6.4生活中的圆周运动 学案
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6.4 生活中的圆周运动
一、考点梳理
考点一、火车转弯问题
1．轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
2．向心力分析
如图5 7 3所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mgtan θ＝m，可得v0＝(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．
4．轨道压力分析
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
②当火车行驶速度v【典例1】铁路弯道处，外轨比内轨高。当火车以规定速度通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道支持力的合力提供。若列车通过弯道的速度大于，则下列关于轨道与轮缘间侧压力和轨道支持力的说法正确的是（ ）
A．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时小
B．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时大
C．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
D．内轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
【答案】B
【解析】当火车以规定速度通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道支持力的合力提供。受力如图所示
竖直方向有
若列车通过弯道的速度大于，火车将做离心运动，外轨与轮缘间产生侧压力，方向与支持力方向垂直，如图所示
竖直方向有
可知列车通过弯道的速度大于时，支持力比速度为时大，故B正确，ACD错误。
【典例2】一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h，弯道半径为r，两轨间宽度为L，重力加速度的大小为g，该弯道的设计速度最为适宜的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当火车以设计速度v运行时，其受力如图所示
此时火车轮与内外轨道无挤压，恰好由支持力与重力的合力作为向心力，根据牛顿第二定律可得
斜面的倾角正切值满足
联立解得
练习1、汽车正在圆环形赛道上水平转弯，图示为赛道的剖面图。赛道路面倾角为，汽车质量为m，转弯时恰好没有受到侧向摩擦力。若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，则以下说法正确的是（ ）
A．汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为
B．汽车受到沿路面向上的侧向摩擦力，大小为
C．无侧向摩擦力时，路面对汽车的支持力大小为
D．速度变为原来的二倍后，路面对汽车的支持力大小为
【答案】A
【解析】C．汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力，由重力和支持力的合力提供向心力。设汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力时汽车速度为v，根据牛顿第二定律得
竖直方向
解得
水平方向
解得
选项C错误；
ABD．若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，所需要的向心力增大，重力和支持力的合力不够提供向心力，所以汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，如图：
根据牛顿第二定律得
竖直方向
水平方向
联立解得
即汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为，路面对汽车的支持力大小为
选项A正确，BD错误。
练习2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因运动员在冰面上做圆周运动的向心力由冰面的摩擦力提供，则
可得
则安全速度为
考点二、拱形桥
汽车过凸形桥(最高点) 汽车过凹形桥(最低点)
受力分析
牛顿第二定律求向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
牛顿第三定律求压力 F压＝FN＝mg－m F压＝FN＝mg＋m
讨论 v增大，F压减小；当v增大到时，F压＝0 v增大，F压增大
超、失重 汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态 汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态
【典例1】城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（ ）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【答案】C
【解析】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
物体处于失重状态，故AB错误，C正确；
D．由
解得
故D错误。
【典例2】如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（ ）
A．受到向心力为mg+m
B．受到的摩擦力为μm(g+)
C．受到的摩擦力为μmg
D．受到的合力方向竖直向上
【答案】B
【解析】A．物体滑到半球形金属球壳最低点时，速度大小为v，半径为R，向心力大小为
故A错误；
BC．根据牛顿第二定律得
得到金属球壳对小球的支持力
由牛顿第三定律可知，小球对金属球壳的压力大小
物体在最低点时，受到的摩擦力为
故B正确，C错误；
D．物块竖直方向的合力向上，还受到水平方向的摩擦力，所以在最低点总的合力不是竖直向上，而是斜向上，故D错误。
练习1、如图所示，汽车通过凹形路面的最低点时 （ ）
A．汽车对路面的压力等于汽车的重力
B．汽车对路面的压力小于路面对汽车的支持力
C．汽车所需的向心力等于路面对汽车的支持力
D．为了防止爆胎，汽车应低速驶过
【答案】D
【解析】ABC．设路面对汽车的支持力为N，在最低点，根据牛顿第二定律有N-mg=m
所以N>mg
根据牛顿第三定律知，汽车对路面的压力等于路面对汽车的支持力，所以汽车对路面的压力大于汽车的重力，故ABC错误；
D．为了防止爆胎，应使路面对汽车的支持力N小一些，由N=m+mg
