6.2向心力 学案
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6.2 向心力
一、考点梳理
考点一、对向心力的理解
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，受到的大小恒定不变，方向始终指向圆心的合力．这个合力叫做向心力．
①向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的，在对物体进行受力分析时，切不可在重力、弹力等性质的力之外再添加一个向心力．
②向心力是按力的效果来命名的，它的效果使物体产生向心加速度．
③向心力可以是某一个力，也可以是几个力的合力．
(2)向心力的方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直，时刻改变，因此向心力是变力．
(3)向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
(4)向心力的大小
①向心力表达式的推导：因为向心加速度公式为an＝或an＝ω2r或an＝r，由牛顿第二定律Fn＝ma，得向心力Fn＝m或Fn＝mω2r或Fn＝mr.
②向心力的表达式：Fn＝m＝mω2r＝mr.
(5)对向心力表达式的理解
①由公式可知向心力的大小与物体的质量m，圆周半径r，线速度v(或角速度ω或周期T)都有关系．
②向心力公式是从匀速圆周运动中得出的，但也适用于一般的圆周运动，只是在运用公式求解一般的圆周运动某点的向心力时，必须是该点对应的瞬时速度和对应时刻的半径．
(6)向心力的来源：向心力是按效果命名的，不是某种性质的力．任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力．
①重力、弹力、摩擦力都可以提供向心力，它们的合力(分力)也可以提供向心力．
②物体做匀速圆周运动，物体所受到的合力就是向心力且该合力的大小不变但方向时刻改变．
③若物体做非匀速圆周运动，物体所受合力沿半径方向的分力提供向心力．
【典例1】下列关于向心力的论述中,正确的是( )
A.物体做圆周运动一段时间后才会受到向心力
B.向心力与重力、弹力、摩擦力一样,是一种特定的力,它只有在物体做圆周运动时才产生
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是这些力中某几个力的合力
D.向心力既可以改变物体运动的方向,又可以改变物体运动的快慢
【答案】C
【解析】因为有向心力,物体才做圆周运动,A错误;向心力是按作用效果命名的,与重力、弹力、摩擦力等性质力不一样,故B错误;向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是某一个力的分力,或者是这些力中某几个力的合力,故C正确;向心力只能改变物体运动的方向,不能改变物体运动的快慢,故D错误。
练习1、关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是（ ）
A．物体做匀变速曲线运动时，其所受合外力的大小恒定、方向变化
B．物体做曲线运动时，其所受合外力不可能是恒力
C．物体做的圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心
D．物体做速率不变的曲线运动时，其所受合外力总是与速度方向垂直
【答案】D
【解析】A．物体做匀变速曲线运动时，加速度恒定，则所受合外力恒定，故A错误；
B．物体做变速率的曲线运动，合力不一定改变，比如平抛运动，故B错误；
C．物体做匀速圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心，若非匀速圆周运动，则合外力一定不指向圆心，存在沿切向和沿径向的分力，故C错误；
D．物体做匀速率曲线运动时，速度的大小不变，所以其合力一直不做功，则其的方向总是与速度方向垂直；
练习2、关于向心力的说法正确的是（ ）
A．物体做圆周运动还受到一个向心力
B．向心力可以是任何性质的力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心
【答案】B
【解析】A．力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动,而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A项错误；
B．向心力是效果力，可以是任何一种性质的力,故B正确；
C．物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心,其大小不变,方向时刻改变，故C错误；
D．只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力,而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力,故D错误。
考点二、变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)概念：线速度大小改变的圆周运动叫做变速圆周运动．
(2)受力特点：①物体所受的合力F不指向圆心；将F分解为跟圆弧相切的分力Fτ和指向圆心的分力Fn.
②合力F与速度方向不垂直，它改变了物体速度的大小和方向．
Fn产生向心加速度，与速度方向垂直，改变了速度的方向．
Fτ产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在同一条直线上，它改变了速度的大小．
物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向夹角小于90°，如图甲所示，其中Fτ使v增大，Fn使v改变方向．Fn产生的加速度就是向心加速度．同理，F与v夹角大于90°时，Fτ使v减小，Fn改变v的方向如图乙所示．
(3)仅有向心加速度的圆周运动是匀速圆周运动；同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动．
(4)变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an＝、an＝rω2和Fn＝、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用，只不过应用时要注意Fn、an、ω、v必须是同一时刻的瞬时值．
(5)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，解决变速圆周运动除了依据上述规律外，还需要用到后面章节将要学习的功能关系等．
(6)一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动．车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，在这个复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分，如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的．
【典例1】(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【答案】CD
【解析】分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图．如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力．
练习1、如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
【答案】A
【解析】转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
练习2、如图所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动．图中A、B、C、D四处，受河水冲击最严重的是( )
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【解析】可看作河水沿着河道做圆周运动，根据运动路径可知，在B处的河床要提供做圆周运动的向心力，故B处的河床受河水的冲击最严重．
考点三、向心力来源的分析
1.向心力是按照力的作用效果命名的力,可以由任何一种性质的力或几种性质的力的合力来提供
2.若物体做匀速圆周运动,其向心力必然是物体所受的合力,它始终沿着半径指向圆心的方向,并且大小恒定
3.若物体做非匀速圆周运动,其向心力则为物体所受的合力沿半径方向的分力,而合力沿切线方向的分力改变线速度的大小
4.向心力来源的实例分析
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
【典例1】如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体a不下落，圆筒转动的角速度至少为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当圆筒的角速度为ω时，其内壁对小物体a的弹力为FN，要使小物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为小物体a在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为ω0＝.
【典例2】一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
A．Μmg B． C．μm(g＋) D．μm(g－)
【答案】C
【解析】在最低点由向心力公式得：FN－mg＝m，
得FN＝mg＋m，又由摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋m)。
练习1、如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
B．受重力、台面的支持力和静摩擦力
C．受重力和台面的支持力
D．受重力、台面的支持力和向心力
【答案】B
【解析】当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止，所以纸箱A受重力、台面的支持力和静摩擦力，其中静摩擦力提供纸箱随转台一起做圆周运动的向心力，向心力是效果力，是一种力或几种力的合力，不是某种性质的力，因此ACD错误。
练习2、如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
【答案】D
【解析】小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误．水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误。
练习3、在光滑水平杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
【答案】D
【解析】由题图可知，两球均由所受绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.
考点四、从动力学角度分析几种常见的匀速圆周运动的向心力
1．指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的基础．
2．解题步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力分解到互相垂直的两个方向上，其中一个分力沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，垂直半径方向F合2＝0.
3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
mgtanθ＝mlsinθω2an＝gtanθ
mgtanθ＝m(d＋lsinθ)ω2an＝gtanθ
mgtanθ＝mrω2an＝gtanθ
mgtanθ＝mrω2an＝gtanθ
an＝
【典例1】如图所示，飞机做特技表演时，常做俯冲拉起运动，此运动在最低点附近可看作是半径为500m的圆周运动。若飞行员的质量为65kg，飞机经过最低点时速度为360km/h，则这时飞行员对座椅的压力为 （取g＝10 m/s2）（ ）
A．650N B．1300N C．1800N D．1950N
【答案】D
【解析】分析飞行员的受力情况，根据牛顿第二定律和向心力公式可得，已知、，代入上式解得座椅对飞行员的支持力根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力为1950N。
练习1、(多选)如图所示,长为L的悬线固定在O点,在O点正下方有一钉子C,O、C的距离为,把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放,小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子,则小球的 ( )
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心力突然增大为原来的2倍
D.向心力突然增大为原来的4倍
【答案】BC
【解析】悬线碰到钉子前后,悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直,小球的线速度大小不变,故A错误;悬线碰到钉子后,小球的运动半径减小为原来的一半,线速度大小不变,由ω=知角速度变为原来的2倍,由Fn=可知向心力变为原来的2倍,故B、C对,D错。
练习2、如图所示,长为l的细线一端悬于O点,另一端连接一个质量为m的小球,小球从A点由静止开始摆下,当摆到A点与最低点之间的某一位置C点时,其速度大小为v,此时悬线与竖直方向夹角为θ.求小球在经过C点时悬线对小球的拉力大小.
