解决问题（1） 你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？ 反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，它与一次函数、正比例函数一样，在生活、生产实际中也有着广泛的应用． 在一个实际问题中，两个变量x、y满足关系式
（k为常数，k≠0），则y就是x的反比例函数．这时，若给出x的某一数值，则可求出对应的y值，反之亦然.11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（1）如果小明以每分钟 120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？ 解：（1） ．
所以完成录入任务需 200 min ．11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（2）完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？ 解：（2）由v · t＝24000，得 ．
所以完成录入的时间 t 是录入文字的速度 v 的反比例函数．11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（3）在直角坐标系中，作出相应函数的图像；vtO 100 200 300 400400 300 200 100 在这里，为什么我们只做出了在第一象限内的那支曲线？ 在实际问题中，反比例函数的自变量与函数的取值不再是非零实数，一般为正数、正整数等．11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（4）要在3 h 内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？ 解：（4）把t＝180代入v·t＝24000，得
≈133.3．
小明每分钟至少应录入134字，才能在3 h 内完成录入任务． 在函数求值的过程中，要注意单位的一致．11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（4）要在3 h 内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？ 解：（4）把t＝180代入v·t＝24000，得
≈133.3．
小明每分钟至少应录入134字，才能在3 h 内完成录入任务．11.3 用反比例函数解决问题（1） 本题 v 的取值为正整数，我们需对计算结果“进一”, 作为实际问题的解． 问题1 小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑．
（4）要在3 h 内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？你能利用图像对此作出直观解释吗？vtO 100 200 300 400400 300 200 100 我们在函数图像上找到当 t ＝180 的点，此时在这个点下侧也就是右侧的函数图像所对应的 v 值都是满足要求的 . 结合实际意义，此时 v 为≥134的正整数．函数图像可以直观的解决数学问题．11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题2 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（1）蓄水池的底面积 S(m2)与其深度 h(m)有怎样的函数关系？ 解：（1）由Sh＝4×104，得 ．
蓄水池的底面积S是其深度 h 的反比例函数．11.3 用反比例函数解决问题（1） 解：（2）把h＝5代入 ，得
．
当蓄水池的深度设计为5 m 时，它的底面积应为8000m2． 本题中给出了 h 的值，求相应 S 的值，这是个求函数值的问题．11.3 用反比例函数解决问题（1） 问题2 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（2）如果蓄水池的深度设计为5 m ，那么它的底面积应为多少？ 问题2 某厂计划建造一个容积为4×104m3的长方形蓄水池．
（3）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少米（精确到0.01）？解：（3）根据题意，得S＝100×60＝6000．
把 代入 ，得
≈ 6.667 ．
蓄水池的深度至少应为6.67 m ．11.3 用反比例函数解决问题（1） 你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？ 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图像如图所示.
（1）你能写出这个函数表达式吗？ 解： （1） .11.3 用反比例函数解决问题（1） 你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？ 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图像如图所示.
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？ 解：（2）当V＝1m3时，
P＝ .11.3 用反比例函数解决问题（1） 你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？ 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图像如图所示.
（3）当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 解：（3）当P＝140时，
V＝ ≈0.686.
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．11.3 用反比例函数解决问题（1） 生活中还有许多反比例函数模型的实际问题，你能举出例子吗？11.3 用反比例函数解决问题（1）小结：转化(反比例函数)解决老师寄语：
数学来源于生活，生活中处处有数学，
让我们学会用数学的眼光看待生活．11.3 用反比例函数解决问题（1）课件9张PPT。八年级(下册)作 者：王萍（盐城市毓龙路实验学校） 初中数学11.3 用反比例函数解决问题（2） 你知道公元前3世纪古希腊学者阿基米德发现的著名的“杠杆原理”吗？ 杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂. 阿基米德曾豪言：给我一个支点，我能撬动地球.你能解释其中的道理吗？11.3 用反比例函数解决问题（2） 问题1 某报报道：一村民在清理鱼塘时被困淤泥中，消防队员以门板作船，泥沼中救人．
如果人和门板对淤泥地面的压力合计900N，而淤泥承受的压强不能超过600Pa，那么门板面积至少要多大？11.3 用反比例函数解决问题（2） 解：设人和门板对淤泥的压强为p(Pa)，门板面积为S（m2），则 ．
把p＝600代入 ，得
．解得 S＝1.5．
根据反比例函数的性质，p随S的增大而减小，所以门板面积至少要1.5m2． 问题2 某气球内充满了一定质量的气体，在温度
不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V ＝1.5m3时，p＝16000Pa．
（1）当V ＝1.2m3时，求p的值；11.3 用反比例函数解决问题（2） 解：（1）设p与V的函数表达式为 ．
把p＝16000、V ＝1.5代入 ，得
．
解得：k＝24000．
p与V的函数表达式为 ．
当V＝1.2时， ＝20000． 问题2 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V ＝1.5m3时p＝16000Pa．
（2）当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？解：（2）把p＝40000代入 ，得 ．
解得：V＝0.6．
根据反比例函数的性质，p随V的增大而减小．为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3． 11.3 用反比例函数解决问题（2） 问题3 如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
（1）当x＝50时，求y的值，并说明这个值的实际意义；当x＝100时，求y的值， 并说明这个值的实际意义；当x ＝250呢？x ＝500呢？11.3 用反比例函数解决问题（2） 问题3 如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）