可知应该减小车速。
练习2、如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为6米/秒时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度应为（g=10m/s2）（ ）
A．12米/秒 B．18米/秒 C．24米/钞 D．30米/秒
【答案】C
【解析】根据牛顿第二定律得 即
当支持力为零，有
解得。
考点三、离心运动
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．
2．离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若Fn＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若Fn＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动．
由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．
【典例1】下列关于离心现象的说法中，正确的是（ ）
A．物体做离心运动的原因是物体受的离心力大于向心力
B．做匀圆周运动的物体，当它所受的合外力突然减小时，它将沿半径方向背离圆心运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的合外力突然变为零时，它将沿圆周的切线方向做匀速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的合外力突然变为零时，它可能做曲线运动
【答案】C
【解析】A．不存在离心力，物体做离心运动的原因是合力不足以提供向心力。A错误；
B．做匀圆周运动的物体，当它所受的合外力突然减小时，它将沿圆周的切线方向做远离圆心运动。B错误；
C D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的合外力突然变为零时，它将沿圆周的切线方向做匀速直线运动。C正确；D错误。
练习1、如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘匀速转动时，物块P所受摩擦力方向为c方向
B．当转盘匀速转动时，物块P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为b方向
【答案】A
【解析】AB．当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向沿半径指向圆心O点，故A正确，B错误；
C．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，即物块P所受摩擦力方向可能为b方向，故C错误；
D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，即物块P所受摩擦力方向可能为d方向，故D错误。
考点四、竖直面内轻绳模型
如左图所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.
小球能通过最高点的条件
如图右所示,在最高点A:、
即
小球能过最高点A的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件
小球不脱离轨道在最低点B满足的条件或
小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况
【典例1】(多选）如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【答案】CD
【解析】在最高点当小球的重力完全充当向心力时，即绳子的拉力为零，有，解得，该情况为细绳拴着小球在竖直面内做圆周运动的临界条件，即小球通过最高点的速度不能小于，若在最高点的速度大于，则小球在最高点的向心力由重力和绳子的拉力共同充当，A错误BC正确；在最低点，靠重力和绳子拉力的合力提供向心力，合力方向向上，所以拉力一定大于小球的重力，D正确．
练习1、“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型．已知绳长为l，重力加速度为g，则（ ）
A．当时，细绳始终处于绷紧状态
B．当时，小球一定能通过最高点P
C．小球运动到最高点P时，处于失重状态
D．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
【答案】AC
【解析】当时，由机械能守恒有，可得，所以小球到不了与O点等高的位置，小球在最低点两侧来回摆动，绳能处于始终绷紧状态，A正确。在最高点由牛顿第二定律有，由于绳只能提供拉力，即，所以球在最高点的速度应满足；从最低点到最高点由机械能守恒有，解得，即只有当时小球才能通过最高点P，故B错误。在最高点P，小球的加速度向下，处于失重状态，C正确.在最低点，结合机械能守恒有及在最高点由牛顿第二定律有，解得为定值，D错误。
练习2、（多选）质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为，如图所示。当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为
【答案】ＢＣ
【解析】当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动：小球在水平方向不受力，不可能仍在水平面内做匀速圆周运动，A错误；小球以A点为圆心做圆周运动，瞬间有向上的加速度，产生超重现象，a绳中的张力增大，BC正确；绳b未被烧断时，小球在水平面内做圆周，在竖直面内处于平衡状态，D错误。
考点五、竖直面内轻杆模型
如图所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.
小球能通过最高点的条件
如图所示,在最高点C:
小球能过最高点C的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点D满足的条件
小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况
在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:
若,杆中弹力方向向上,大小为
若,杆中弹力方向向上,大小小于重力,,大小随此点速度的增大而减小.
若,杆中无弹力
若,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力,,大小 随此点速度的增大而增大
小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.