【答案】m+mgcos θ
【解析】小球在C点时,速度大小为v,圆周运动的轨道半径为l.设小球在C点时悬线对小球拉力为F,由F-mgcos θ=m,可求得F=m+mgcos θ.
考点五、圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题．这类问题的一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出力图，确定轨道半径，注意约束关系(在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系)．
情景示例 情景图示 情景说明
情景1 A、B两小球固定在轻杆上随杆绕杆的端点O做圆周运动，注意计算OA杆拉力时应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象
情景2 当转盘转速逐渐增大时，物体A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动
情景3 当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心滑动时，注意比较两接触面的动摩擦因数大小
情景4 A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等、角速度相同、圆周半径与小球质量成反比
【典例1】(多选)如图，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0 N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2 ，M、m可看成质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
【答案】BCD
【解析】物体的摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据向心力公式得：mg＋Ff＝Mω2r
解得：r＝ ；当Ff＝Ffmax＝6.0 N时，r最大，rmax＝ m＝0.32 m，当Ff＝－6 N时，r最小，则rmin＝ m＝0.08 m．
【典例2】(多选)如图所示，A，B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A．A球所受向心力为F1，B球所受向心力为F2
B．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1
C．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1－F2
D.F1∶F2＝3∶2
【答案】CD
【解析】小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对A球有F2＝mR2ω2，对B球有F1－F2＝mR1ω2，已知R2＝2R1，各式联立解得F1＝F2.故C，D对，A，B错．
练习1、（多选）如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，它与转台间最大静摩擦力，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量的物体，当转台以角速度匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（取，M、m均视为质点）（ ）
A．m B．m C．m D．
【答案】BC
【解析】物体的摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据向心力公式得：
解得最大半径
根据
得
解得最小半径
故BC正确，AD错误。
练习2、甲、乙两名滑冰运动员,在某次滑冰表演时,面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动(不计冰面的摩擦),如图所示,m甲=80 kg,m乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N。下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度大小相等,约为40 m/s
B.两人的角速度相同,为6 rad/s
C.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
D.两人的运动半径相同,都是0.45 m
【答案】C
【解析】甲、乙两人做匀速圆周运动的角速度相同,向心力大小都等于弹簧测力计的弹力,有m甲ω2r甲=m乙ω2r乙,即m甲r甲=m乙r乙,且r甲+r乙=0.9 m,m甲=80 kg,m乙=40 kg,解得r甲=0.3 m,r乙=0.6 m;由于F=m甲ω2r甲,所以ω== rad/s≈0.62 rad/s;线速度v=ωr,甲、乙的角速度相同,r甲与r乙不相等,v不相等。故A、B、D错误,C正确。
考点六、圆锥摆问题
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝.
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大．
【典例1】（多选）长度L＝0.5m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．细线的拉力大小为25N
B．小球运动的角速度为5rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
【答案】ABD
【解析】A．小球受到重力和绳子的拉力，两力的合力充当向心力，竖直方向上受力平衡，则有
解得绳子上的拉力为A正确；
BCD．两力的合力充当向心力，则有
解得，，B正确，C错误，D正确。
【典例2】如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】B
【解析】对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝mRω2，解得v＝ ，ω＝，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
练习1、如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．A、B球受到的支持力之比为∶3
B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为3∶1
【答案】C
【解析】A．对小球受力分析可知，A球受到的支持力，同理B球受到的支持则A、B球受到的支持力之比为∶1，故A错误；
B．A球的向心力B球的向心力 ，A、B球的向心力之比为3∶1，故B错误；
C．根据 可知 A、B球运动的角速度之比为3∶1，故C正确；
D．A、B球运动的半径之比为根据v=ωr可知A、B球运动的线速度之比为1∶1，故D错误。
练习2、如图所示，两根长度不同的细绳，一端固定于O点，另一端各系一个相同的小铁球，两小球恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．A球受绳的拉力较大
B．它们做圆周运动的角速度不相等
C．它们所需的向心力跟轨道半径成反比
D．它们做圆周运动的线速度大小相等
【答案】A
【解析】设绳子与竖直方向之间的夹角为，
A．小球在竖直方向上的合力等于零，有，解得A球与竖直方向上的夹角大，故A球受绳子的拉力较大，A正确；
B．根据牛顿第二定律可得两球的竖直高度相同，即相同，则相同，故B错误；
C．向心力等于合外力，即与r成正比，C错误；
D．圆周运动的线速度角速度相同，半径不同，则线速度不等，D错误。
练习3、如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个小球A、B在圆锥内壁做匀速圆周运动，距离地面高度分别为hA和hB。两小球运动的线速度分别为vA、vB，角速度为ωA、ωB，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示
小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，均由斜面的支持力的合外力作为向心力
由向心力的计算公式
解得，，在圆锥桶里面有，
故有，故A正确，BCD错误。
考点七、圆周运动的临界问题
1.圆周运动中临界问题的分析,应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态,然后分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程
2.水平面内匀速圆周运动的物体一般由弹力、静摩擦力等力提供向心力,确定维持物体做匀速圆周运动的临界条件是解题的关键
【典例1】（多选）如图所示，一质量为m的物块在水平圆盘上，离圆盘中心距离为r，其与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍，重力加速度为g。该物块随圆盘一起绕竖直中心轴做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘突然停止，则物块将沿圆周运动半径向外滑动
B．物块与圆盘之间的摩擦力突然消失，物块将沿圆周运动半径向外滑动
C．物块与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是
D．当圆盘的运动周期为时，圆盘对物块的摩擦力大小为
【答案】CD
【解析】A．因物块的速度方向与半径方向垂直，则当圆盘突然停止时，物块将沿垂直于圆周运动半径方向外滑动，选项A错误；
B．同理可知，物块与圆盘之间的摩擦力突然消失，物块将沿垂直于圆周运动半径向外滑动，选项B错误；
C．物块与盘面间不发生相对滑动，则由 可得圆盘转动的最大角速度是,选项C正确；
D．当圆盘的运动周期为时，则圆盘对物块的摩擦力大小为选项D正确。
【典例2】如图所示，两个小木块a和b（可视为质点），质量分别为2m和m，置于水平圆盘上。a与转轴的距离为，b与转轴的距离为。两木块与圆盘间的摩擦因数均为。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，则下列说法正确的是（ ）
A．a，b一定同时开始滑动
B．b一定比a先开始滑动
C．发生滑动前a、b所受的摩擦力大小可能不相等
D．当时，b所受摩擦力的大小为
【答案】B
【解析】AB．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a的最大静摩擦力
a开始相对圆盘滑动时，解得
b开始相对圆盘滑动，有，解得
可知当时，b开始相对圆盘滑动；b一定比a先开始滑动，A错误，B正确；
C．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知a和b的质量分别是2m和m，而a与转轴OO′为l，b与转轴OO′为2l，所以结果a和b受到的摩擦力是相等的，C错误；
D．当时，b所受摩擦力的大小为D错误。
【典例3】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，A到圆心的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，B与A质量相同.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随盘转动而不滑动？
【答案】
【解析】取物体A为研究对象，若物体随转盘转动的角速度较大，则
解得：
若A物体随转盘转动的角速度较小，则
解得：
要使A随转盘一起转动，则角速度应满足的关系是：
练习1、（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如右图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.角速度，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】AC
【解析】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有：，解得，可知当角速度时，b绳出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误．
练习2、(多选)如图所示，小球m用两根长度相等的细绳系在竖直杆上，细绳不可伸长，当杆旋转时，对小球受力分析正确的是( )
A．受重力、绳的拉力和向心力作用
B．可能受重力、一根绳的拉力共两个力作用
C．可能受重力、两根绳的拉力共三个力作用
D．上面一根绳的拉力总大于小球的重力
【答案】BCD
【解析】转速较小时，小球受重力和一根绳的拉力作用，转速较大时，小球受重力和两根绳的拉力作用，故A错误，B、C正确.只有上面一根绳有拉力时，绳的竖直分力大小等于球的重力；如果两根绳都有拉力，上面绳的竖直分力大小等于球的重力和下面绳拉力的竖直分力之和，所以上面一根绳的拉力一定比球的重力大.