（2）当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请大家猜想一下.11.3 用反比例函数解决问题（2） （3）如果动力臂缩小到原来的 时，动力将怎样变化？为什么呢？小结：11.3 用反比例函数解决问题（2）函数在中学数学中的地位
显然函数是整个中学乃至大学的一个重点内容．函数的思想贯穿了整个中学、大学，具有极其广泛的应用价值．中学阶段主要学习了一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、反函数、三角函数形式等，其中的一次函数、二次函数、反比例函数在目前的教材中安排在初中，也起了一种承上启下的作用．对它们学习的好坏，直接关系着高中继续学习的难易程度问题，而本文将主要从同学感兴趣的几个方面入手，结合日常教学经验，谈谈函数的一些简单的应用，作为同学对课本知识的补充，以达到培养能力，形成素质之目的．函数从一开始产生，就具有其深厚的经济背景及教学背景．在此向读者介绍一下其经济背景：
17世纪的欧洲是一个经济迅速增长的时代．经济的增长依靠机器的采用和改进；而机器的发明和改进则需要科学的技术的先进为其后盾，于是，一个科技进步与经济增长的良性循环出现了．循环的始端在经济中．当时主要的部门有采掘、纺织、航海、造船、军械以及交通运输业．例如，航海业，在其发展中提出了如何精确地测量经纬度问题；航海业又促进了造船业，造船业又向数学提出了描绘船体部位的各种形状、风帆的样式，以及船体在介质中的运动问题．煤炭作为主要燃料被采用，使采掘业成了当时最重要的经济部门，这也提出了与通风、排水和输送等有关的数学问题．其他科学技术的发展，如流体力学和一般动力学，也需要数学的帮助．
为了追求军事和商业上的霸权地位，军事技术也得以发展．于是弹道学变得重要起来，其中内弹道学研究火药火炮的关系和计算，外弹道学则研究炮弹运动与轨道发射速度、空气阻力之间的关系等等．总之，虽然不明显存在促成变量数学产生的实际问题，但是促成变量数学产生的经济以及其他的社会需求是存在的．即使在现实的问题中亦有众多的应用函数的实例．例如，问题1：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润．已知道这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件．问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润最大，用图像直观地给以说明，并指出最大利润是多少．
问题2：某公园的门票每位10元，20以上（含20人）的团体票8折优惠．当不是20人时，多少人买20人的团体票才比较便宜？
显然以上两个问题的解决均离不开函数的有关知识．事实上，在市场经营、生产决策和社会生活中，诸如估计生产数量，核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等方面，都离不开函数，亲爱的小读者，以上两例说明我们以往课本上所学来的知识绝对不是孤立的，而是和现实生活紧密相关，你只有学好它们，将来走上社会才能有用武之地呀！
中学数学思想方法及其教学研究
1．数学思想方法教学的心理学意义
美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义．
第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．“当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容．
第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．”
第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心--用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力．
第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级‘知识’和‘初级'知识之间的间隙．”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义．而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等．因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线．
2．中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法．
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识．
深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质．
3．中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础．
此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透．
数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关．从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等．一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的．
4．数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：
操作——掌握——领悟．
对此模式作如下说明：（1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础；（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；（4）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；（5）数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些．
重视函数中蕴涵的重要数学思想
无论从一次函数到反比例函数，再到以后的二次函数，甚至高中的其他各类函数，都是函数的某种具体形式，都是为近一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台．随着学习的函数类型的增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高．可以说对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间．
对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，但其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的．在教学时，尤其要注意在这种数学思想的渗透方面下功夫．
通过对图像的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一．而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了．结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势．
教学过程中，可以安排较多的通过图像分析函数解析式、通过函数解析式分析图像的题目，这体现的既是数形结合思想，也体现了转化的数学思想．深刻领会函数解析式与函数图像之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用．
突出变化与对应的思想、数形结合思想和转化思想是本章教学的重要任务．一些具体的数学知识对学生的影响也许是短暂的，但一些重要的数学思想方法必将会使学生终身受益．
反比例函数y＝（k≠0）比例系数k与图像的关系
性质1：设y＝（k1＞0），y＝（k2＞0），y＝（k3＞0）的图像如
图1所示，则有k1＜k2＜k3，即当k＞0时，反比例函数的图像越靠近y轴，k的值越小，越远离y轴，k的值越大．
性质2：设y＝（k1＜0），y＝（k2＜0），y＝（k3＜0）的图像如
图2所示，则有k1＞k2＞k3，但|k1|＜|k2|＜|k3|，即当k＜0时，反比例函数的图像越靠近y轴，k的值越大，越远离y轴，k的值越小．