【典例1】（多选）如图所示，某长为R的轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，以下说法中正确的是
A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B、小球过最高点时，最小速度为
C、小球过最低点时，杆对球的作用力一定大于重力
D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定小于重力
【答案】AC
【解析】小球在最高点时，杆子可以表现为支持力，可以表现为拉力，最小速度为零，故A正确，B错误。在最低点，合力提供向心力，指向圆心，所以杆对球的作用力一定大于重力，故C正确D错误。
【典例2】如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装有固定的转动轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动。若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度，其中g为重力加速度，不计空气阻力，则（ ）
A、小球不可能到达圆周轨道的最高点Q
B、小球能到达最高点Q，但小球在Q点不受轻杆的弹力
C、小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向上的弹力
D、小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向下的弹力
【答案】Ｃ
【解析】根据动能定理得，-mg2L＝mv2-m，解得v=，知小球能够到达最高点P．假设在最高点重力和支持力的合力提供向心力，则有，解得，即小球在P点受到轻杆对它向上的弹力．故C正确，A、B、D错误．
练习1、（多选）如图所示，细杆的一端与小球相连，另一端可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一个初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A、a处为拉力，b处为拉力；
B、a处为拉力，b处为推力；
C、a处为推力，b处为拉力；
D、a处为推力，b处为推力；
【答案】AB
【解析】由于a处是圆周运动的最低点,向心力方向竖直向上,故a处杆必然对球产生竖直向上的拉力,与重力一直提供小球在a点所需向心力;b点是圆周运动的最高点,在b点处需要竖直向下的向心力,若在b点时速度较小需要的向心力较小且小于小球的重力时,杆对小球施加向上的推力;若在b点时速度较大、需要的向心力较大且重力不足以提供所需的向心力时,杆对球产生向下的拉力;若在b点速度合适时从而使重力恰好提供小球所需向心力时,杆与球之间无相互作用,故可知AB正确CD错误.
练习2、一轻杆一端固定质量为的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则（ ）
A．小球过最高点时，杆所受弹力不可能大于重力
B．小球过最高点时的最小速度是
C．小球过最低点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
【答案】C
【解析】杆即可以提供拉力、也可以提供推力，故当小球在最高点时速度时，所需向心力，此时杆提供向上的推力，由有，但当速度时杆提供向下的拉力，此时有即，此时杆的弹力大小与重力大小关系不确定，故ＡＢＤ皆错误。当小球通过最低点时，由于向心力方向向上，而重力方向向下，故此时杆一定对球产生向上的拉力，向心力由提供，故Ｃ正确。
练习3、（多选）一根长为L的轻杆下端固定一个质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力）．当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（ BC ）
A，小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
C．小球在最低点对轻杆的作用力一直增大
D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
【答案】BC
【解析】设在最高点轻杆对小球的作用力大小为F，方向向上，小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得mg – F =，当轻杆对小球的作用力大小F = mg时，小球的速度最小，最小值为零，所以A错误．由mg– F =，可得在最高点轻杆对小球的作用力F= mg –，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，所以轻杆对小球的作用力F先从mg减小0后再反向增大（先为支持力后为拉力）．由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，B正确．在最低点，由F–mg =，可得轻杆对小球的拉力F= mg +，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则轻杆对小球的拉力一直增大，C正确．轻杆绕水平轴在竖直平面内运动，小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心，只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心，选项D错误．
考点六、半球面模型
如图所示,小球从光滑半球面顶端E开始运动.
小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端.
小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置H满足.
小球在顶端E时的速度V越大,离球面时的位置H越靠近顶端,角越小即小球能沿球下滑的距离越短.
当小球在球面顶端的速度时,小球直接从E点离开球面做平抛运动.