二、夯实小练
1、一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速奔跑,如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力Ff的示意图,其中正确的是 ( )
【答案】C
【解析】雪橇运动时所受的摩擦力为滑动摩擦力,其方向与雪橇运动方向相反,可知与圆弧相切;又因为雪橇做匀速圆周运动,所受合力充当向心力,合力方向指向圆心。
2、如图所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动．当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能( )
A．沿F1的方向
B．沿F2的方向
C．沿F3的方向
D．沿F4的方向
【答案】C
【解析】因小球做匀速圆周运动，所以其所受各力的合力一定指向圆心，充当向心力，若受杆弹力为F1、F2、F4时与重力的合力均不可能沿杆指向圆心，只有杆的弹力为F3时合力才可能沿杆指向圆心．
3、如图所示,一辆轿车正在水平路面上做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.水平路面对轿车弹力的方向斜向上
B.静摩擦力提供向心力
C.重力、支持力的合力提供向心力
D.轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力为零
【答案】B
【解析】水平路面对轿车的弹力方向竖直向上,故A错误;在竖直方向重力和支持力相互平衡,轿车做圆周运动靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力,轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力不为零,故B正确,C、D错误。
4、如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先增大后减小
D．从b到a，物块处于超重状态
【答案】D
【解析】在c、d两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个作用力，故A错误；物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，故B错误；从a运动到b，物块的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律知，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，故C错误；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，则物块处于超重状态.
5、如图，置于竖直面内半径为r的光滑金属圆环，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度ω（ω≠0）绕圆环竖直直径转动时（ ）
A．细绳对小球的拉力可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．金属圆环对小球的作用力不可能为零
D．当ω=时，金属圆环对小球的作用力为零
【答案】D
【解析】由几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有
解得
则细绳对小球的拉力F不为零；细绳和金属圆环对小球的作用力大小不相等；
当时，金属圆环对小球的作用力；故ABC错误。
6、如图为《流浪地球》中旋转空间站的示意图，空间站为圆环，圆环内的中空管道为宇航员的活动空间。圆环外径为r，当圆环绕O点自转时能对管道内的宇航员产生弹力。要使宇航员感受到与在地表大小相等的力，空间站自转的角速度应为（设地表重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】宇航员是靠环对他的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律得
FN=mω2r
据题有
FN=mg
可得
7、2020年5月23消息，巴西滑板少年圭·库里，在半管上完成了空中转体的壮举，创下新的世界纪录，滑板运动可以简化为如图所示的模型，半球形碗固定在水平面上，物块（可看做质点）以某一竖直向下的初速度从碗口左边缘向下滑，物块与碗壁间的动摩擦因数是变化的，因摩擦作用，物块下滑过程中速率不变，则（ ）
A．物块下滑的过程中加速度不变
B．物块下滑的过程所受摩擦力大小不变
C．物块下滑过程中所受合外力方向始终指向圆心
D．物块滑到最低点时对碗壁的压力等于物块的重力
【答案】C
【解析】A.物块在下滑过程中速率不变，可看做匀速圆周运动，可知加速度大小不变，方向时刻指向圆心，故A错误；
B.物块在下滑过程中可看做匀速圆周运动，设支持力FN与竖直方向的夹角为，则摩擦力f=mgsin，在下滑过程中，由于角度变小，sin变小，则f变小，故B错误；
C.物块做匀速圆周运动的合外力完全提供向心力，合外力方向始终指向圆心，故C正确；
D.在最低点时，根据牛顿第二定律，有
FN-mg=m
依题意，物块滑到最低点时速度大小不变，则支持力不等于重力，根据牛顿第三定律知，压力大小等于支持力大小，所以压力不等于物块的重力，故D错误。
8、如图所示，长为L的细线拴一质量为m的小球，细线另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。已知运动中细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，求∶
（1）小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力大小；
（2）细线对小球的拉力F的大小；
（3）小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小。
【答案】1）mgtanθ；（2）；（3）
【解析】（1）由受力分析可知，重力与细线拉力的合力提供向心力，如图：
有
Fn=mgtanθ
（2）建立如图所示的坐标系，竖直方向上有
Fcosθ=mg
解得
（3）小球做圆周运动的半径为
r=Lsinθ
向心力
即
解得
9、如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.50kg，角速度大小ω＝2rad/s，细线长L＝0.20m。
（1）求小球的线速度大小v、周期T、转速n；
（2）求细线对小球的拉力大小F；
（3）若细线最大能承受10.0N的拉力，求小球运行的最大线速度vm。
【答案】（1），，；（2）；（3）
【解析】（1）根据
根据
解得
根据
解得
（2）细线对小球的拉力大小，根据牛顿第二定律得
（3）若细线最大能承受10.0N的拉力，求小球运行的最大线速度
解得
10、如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，重力加速度为g，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时转盘的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
【答案】(1) (2)μmg
【解析】(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω02r，得ω0＝.
(2)当ω＝时，ω＞ω0，所以绳子的拉力FT和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，FT＋μmg＝mω2r
即FT＋μmg＝m··r，
得FT＝μmg.
11、一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是。盘面上距圆盘中心的位置有一个质量为的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示，已知小物块与盘面的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求：
（1）小物体的线速度大小；
（2）小物体的向心力大小；
（3）当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对圆盘滑动？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小物体的线速度大小为
（2）小物体的向心力大小为
（3）当小物体刚好相对圆盘滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则有
又
联立可得
三、培优练习
1、如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面间的夹角为 30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是
A． rad/s B． rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【答案】C
【解析】随着角速度的增大，小物体最先相对于圆盘发生相对滑动的位置为转到最低点时，此时对小物体有，解得，此即为小物体在最低位置发生相对滑动的临界角速度。
2、（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是
A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω=是b开始滑动的临界角速度 D．当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
【解析】小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即，由于木块b的半径大，所以发生相对滑动前木块b的静摩擦力大，选项B错。随着角速度的增大，当静摩擦力等于滑动摩擦力时木块开始滑动，则有，代入两个木块的半径，小木块a开始滑动时的角速度，木块b开始滑动时的角速度，选项C对。根据，所以木块b先开始滑动，选项A对。当角速度，木块b已经滑动，但是，所以木块a达到临界状态，摩擦力还没有达到最大静摩擦力，所以选项D错。
3、(多选)如图所示，质量相等的A，B两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则( )
A．它们所受的摩擦力fA＞fB
B．它们的线速度vAC．它们的运动周期TAD．它们的角速度ωA＝ωB
【答案】AD
【解析】对两物块进行受力分析知：水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，则f＝mω2R，由于A，B在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相等，故D正确．又因为RA＞RB，故fA＞fB，故A正确；由v＝ωR，ωA＝ωB，RA＞RB，可知：vA＞vB，故B错误；根据ωA＝ωB，可知：TA＝TB，故C错误．
4、如图所示,一轨道由圆弧和水平部分组成,且连接处光滑.质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ.在滑块从A滑到B的过程中,受到的滑动摩擦力的最大值为Ff,则 ( )
A.Ff=μmg B.Ff<μmg
C.Ff>μmg D.无法确定Ff的值
【答案】C
【解析】当滑块刚要滑到水平轨道部分时,轨道对滑块的支持力FN=+mg,FN>mg,滑块在此位置受到摩擦力大于μmg,所以Ff>μmg,选项C正确.
5、(多选)甲、乙两名溜冰运动员,面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动.已知m甲=80 kg,m乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为96 N,下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度相同,约为40 m/s
B.两人的角速度相同,为2 rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45 m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
【答案】BD
【解析】两人旋转一周的时间相同,故两人的角速度相同,两人做圆周运动所需的向心力相同,由Fn=mω2r可知,旋转半径满足r甲∶r乙=m乙∶m甲=1∶2,又r甲+r乙=0.9 m,则r甲=0.3 m,r乙=0.6 m.两人的角速度相同,则v甲∶v乙=1∶2.由Fn=m甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故选项B、D正确.
6、如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止.当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
【答案】D
【解析】容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大。
7、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力增大 B．物体所受弹力不变，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】C
【解析】物体所受弹力提供向心力，当圆筒的转速减小以后，物体所需向心力减小，则弹力减小，但在竖直方向上物体合力为零，所受摩擦力与重力大小始终相等，所以摩擦力不变。
8、(多选)如图,放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起绕转台中心以角速度ω匀速转动而不发生相对滑动。已知A、B、C的质量均为m,A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ,A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(深度解析)
A.B对A的摩擦力一定为μmg
B.B对A的摩擦力一定为mω2r
C.转台的角速度必须满足ω≤
D.转台的角速度必须满足ω≤
【答案】BD
【解析】B对A的摩擦力提供A物体做圆周运动的向心力,即fBA=mω2r,但B对A的摩擦力不一定等于最大静摩擦力,即不一定等于μmg,选项A错误,B正确。对C即将发生相对滑动时的临界状态进行分析,有μmg=m·1.5r,可知C与转台发生相对滑动的最小角速度ωC==;对A、B整体分析,有μ·2mg=2mr,解得B与转台发生相对滑动的最小角速度ωAB=;对A分析,有μmg=mr,解得A与B发生相对滑动的最小角速度ωA=。综上可知,若要A、B、C与转台保持相对静止,转台的角速度一定要满足ω≤,选项C错误,D正确。
9、(多选)如图所示,在光滑水平面上钉有两个钉子A和B,一根长细绳的一端系一个小球,另一端固定在钉子A上,开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置),且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上(俯视)。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动,使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放,在绳子完全被释放后与释放前相比,下列说法正确的是 ( )
A.小球的速度变大 B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小 D.细绳对小球的拉力变大
【答案】BC
【解析】由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直,不改变速度大小,故A错误;由v=ωr可知,v不变,r变大,则角速度ω变小,故B正确;小球的向心力Fn=m,v不变,r变大,则向心力变小,故C正确;细绳对小球的拉力F=m,v不变,r变大,则F变小,故D错误。
10、如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内.已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小.
【答案】sin θ
【解析】小球受力如图所示，
mgtan θ＝
r＝Rsin θ
FNcos θ＝mg
联立以上三式解得v＝sin θ
FN＝.
11、一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力大小分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1.小环受到弹簧的弹力F弹1＝k·，小环受力平衡：F弹1＝mg＋2T1cos θ1，小球受力平衡：F1cos θ1＋T1cos θ1－mg＝0；F1sin θ1－T1sin θ1＝0，解得：k＝
(2)设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为θ2，弹簧长度为x.
小环受到弹簧的弹力：F弹2＝k(x－L)
小环受力平衡：F弹2＝mg，得：x＝L
对小球：F2cos θ2＝mg；F2sin θ2＝mωlsin θ2；cos θ2＝解得：ω0＝
12、某游乐设施如图所示，由半圆形APB和直线BC组成的细圆管轨道固定在水平桌面上（圆半径比细管内径大得多），轨道内壁光滑。已知APB部分的半径，BC段长。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道水平抛出，落地点D离C点的水平距离为，桌子的高度，不计空气阻力，取，求：
(1)小球水平初速度的大小；
(2)小球在半圆形轨道上运动时的角速度以及从A点运动到C点的时间t；
(3)小球在半圆形轨道上运动时细圆管对小球的作用力F的大小。
【答案】(1)；(2)25rad/s，；(3)
【解析】(1)小球离开轨道后做平抛运动，则竖直方向有
水平方向
得
(2)小球在半圆形轨道上运动时的角速度为
小球从A到B的时间为
从B到C做匀速直线运动，时间为
因此从A点运动到C点的时间为
(3)根据牛顿第二定律得，圆管对小球的水平作用力大小为
竖直作用力大小为
故细圆管对小球的作用力为
13、如图所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m.(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC.
【答案】(1) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
【解析】(1)当细线AB刚好被拉直时，AB的拉力为零，AC的拉力和小球重力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mLABω12，又有LAB＝Lsin 37°，
解得ω1＝＝ rad/s＝ rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s
LAB＝Lsin 37°
竖直方向上有FTACcos 37°＝mg
水平方向上有FTACsin 37°＋FTAB＝mLABω22
代入数据解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N.
14、如图所示,一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上,其下端固定在杆的A端,质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动,且杆与水平面间的夹角始终保持为θ=37°。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L,重力加速度大小为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)弹簧为原长时,小球的角速度ω0;
(3)当杆的角速度ω=时弹簧的长度L'。
【答案】(1) (2) (3)3L
【解析】(1)杆处于静止状态时,对小球受力分析,由平衡条件得mg·sin 37°=k×(L-0.5L),解得弹簧的劲度系数k=。
(2)当弹簧处于原长时,弹簧弹力为零,小球只受重力和杆的支持力,它们的合力提供向心力,有mg tan 37°=mL cos 37°,解得ω0==。
(3)当ω=>ω0时,弹簧处于伸长状态,设弹簧伸长量为x,则
在竖直方向有FN cos 37°-kx sin 37°=mg
在水平方向有FN sin 37°+kx cos 37°=mω2(L+x) cos 37°
解得x=2L
所以弹簧长度L'=3L。
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6.2 向心力
一、考点梳理
考点一、对向心力的理解
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，受到的大小恒定不变，方向始终指向圆心的合力．这个合力叫做向心力．
①向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的，在对物体进行受力分析时，切不可在重力、弹力等性质的力之外再添加一个向心力．
②向心力是按力的效果来命名的，它的效果使物体产生向心加速度．
③向心力可以是某一个力，也可以是几个力的合力．
(2)向心力的方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直，时刻改变，因此向心力是变力．
(3)向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
(4)向心力的大小
①向心力表达式的推导：因为向心加速度公式为an＝或an＝ω2r或an＝r，由牛顿第二定律Fn＝ma，得向心力Fn＝m或Fn＝mω2r或Fn＝mr.