【典例1】（多选）如图所示，小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度，则物块 （ ）
A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为
C．落地速度大小为2 D．落地时速度方向与地面成45°角
【答案】ACD
【解析】物体恰好不受轨道的支持力的情况下（物体在最高点做圆周运动）的临界条件是，最高点速度为，因为＞，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律可得：R＝，x=v0t，所以可得x=2R，B答案正确；落地时竖直分速度，合速度，其方向与地面成45°角，CD正确．
练习1、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
【答案】D
【解析】设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。
夯实小练
1、如图所示，杂技演员在表演节目时，用细绳系着的盛水的杯子可以在竖直平面内做圆周运动，甚至当杯子运动到最高点时杯里的水也不会流出来。下列说法中正确的是( )
A．在最高点时，水对杯底一定有压力
B．在最高点时，盛水杯子的速度可能为零
C．在最低点时，细绳对杯子的拉力充当向心力
D．在最低点时，杯和水受到的拉力大于重力
【答案】D
【解析】水和杯子恰好能通过最高点时，在最高点细绳的拉力为零，由它们的重力提供向心力，它们的加速度为g，此时水对杯底恰好没有压力。设此种情况时杯子的速度为v，则对整体有mg＝m，v＝＞0，即在最高点时，盛水杯子的速度一定不为零，故A、B错误。在最低点时，由整体的重力和细绳拉力的合力提供向心力，即T－mg＝m，此时整体受到的拉力大于重力，故C错误。
2、澧水两岸的湿地常有白鹭栖息。当一只质量为m的白鹭在水平面内以速度v绕半径为r的圆周匀速盘旋时，空气对白鹭的作用力大小是（重力加速度为g） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】白鹭受重力、空气的作用力，靠两个力的合力提供向心力，如图所示：
根据牛顿第二定律有
根据平行四边形定则，空气对白鹭的作用力，故选C。
3、公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该转弯处
A．当路面结冰时，v0的值减小
B．当路面结冰时，v0的值增大
C．车速低于v0，车辆便会向内侧滑动
D．车速低于v0，车辆不一定向内侧滑动
【答案】D
【解析】AB．当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，此时重力与支持力的合力提供向心力，当路面结冰时，两力仍没变，所以v0的值不变，AB错误．
CD．车速低于v0，所需向心力变小，有近心运动的趋势，但是由于静摩擦力的存在，所以车辆不一定向内侧滑动，C错误D正确．
4、（多选）如图所示为洗衣机脱水桶工作的示意图。半径为r的圆柱形脱水桶绕竖直转轴OO′以ω的角速度转动，一质量为m的手套附着在脱水桶内壁上随桶一起转动。已知手套和桶间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．手套与桶间的摩擦力大小一定为mg
B．手套与桶间的摩擦力大小可能为μmω2r
C．若桶的转速减小，手套一定会沿筒壁向下滑动
D．若桶的转速增大，手套可能会沿筒壁向上滑动
【答案】AB
【解析】A．手套附着在脱水桶内壁上随桶一起转动，竖直方向由平衡得，故A正确；
B．当手套与脱水桶间的摩擦达到最大静摩擦时，此时手套与桶间的摩擦力大小为
故B正确；
C．手套与脱水桶间的弹力提供向心力，若桶的转速减小，手套与脱水桶间的弹力减小，手套与脱水桶间的最大静摩擦力减小，但只要最大静摩擦力仍大于自身重力时，手套仍能静止，故C错误；
D．若桶的转速增大，手套与脱水桶间的弹力增大，手套与脱水桶间的最大静摩擦力增大，手套始终处于静止状态，故D错误。
5、如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN v2图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【答案】B
【解析】当v2＝b时，FN＝0，此时小球的重力恰好提供圆周运动的向心力，则有mg＝m，解得g＝，故A错误。当v2＝0时，FN＝a，故有FN＝mg＝a，结合A项结论可解出m＝，故B正确。由图像可知，当v2＝c>b时，速度大于杆的弹力为零的临界速度，此时杆的弹力方向向下，故C错误。当v2＝2b时，由F合＝m，故有FN＋mg＝＝＝2a＝2mg，得FN＝mg＝a，故D错误。
6、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )
A.g B.
C. D.
【答案】B
【解析】当重物转动到最高点时，对电动机的向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值为FT＝Mg；对重物来说，随飞轮一起做圆周运动，它的向心力是重力和飞轮对重物的拉力FT′的合力，FT′和FT是一对作用力和反作用力。由牛顿第二定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入数值，解得ω＝ 。所以B正确。
7、（多选）如图所示，转轮边缘用不同长度的钢绳系着椅子，坐在椅子中系上安全带，随转轮一起做匀速圆周运动，这就是大家非常喜爱的“空中飞椅”。不计空气阻力和钢绳的重力，下列说法中正确的是（ ）
A．角速度越大，钢绳与竖直方向的夹角越大
B．人质量越小，钢绳与竖直方向的夹角越大
C．钢绳越长，钢绳与竖直方向的夹角越大
D．钢绳越短，钢绳与竖直方向的夹角越大
【答案】AC
【解析】A．依据题意，做圆锥摆运动，画出如图所示受力示意图
飞椅受重力和绳子的拉力作用，设小球运动的角速度为，根据圆锥摆运动的特点，有
得
由上可知，角速度越大，钢绳与竖直方向的夹角越大，A正确；
B．由上可知，钢绳与竖直方向的夹角与质量无关，B错误；
CD．设摆绳的长度为，则有
得
则钢绳越长，钢绳与竖直方向的夹角越大，D错误，C正确。
8、长L＝0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：(取g＝10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
【答案】(1)16 N，向下的压力 (2)44 N，向上的拉力
【解析】设轻杆转到最高点，轻杆对A的作用力恰好为0时，A的速度为v0，
由mg＝m，
得v0＝＝ m/s。
(1)当A的速率v1＝1 m/s＜v0时，
轻杆对A有支持力，由牛顿第二定律得
mg－F1＝m
解得F1＝mg－m＝16 N，
由牛顿第三定律得