②向心力的表达式：Fn＝m＝mω2r＝mr.
(5)对向心力表达式的理解
①由公式可知向心力的大小与物体的质量m，圆周半径r，线速度v(或角速度ω或周期T)都有关系．
②向心力公式是从匀速圆周运动中得出的，但也适用于一般的圆周运动，只是在运用公式求解一般的圆周运动某点的向心力时，必须是该点对应的瞬时速度和对应时刻的半径．
(6)向心力的来源：向心力是按效果命名的，不是某种性质的力．任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力．
①重力、弹力、摩擦力都可以提供向心力，它们的合力(分力)也可以提供向心力．
②物体做匀速圆周运动，物体所受到的合力就是向心力且该合力的大小不变但方向时刻改变．
③若物体做非匀速圆周运动，物体所受合力沿半径方向的分力提供向心力．
【典例1】下列关于向心力的论述中,正确的是( )
A.物体做圆周运动一段时间后才会受到向心力
B.向心力与重力、弹力、摩擦力一样,是一种特定的力,它只有在物体做圆周运动时才产生
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是这些力中某几个力的合力
D.向心力既可以改变物体运动的方向,又可以改变物体运动的快慢
【答案】C
【解析】因为有向心力,物体才做圆周运动,A错误;向心力是按作用效果命名的,与重力、弹力、摩擦力等性质力不一样,故B错误;向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是某一个力的分力,或者是这些力中某几个力的合力,故C正确;向心力只能改变物体运动的方向,不能改变物体运动的快慢,故D错误。
练习1、关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是（ ）
A．物体做匀变速曲线运动时，其所受合外力的大小恒定、方向变化
B．物体做曲线运动时，其所受合外力不可能是恒力
C．物体做的圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心
D．物体做速率不变的曲线运动时，其所受合外力总是与速度方向垂直
【答案】D
【解析】A．物体做匀变速曲线运动时，加速度恒定，则所受合外力恒定，故A错误；
B．物体做变速率的曲线运动，合力不一定改变，比如平抛运动，故B错误；
C．物体做匀速圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心，若非匀速圆周运动，则合外力一定不指向圆心，存在沿切向和沿径向的分力，故C错误；
D．物体做匀速率曲线运动时，速度的大小不变，所以其合力一直不做功，则其的方向总是与速度方向垂直；
练习2、关于向心力的说法正确的是（ ）
A．物体做圆周运动还受到一个向心力
B．向心力可以是任何性质的力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心
【答案】B
【解析】A．力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动,而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A项错误；
B．向心力是效果力，可以是任何一种性质的力,故B正确；
C．物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心,其大小不变,方向时刻改变，故C错误；
D．只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力,而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力,故D错误。
考点二、变速圆周运动和一般的曲线运动
(1)概念：线速度大小改变的圆周运动叫做变速圆周运动．
(2)受力特点：①物体所受的合力F不指向圆心；将F分解为跟圆弧相切的分力Fτ和指向圆心的分力Fn.
②合力F与速度方向不垂直，它改变了物体速度的大小和方向．
Fn产生向心加速度，与速度方向垂直，改变了速度的方向．
Fτ产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在同一条直线上，它改变了速度的大小．
物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向夹角小于90°，如图甲所示，其中Fτ使v增大，Fn使v改变方向．Fn产生的加速度就是向心加速度．同理，F与v夹角大于90°时，Fτ使v减小，Fn改变v的方向如图乙所示．
(3)仅有向心加速度的圆周运动是匀速圆周运动；同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动．
(4)变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an＝、an＝rω2和Fn＝、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用，只不过应用时要注意Fn、an、ω、v必须是同一时刻的瞬时值．
(5)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，解决变速圆周运动除了依据上述规律外，还需要用到后面章节将要学习的功能关系等．
(6)一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动．车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，在这个复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分，如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的．
【典例1】(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【答案】CD
【解析】分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图．如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力．
练习1、如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
【答案】A
【解析】转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
练习2、如图所示为蒙晋边界的黄河大峡谷，河水沿着河床做曲线运动．图中A、B、C、D四处，受河水冲击最严重的是( )
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【解析】可看作河水沿着河道做圆周运动，根据运动路径可知，在B处的河床要提供做圆周运动的向心力，故B处的河床受河水的冲击最严重．
考点三、向心力来源的分析
1.向心力是按照力的作用效果命名的力,可以由任何一种性质的力或几种性质的力的合力来提供
2.若物体做匀速圆周运动,其向心力必然是物体所受的合力,它始终沿着半径指向圆心的方向,并且大小恒定
3.若物体做非匀速圆周运动,其向心力则为物体所受的合力沿半径方向的分力,而合力沿切线方向的分力改变线速度的大小
4.向心力来源的实例分析
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
【典例1】如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体a不下落，圆筒转动的角速度至少为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当圆筒的角速度为ω时，其内壁对小物体a的弹力为FN，要使小物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为小物体a在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为ω0＝.
【典例2】一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
A．Μmg B． C．μm(g＋) D．μm(g－)
【答案】C
【解析】在最低点由向心力公式得：FN－mg＝m，
得FN＝mg＋m，又由摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋m)。
练习1、如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
B．受重力、台面的支持力和静摩擦力
C．受重力和台面的支持力
D．受重力、台面的支持力和向心力
【答案】B
【解析】当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止，所以纸箱A受重力、台面的支持力和静摩擦力，其中静摩擦力提供纸箱随转台一起做圆周运动的向心力，向心力是效果力，是一种力或几种力的合力，不是某种性质的力，因此ACD错误。
练习2、如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
【答案】D
【解析】小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误．水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误。
练习3、在光滑水平杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示．此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A．1∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
【答案】D
【解析】由题图可知，两球均由所受绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有：m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，联立解得：r1∶r2＝1∶2.
考点四、从动力学角度分析几种常见的匀速圆周运动的向心力
1．指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的基础．
2．解题步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力分解到互相垂直的两个方向上，其中一个分力沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，垂直半径方向F合2＝0.
3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
mgtanθ＝mlsinθω2an＝gtanθ
mgtanθ＝m(d＋lsinθ)ω2an＝gtanθ
mgtanθ＝mrω2an＝gtanθ
mgtanθ＝mrω2an＝gtanθ
an＝
【典例1】如图所示，飞机做特技表演时，常做俯冲拉起运动，此运动在最低点附近可看作是半径为500m的圆周运动。若飞行员的质量为65kg，飞机经过最低点时速度为360km/h，则这时飞行员对座椅的压力为 （取g＝10 m/s2）（ ）
A．650N B．1300N C．1800N D．1950N
【答案】D
【解析】分析飞行员的受力情况，根据牛顿第二定律和向心力公式可得，已知、，代入上式解得座椅对飞行员的支持力根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力为1950N。
练习1、(多选)如图所示,长为L的悬线固定在O点,在O点正下方有一钉子C,O、C的距离为,把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放,小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子,则小球的 ( )
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心力突然增大为原来的2倍
D.向心力突然增大为原来的4倍
【答案】BC
【解析】悬线碰到钉子前后,悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直,小球的线速度大小不变,故A错误;悬线碰到钉子后,小球的运动半径减小为原来的一半,线速度大小不变,由ω=知角速度变为原来的2倍,由Fn=可知向心力变为原来的2倍,故B、C对,D错。
练习2、如图所示,长为l的细线一端悬于O点,另一端连接一个质量为m的小球,小球从A点由静止开始摆下,当摆到A点与最低点之间的某一位置C点时,其速度大小为v,此时悬线与竖直方向夹角为θ.求小球在经过C点时悬线对小球的拉力大小.
【答案】m+mgcos θ
【解析】小球在C点时,速度大小为v,圆周运动的轨道半径为l.设小球在C点时悬线对小球拉力为F,由F-mgcos θ=m,可求得F=m+mgcos θ.
考点五、圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题．这类问题的一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出力图，确定轨道半径，注意约束关系(在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系)．
情景示例 情景图示 情景说明
情景1 A、B两小球固定在轻杆上随杆绕杆的端点O做圆周运动，注意计算OA杆拉力时应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象
情景2 当转盘转速逐渐增大时，物体A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动
情景3 当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心滑动时，注意比较两接触面的动摩擦因数大小
情景4 A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等、角速度相同、圆周半径与小球质量成反比
【典例1】(多选)如图，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0 N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2 ，M、m可看成质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
【答案】BCD
【解析】物体的摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据向心力公式得：mg＋Ff＝Mω2r
解得：r＝ ；当Ff＝Ffmax＝6.0 N时，r最大，rmax＝ m＝0.32 m，当Ff＝－6 N时，r最小，则rmin＝ m＝0.08 m．
【典例2】(多选)如图所示，A，B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A．A球所受向心力为F1，B球所受向心力为F2
B．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1
C．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1－F2
D.F1∶F2＝3∶2
【答案】CD
【解析】小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对A球有F2＝mR2ω2，对B球有F1－F2＝mR1ω2，已知R2＝2R1，各式联立解得F1＝F2.故C，D对，A，B错．
练习1、（多选）如图所示，在水平转台上放一个质量的木块，它与转台间最大静摩擦力，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量的物体，当转台以角速度匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（取，M、m均视为质点）（ ）
A．m B．m C．m D．
【答案】BC
【解析】物体的摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据向心力公式得：
解得最大半径
根据
得
解得最小半径
故BC正确，AD错误。
练习2、甲、乙两名滑冰运动员,在某次滑冰表演时,面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动(不计冰面的摩擦),如图所示,m甲=80 kg,m乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为9.2 N。下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度大小相等,约为40 m/s
B.两人的角速度相同,为6 rad/s
C.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
D.两人的运动半径相同,都是0.45 m
【答案】C
【解析】甲、乙两人做匀速圆周运动的角速度相同,向心力大小都等于弹簧测力计的弹力,有m甲ω2r甲=m乙ω2r乙,即m甲r甲=m乙r乙,且r甲+r乙=0.9 m,m甲=80 kg,m乙=40 kg,解得r甲=0.3 m,r乙=0.6 m;由于F=m甲ω2r甲,所以ω== rad/s≈0.62 rad/s;线速度v=ωr,甲、乙的角速度相同,r甲与r乙不相等,v不相等。故A、B、D错误,C正确。
考点六、圆锥摆问题
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝.
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大．
【典例1】（多选）长度L＝0.5m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．细线的拉力大小为25N
B．小球运动的角速度为5rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
【答案】ABD
【解析】A．小球受到重力和绳子的拉力，两力的合力充当向心力，竖直方向上受力平衡，则有
解得绳子上的拉力为A正确；
BCD．两力的合力充当向心力，则有
解得，，B正确，C错误，D正确。
【典例2】如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】B
【解析】对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝mRω2，解得v＝ ，ω＝，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
练习1、如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．A、B球受到的支持力之比为∶3
B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为3∶1
【答案】C
【解析】A．对小球受力分析可知，A球受到的支持力，同理B球受到的支持则A、B球受到的支持力之比为∶1，故A错误；
B．A球的向心力B球的向心力 ，A、B球的向心力之比为3∶1，故B错误；
C．根据 可知 A、B球运动的角速度之比为3∶1，故C正确；
D．A、B球运动的半径之比为根据v=ωr可知A、B球运动的线速度之比为1∶1，故D错误。
练习2、如图所示，两根长度不同的细绳，一端固定于O点，另一端各系一个相同的小铁球，两小球恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．A球受绳的拉力较大
B．它们做圆周运动的角速度不相等
C．它们所需的向心力跟轨道半径成反比
D．它们做圆周运动的线速度大小相等
【答案】A
【解析】设绳子与竖直方向之间的夹角为，
A．小球在竖直方向上的合力等于零，有，解得A球与竖直方向上的夹角大，故A球受绳子的拉力较大，A正确；
B．根据牛顿第二定律可得两球的竖直高度相同，即相同，则相同，故B错误；
C．向心力等于合外力，即与r成正比，C错误；
D．圆周运动的线速度角速度相同，半径不同，则线速度不等，D错误。
练习3、如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个小球A、B在圆锥内壁做匀速圆周运动，距离地面高度分别为hA和hB。两小球运动的线速度分别为vA、vB，角速度为ωA、ωB，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示
小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，均由斜面的支持力的合外力作为向心力
由向心力的计算公式
解得，，在圆锥桶里面有，
故有，故A正确，BCD错误。
考点七、圆周运动的临界问题
1.圆周运动中临界问题的分析,应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态,然后分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程
2.水平面内匀速圆周运动的物体一般由弹力、静摩擦力等力提供向心力,确定维持物体做匀速圆周运动的临界条件是解题的关键
【典例1】（多选）如图所示，一质量为m的物块在水平圆盘上，离圆盘中心距离为r，其与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍，重力加速度为g。该物块随圆盘一起绕竖直中心轴做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘突然停止，则物块将沿圆周运动半径向外滑动
B．物块与圆盘之间的摩擦力突然消失，物块将沿圆周运动半径向外滑动
C．物块与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是
D．当圆盘的运动周期为时，圆盘对物块的摩擦力大小为
【答案】CD
【解析】A．因物块的速度方向与半径方向垂直，则当圆盘突然停止时，物块将沿垂直于圆周运动半径方向外滑动，选项A错误；
B．同理可知，物块与圆盘之间的摩擦力突然消失，物块将沿垂直于圆周运动半径向外滑动，选项B错误；
C．物块与盘面间不发生相对滑动，则由 可得圆盘转动的最大角速度是,选项C正确；
D．当圆盘的运动周期为时，则圆盘对物块的摩擦力大小为选项D正确。
【典例2】如图所示，两个小木块a和b（可视为质点），质量分别为2m和m，置于水平圆盘上。a与转轴的距离为，b与转轴的距离为。两木块与圆盘间的摩擦因数均为。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，则下列说法正确的是（ ）
A．a，b一定同时开始滑动
B．b一定比a先开始滑动
C．发生滑动前a、b所受的摩擦力大小可能不相等
D．当时，b所受摩擦力的大小为
【答案】B
【解析】AB．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a的最大静摩擦力
a开始相对圆盘滑动时，解得
b开始相对圆盘滑动，有，解得
可知当时，b开始相对圆盘滑动；b一定比a先开始滑动，A错误，B正确；
C．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知a和b的质量分别是2m和m，而a与转轴OO′为l，b与转轴OO′为2l，所以结果a和b受到的摩擦力是相等的，C错误；
D．当时，b所受摩擦力的大小为D错误。
【典例3】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，A到圆心的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，B与A质量相同.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随盘转动而不滑动？
【答案】
【解析】取物体A为研究对象，若物体随转盘转动的角速度较大，则
解得：
若A物体随转盘转动的角速度较小，则
解得：
要使A随转盘一起转动，则角速度应满足的关系是：
练习1、（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如右图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.角速度，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】AC
【解析】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有：，解得，可知当角速度时，b绳出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误．
练习2、(多选)如图所示，小球m用两根长度相等的细绳系在竖直杆上，细绳不可伸长，当杆旋转时，对小球受力分析正确的是( )
A．受重力、绳的拉力和向心力作用
B．可能受重力、一根绳的拉力共两个力作用
C．可能受重力、两根绳的拉力共三个力作用
D．上面一根绳的拉力总大于小球的重力
【答案】BCD
【解析】转速较小时，小球受重力和一根绳的拉力作用，转速较大时，小球受重力和两根绳的拉力作用，故A错误，B、C正确.只有上面一根绳有拉力时，绳的竖直分力大小等于球的重力；如果两根绳都有拉力，上面绳的竖直分力大小等于球的重力和下面绳拉力的竖直分力之和，所以上面一根绳的拉力一定比球的重力大.