A对轻杆的压力F1′＝F1＝16 N，方向竖直向下。
(2)当A的速率v2＝4 m/s＞v0时，
轻杆对A有拉力，由牛顿第二定律得mg＋F2＝m，解得F2＝m－mg＝44 N，由牛顿第三定律得
A对轻杆的拉力F2′＝F2＝44 N，方向向上。
9、如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
【答案】(1)1 m/s(2)0.2
【解析】(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2①
在水平方向上有
s＝v0t②
由①②式解得v0＝s
代入数据得v0＝1 m/s。
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fmax＝m④
fmax＝μFN＝μmg⑤
由④⑤式得μ＝，
代入数据得μ＝0.2。
10、杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g取9.8 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v′＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
【答案】(1)1.71 m/s (2)10.1 N
【解析】(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即：mg≤m，r＝l，
则所求最小速率：
v0＝＝ m/s≈1.71 m/s。
(2)当水在最高点的速率大于v0时，重力不足以提供向心力，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有：
FN＋mg＝m
即FN＝m－mg＝10.1 N。
由牛顿第三定律知，水对杯底的压力
FN′＝FN＝10.1 N，方向竖直向上。
三、培优练习
1、如图所示，某电视台推出了一款娱乐闯关节目，选手最容易失败落水的地方是第四关“疯狂转盘”和第五关“高空滑索”。根据所学物理知识，选出选项中表述正确的选项（ ）
A．选手进入转盘后，随转盘做匀速圆周运动时加速度不变
B．选手进入转盘后，在转盘中间比较安全
C．选手进入转盘后，质量越大的选手，越不容易落水
D．选手从最后一个转盘的边缘起跳去抓滑索时，起跳方向应正对悬索
【答案】B
【解析】A．做圆周运动的物体的向心力指向圆心，加速度指向圆心，时刻在变化，选手进入转盘后，随转盘做匀速圆周运动时加速度变化，A错误；
B．进入转盘后，和转盘一起做圆周运动，根据
知，静摩擦力提供向心力，在转盘边缘，向心力较大，摩擦力会不够提供，从而滑倒落水，所以在转盘中间比较安全，B正确；
C．根据
知，与质量无关，C错误；
D．选手从最后一个转盘的边缘起跳去抓滑索时，若起跳方向正对悬索，由于选手与转盘有相同的转动的线速度，根据平行四边形定则，合速度方向不是正对悬索，D错误。
2、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，规定的转弯速度为，火车的质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．若转弯速度大于，内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．若转弯速度大于，外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．若转弯速度等于，铁轨对火车的支持力等于mgcosθ
D．若转弯速度等于，铁轨对火车的支持力等于mgtanθ
【答案】B
【解析】AB．当火车对侧向压力为零时，重力和支持力提供向心力有
解得
当速度大于时，火车有离心趋势，对外轨对外侧车轮有挤压，A错误，B正确
CD．当速度等于时，侧向弹力为零，根据竖直方向平衡有
铁轨对火车的支持力为，CD错误。
3、（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳b在水平方向伸直时长为l，绳a与水平方向成θ角，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> 时，b绳将出现张力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
【答案】AC
【解析】当b绳中有张力时，对小球进行受力分析，
竖直方向有Ta sin θ＝mg，由此可知，此时Ta与ω无关，故A正确，B错误。由圆锥摆模型知ω较小时b绳中无张力，设ω＝ω0时b绳刚伸直且无张力，对小球有＝mω02·l，则ω＝ω0＝，故C正确。当b绳中无张力时，将b突然剪断，a绳的张力不会发生变化，故D错误。
4、（多选）如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC
【解析】A．由图可知v2=b，FN=0
此时 解得，选项A错误；
B．当v2=0时，此时FN=mg=a 所以，选项B正确；
C．小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向园心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力， 选项C正确；
D．小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力， 选项D错误。
5、长为L的轻杆，一端固定一个小球A，另一端固定在光滑的水平轴上，轻杆绕水平轴转动，使小球A在竖直面内做圆周运动，小球A在最高点的速度为v，下列叙述中正确的是( )
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C．当v由零逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
【答案】B
【解析】小球在最高点的最小速度为零，此时重力大小等于杆的支持力，故A错误。在最高点，根据F向＝m得，当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大，故B正确。在最高点，当杆的作用力为零时，v＝，当v＞，杆提供拉力，有mg＋F＝m，当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大，当0≤v＜时，杆提供支持力，有mg－F＝m，当v由零逐渐增大到时，杆的弹力逐渐减小，反之当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，故C、D均错误。
6、(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点。如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向。当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则( )