二、夯实小练
1、一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速奔跑,如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力Ff的示意图,其中正确的是 ( )
【答案】C
【解析】雪橇运动时所受的摩擦力为滑动摩擦力,其方向与雪橇运动方向相反,可知与圆弧相切;又因为雪橇做匀速圆周运动,所受合力充当向心力,合力方向指向圆心。
2、如图所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动．当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能( )
A．沿F1的方向
B．沿F2的方向
C．沿F3的方向
D．沿F4的方向
【答案】C
【解析】因小球做匀速圆周运动，所以其所受各力的合力一定指向圆心，充当向心力，若受杆弹力为F1、F2、F4时与重力的合力均不可能沿杆指向圆心，只有杆的弹力为F3时合力才可能沿杆指向圆心．
3、如图所示,一辆轿车正在水平路面上做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.水平路面对轿车弹力的方向斜向上
B.静摩擦力提供向心力
C.重力、支持力的合力提供向心力
D.轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力为零
【答案】B
【解析】水平路面对轿车的弹力方向竖直向上,故A错误;在竖直方向重力和支持力相互平衡,轿车做圆周运动靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力,轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力不为零,故B正确,C、D错误。
4、如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先增大后减小
D．从b到a，物块处于超重状态
【答案】D
【解析】在c、d两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个作用力，故A错误；物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，故B错误；从a运动到b，物块的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律知，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，故C错误；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，则物块处于超重状态.
5、如图，置于竖直面内半径为r的光滑金属圆环，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度ω（ω≠0）绕圆环竖直直径转动时（ ）
A．细绳对小球的拉力可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．金属圆环对小球的作用力不可能为零
D．当ω=时，金属圆环对小球的作用力为零
【答案】D
【解析】由几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有
解得
则细绳对小球的拉力F不为零；细绳和金属圆环对小球的作用力大小不相等；
当时，金属圆环对小球的作用力；故ABC错误。
6、如图为《流浪地球》中旋转空间站的示意图，空间站为圆环，圆环内的中空管道为宇航员的活动空间。圆环外径为r，当圆环绕O点自转时能对管道内的宇航员产生弹力。要使宇航员感受到与在地表大小相等的力，空间站自转的角速度应为（设地表重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】宇航员是靠环对他的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律得
FN=mω2r
据题有
FN=mg
可得
7、2020年5月23消息，巴西滑板少年圭·库里，在半管上完成了空中转体的壮举，创下新的世界纪录，滑板运动可以简化为如图所示的模型，半球形碗固定在水平面上，物块（可看做质点）以某一竖直向下的初速度从碗口左边缘向下滑，物块与碗壁间的动摩擦因数是变化的，因摩擦作用，物块下滑过程中速率不变，则（ ）
A．物块下滑的过程中加速度不变
B．物块下滑的过程所受摩擦力大小不变
C．物块下滑过程中所受合外力方向始终指向圆心
D．物块滑到最低点时对碗壁的压力等于物块的重力
【答案】C
【解析】A.物块在下滑过程中速率不变，可看做匀速圆周运动，可知加速度大小不变，方向时刻指向圆心，故A错误；
B.物块在下滑过程中可看做匀速圆周运动，设支持力FN与竖直方向的夹角为，则摩擦力f=mgsin，在下滑过程中，由于角度变小，sin变小，则f变小，故B错误；
C.物块做匀速圆周运动的合外力完全提供向心力，合外力方向始终指向圆心，故C正确；
D.在最低点时，根据牛顿第二定律，有
FN-mg=m
依题意，物块滑到最低点时速度大小不变，则支持力不等于重力，根据牛顿第三定律知，压力大小等于支持力大小，所以压力不等于物块的重力，故D错误。
8、如图所示，长为L的细线拴一质量为m的小球，细线另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。已知运动中细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，求∶
（1）小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力大小；
（2）细线对小球的拉力F的大小；
（3）小球在水平面内做匀速圆周运动的线速度大小。
【答案】1）mgtanθ；（2）；（3）
【解析】（1）由受力分析可知，重力与细线拉力的合力提供向心力，如图：
有
Fn=mgtanθ
（2）建立如图所示的坐标系，竖直方向上有
Fcosθ=mg
解得
（3）小球做圆周运动的半径为
r=Lsinθ
向心力
即
解得
9、如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。已知小球质量m＝0.50kg，角速度大小ω＝2rad/s，细线长L＝0.20m。
（1）求小球的线速度大小v、周期T、转速n；
（2）求细线对小球的拉力大小F；
（3）若细线最大能承受10.0N的拉力，求小球运行的最大线速度vm。
【答案】（1），，；（2）；（3）
【解析】（1）根据
根据
解得
根据
解得
（2）细线对小球的拉力大小，根据牛顿第二定律得
（3）若细线最大能承受10.0N的拉力，求小球运行的最大线速度
解得
10、如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，重力加速度为g，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时转盘的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
【答案】(1) (2)μmg
【解析】(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω02r，得ω0＝.
(2)当ω＝时，ω＞ω0，所以绳子的拉力FT和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，FT＋μmg＝mω2r
即FT＋μmg＝m··r，
得FT＝μmg.