A．绳a对小球拉力不变
B．绳a对小球拉力增大
C．小球可能前后摆动
D．小球不可能在竖直平面内做完整的圆周运动
【答案】BC
【解析】绳b烧断前，小球竖直方向的合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，小球在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′＞Fa，A错误，B正确；当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，C正确；当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方的最高点而做完整的圆周运动，D错误。
7、（多选）如图所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则（ ）
A.小球运动到最高点的速度v＝
B.小球运动到最高点的速度v＝
C.小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
D.小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
【答案】AD
【解析】小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg＝m，r＝Lsin 60°，解得v＝，A正确，B错误；小球在最低点，由向心力公式得：FT－mg＝m，每段绳子的拉力F＝，由以上两式解得：F＝mg＋m，C错误，D正确。
8、如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【答案】(1) rad/s (2)2 rad/s
【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力
和细线的拉力，受力分析如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mω02lsin θ
解得ω02＝
即ω0＝＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′2＝
即ω′＝＝2 rad/s。
9、下图甲为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图乙所示模型，已知绳长L=5m，水平横梁L′=3m，小孩质量m=40kg，整个装置可绕竖直轴转动，绳与竖直方向夹角θ=37°，小孩可视为质点，g取10m/s2，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)该装置转动的角速度多大？
(2)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为53°，求此时装置转动的角速度。
【答案】(1) ； (2)
【解析】(1)小孩受力情况如图所示
由于竖直方向受力平衡，则有Fcosθ=mg
代入数据得F=500N
小孩做圆周运动的半径r=L′+Lsin37°=6m
由牛顿第二定律得Fsinθ=mrω2
代入数据解得
(2) 增大转速后，此时半径为r′=L′+Lsin53°=7m
根据牛顿第二定律mgtan53°=mr′ω'2
代入数据解得
10、某电视台“快乐向前冲”节目中的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R，角速度为ω，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差为H．选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在合适的位置放手，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m（不计身高大小），人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g．
（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应在什么范围？
（2）若已知H＝5m，L＝8m，a＝2m/s2，g＝10m/s2，且选手从C点放手能恰能落到转盘的圆心处，则他是从平台出发后经过多长时间放手的？
【答案】（1）（2）t1=2s
【解析】(1)设人落在距圆心R处不至被甩下，最大静摩擦力提供向向心力，则有：
即转盘转动角度应满足
(2)设沿水平加速段位移为x1，时间t1；平抛时水平位移为x2，时间为t2，则加速时有：
，
平抛运动阶段： ，
全程水平方向：
代入已知各量数值，联立以上各式解得：t1=2s
11、如图所示，在光滑水平面上有质量为m1、m2的两个小球1、2用轻弹簧连接在一起，再用长为L1的细线一端拴住球1，一端拴在O点上，两球都以相同的角速度ω绕O点做匀速圆周运动，保证两球与O点三者始终在同一直线上，若两球之间的距离为L2，试求细线的拉力以及将细线烧断的瞬间两球的加速度。
【答案】FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2 球1的加速度a1＝＝－·(L1＋L2)ω2，负号表示a1的方向水平背离O点，与a2的方向相反 球2的加速度a2＝＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O点。
【解析】以球2为研究对象，球2绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由弹簧的弹力提供，设弹力为F，则有 F＝m2(L1＋L2)ω2；以球1为研究对象，球1绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由细线的拉力和弹簧弹力的合力提供，设细线拉力为FT，则有FT－F＝m1L1ω2。由以上两式可解得：FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2。当细线烧断瞬间，细线的拉力FT＝0，而弹簧的弹力仍为F＝m2(L1＋L2)ω2，故球2的加速度a2＝＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O点。球1的加速度a1＝＝－·(L1＋L2)ω2，负号表示a1的方向水平背离O点，与a2的方向相反。
12、如图所示，两绳AC、BC系着一个质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长l＝2 m，两绳都拉直时与竖直轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