11、一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是。盘面上距圆盘中心的位置有一个质量为的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示，已知小物块与盘面的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求：
（1）小物体的线速度大小；
（2）小物体的向心力大小；
（3）当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对圆盘滑动？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小物体的线速度大小为
（2）小物体的向心力大小为
（3）当小物体刚好相对圆盘滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则有
又
联立可得
三、培优练习
1、如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面间的夹角为 30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是
A． rad/s B． rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【答案】C
【解析】随着角速度的增大，小物体最先相对于圆盘发生相对滑动的位置为转到最低点时，此时对小物体有，解得，此即为小物体在最低位置发生相对滑动的临界角速度。
2、（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是
A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω=是b开始滑动的临界角速度 D．当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
【解析】小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即，由于木块b的半径大，所以发生相对滑动前木块b的静摩擦力大，选项B错。随着角速度的增大，当静摩擦力等于滑动摩擦力时木块开始滑动，则有，代入两个木块的半径，小木块a开始滑动时的角速度，木块b开始滑动时的角速度，选项C对。根据，所以木块b先开始滑动，选项A对。当角速度，木块b已经滑动，但是，所以木块a达到临界状态，摩擦力还没有达到最大静摩擦力，所以选项D错。
3、(多选)如图所示，质量相等的A，B两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则( )
A．它们所受的摩擦力fA＞fB
B．它们的线速度vA
【答案】AD
【解析】对两物块进行受力分析知：水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，则f＝mω2R，由于A，B在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相等，故D正确．又因为RA＞RB，故fA＞fB，故A正确；由v＝ωR，ωA＝ωB，RA＞RB，可知：vA＞vB，故B错误；根据ωA＝ωB，可知：TA＝TB，故C错误．
4、如图所示,一轨道由圆弧和水平部分组成,且连接处光滑.质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ.在滑块从A滑到B的过程中,受到的滑动摩擦力的最大值为Ff,则 ( )
A.Ff=μmg B.Ff<μmg
C.Ff>μmg D.无法确定Ff的值
【答案】C
【解析】当滑块刚要滑到水平轨道部分时,轨道对滑块的支持力FN=+mg,FN>mg,滑块在此位置受到摩擦力大于μmg,所以Ff>μmg,选项C正确.
5、(多选)甲、乙两名溜冰运动员,面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动.已知m甲=80 kg,m乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为96 N,下列判断中正确的是 ( )
A.两人的线速度相同,约为40 m/s
B.两人的角速度相同,为2 rad/s
C.两人的运动半径相同,都是0.45 m
D.两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m
【答案】BD
【解析】两人旋转一周的时间相同,故两人的角速度相同,两人做圆周运动所需的向心力相同,由Fn=mω2r可知,旋转半径满足r甲∶r乙=m乙∶m甲=1∶2,又r甲+r乙=0.9 m,则r甲=0.3 m,r乙=0.6 m.两人的角速度相同,则v甲∶v乙=1∶2.由Fn=m甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故选项B、D正确.
6、如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止.当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
【答案】D
【解析】容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大。
7、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力增大 B．物体所受弹力不变，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】C
【解析】物体所受弹力提供向心力，当圆筒的转速减小以后，物体所需向心力减小，则弹力减小，但在竖直方向上物体合力为零，所受摩擦力与重力大小始终相等，所以摩擦力不变。
8、(多选)如图,放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起绕转台中心以角速度ω匀速转动而不发生相对滑动。已知A、B、C的质量均为m,A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ,A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(深度解析)
A.B对A的摩擦力一定为μmg
B.B对A的摩擦力一定为mω2r
C.转台的角速度必须满足ω≤
D.转台的角速度必须满足ω≤
【答案】BD
【解析】B对A的摩擦力提供A物体做圆周运动的向心力,即fBA=mω2r,但B对A的摩擦力不一定等于最大静摩擦力,即不一定等于μmg,选项A错误,B正确。对C即将发生相对滑动时的临界状态进行分析,有μmg=m·1.5r,可知C与转台发生相对滑动的最小角速度ωC==;对A、B整体分析,有μ·2mg=2mr,解得B与转台发生相对滑动的最小角速度ωAB=;对A分析,有μmg=mr,解得A与B发生相对滑动的最小角速度ωA=。综上可知,若要A、B、C与转台保持相对静止,转台的角速度一定要满足ω≤,选项C错误,D正确。
9、(多选)如图所示,在光滑水平面上钉有两个钉子A和B,一根长细绳的一端系一个小球,另一端固定在钉子A上,开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置),且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上(俯视)。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动,使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放,在绳子完全被释放后与释放前相比,下列说法正确的是 ( )
A.小球的速度变大 B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小 D.细绳对小球的拉力变大
【答案】BC
【解析】由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直,不改变速度大小,故A错误;由v=ωr可知,v不变,r变大,则角速度ω变小,故B正确;小球的向心力Fn=m,v不变,r变大,则向心力变小,故C正确;细绳对小球的拉力F=m,v不变,r变大,则F变小,故D错误。
10、如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内.已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小.
【答案】sin θ
【解析】小球受力如图所示，
mgtan θ＝
r＝Rsin θ
FNcos θ＝mg
联立以上三式解得v＝sin θ
FN＝.
11、一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力大小分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1.小环受到弹簧的弹力F弹1＝k·，小环受力平衡：F弹1＝mg＋2T1cos θ1，小球受力平衡：F1cos θ1＋T1cos θ1－mg＝0；F1sin θ1－T1sin θ1＝0，解得：k＝
(2)设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为θ2，弹簧长度为x.
小环受到弹簧的弹力：F弹2＝k(x－L)
小环受力平衡：F弹2＝mg，得：x＝L
对小球：F2cos θ2＝mg；F2sin θ2＝mωlsin θ2；cos θ2＝解得：ω0＝
12、某游乐设施如图所示，由半圆形APB和直线BC组成的细圆管轨道固定在水平桌面上（圆半径比细管内径大得多），轨道内壁光滑。已知APB部分的半径，BC段长。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道水平抛出，落地点D离C点的水平距离为，桌子的高度，不计空气阻力，取，求：
(1)小球水平初速度的大小；
(2)小球在半圆形轨道上运动时的角速度以及从A点运动到C点的时间t；
(3)小球在半圆形轨道上运动时细圆管对小球的作用力F的大小。
【答案】(1)；(2)25rad/s，；(3)
【解析】(1)小球离开轨道后做平抛运动，则竖直方向有
水平方向
得
(2)小球在半圆形轨道上运动时的角速度为
小球从A到B的时间为
从B到C做匀速直线运动，时间为
因此从A点运动到C点的时间为
(3)根据牛顿第二定律得，圆管对小球的水平作用力大小为
竖直作用力大小为
故细圆管对小球的作用力为
13、如图所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m.(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC.
【答案】(1) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
【解析】(1)当细线AB刚好被拉直时，AB的拉力为零，AC的拉力和小球重力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mLABω12，又有LAB＝Lsin 37°，
解得ω1＝＝ rad/s＝ rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s
LAB＝Lsin 37°
竖直方向上有FTACcos 37°＝mg
水平方向上有FTACsin 37°＋FTAB＝mLABω22
代入数据解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N.
14、如图所示,一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上,其下端固定在杆的A端,质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动,且杆与水平面间的夹角始终保持为θ=37°。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L,重力加速度大小为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)弹簧的劲度系数k;
(2)弹簧为原长时,小球的角速度ω0;
(3)当杆的角速度ω=时弹簧的长度L'。
【答案】(1) (2) (3)3L
【解析】(1)杆处于静止状态时,对小球受力分析,由平衡条件得mg·sin 37°=k×(L-0.5L),解得弹簧的劲度系数k=。
(2)当弹簧处于原长时,弹簧弹力为零,小球只受重力和杆的支持力,它们的合力提供向心力,有mg tan 37°=mL cos 37°,解得ω0==。
(3)当ω=>ω0时,弹簧处于伸长状态,设弹簧伸长量为x,则
在竖直方向有FN cos 37°-kx sin 37°=mg
在水平方向有FN sin 37°+kx cos 37°=mω2(L+x) cos 37°
解得x=2L
所以弹簧长度L'=3L。
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