【答案】2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
【解析】当BC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
FT1cos30°＝mg
FT1sin30°＝mlsin30°ω
解得ω1≈2.40 rad/s
当AC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
FT2cos45°＝mg
FT2sin45°＝mlsin30°ω
解得ω2＝3.16 rad/s
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是：
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
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6.4 生活中的圆周运动
一、考点梳理
考点一、火车转弯问题
1．轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
2．向心力分析
如图5 7 3所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mgtan θ＝m，可得v0＝(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．
4．轨道压力分析
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
②当火车行驶速度v
A．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时小
B．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时大
C．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
D．内轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
【答案】B
【解析】当火车以规定速度通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道支持力的合力提供。受力如图所示
竖直方向有
若列车通过弯道的速度大于，火车将做离心运动，外轨与轮缘间产生侧压力，方向与支持力方向垂直，如图所示
竖直方向有
可知列车通过弯道的速度大于时，支持力比速度为时大，故B正确，ACD错误。
【典例2】一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h，弯道半径为r，两轨间宽度为L，重力加速度的大小为g，该弯道的设计速度最为适宜的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当火车以设计速度v运行时，其受力如图所示
此时火车轮与内外轨道无挤压，恰好由支持力与重力的合力作为向心力，根据牛顿第二定律可得
斜面的倾角正切值满足
联立解得
练习1、汽车正在圆环形赛道上水平转弯，图示为赛道的剖面图。赛道路面倾角为，汽车质量为m，转弯时恰好没有受到侧向摩擦力。若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，则以下说法正确的是（ ）
A．汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为
B．汽车受到沿路面向上的侧向摩擦力，大小为
C．无侧向摩擦力时，路面对汽车的支持力大小为
D．速度变为原来的二倍后，路面对汽车的支持力大小为
【答案】A
【解析】C．汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力，由重力和支持力的合力提供向心力。设汽车转弯时恰好没有受到侧向摩擦力时汽车速度为v，根据牛顿第二定律得
竖直方向
解得
水平方向
解得
选项C错误；
ABD．若汽车再次通过该位置时速度变为原来的二倍，所需要的向心力增大，重力和支持力的合力不够提供向心力，所以汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，如图：
根据牛顿第二定律得
竖直方向
水平方向
联立解得
即汽车受到沿路面向下的侧向摩擦力，大小为，路面对汽车的支持力大小为
选项A正确，BD错误。
练习2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因运动员在冰面上做圆周运动的向心力由冰面的摩擦力提供，则
可得
则安全速度为
考点二、拱形桥
汽车过凸形桥(最高点) 汽车过凹形桥(最低点)
受力分析
牛顿第二定律求向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
牛顿第三定律求压力 F压＝FN＝mg－m F压＝FN＝mg＋m
讨论 v增大，F压减小；当v增大到时，F压＝0 v增大，F压增大
超、失重 汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态 汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态
【典例1】城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（ ）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【答案】C
【解析】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
物体处于失重状态，故AB错误，C正确；
D．由
解得
故D错误。
【典例2】如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（ ）
A．受到向心力为mg+m
B．受到的摩擦力为μm(g+)
C．受到的摩擦力为μmg
D．受到的合力方向竖直向上
【答案】B
【解析】A．物体滑到半球形金属球壳最低点时，速度大小为v，半径为R，向心力大小为
故A错误；
BC．根据牛顿第二定律得
得到金属球壳对小球的支持力
由牛顿第三定律可知，小球对金属球壳的压力大小
物体在最低点时，受到的摩擦力为
故B正确，C错误；
D．物块竖直方向的合力向上，还受到水平方向的摩擦力，所以在最低点总的合力不是竖直向上，而是斜向上，故D错误。
练习1、如图所示，汽车通过凹形路面的最低点时 （ ）
A．汽车对路面的压力等于汽车的重力
B．汽车对路面的压力小于路面对汽车的支持力
C．汽车所需的向心力等于路面对汽车的支持力
D．为了防止爆胎，汽车应低速驶过
【答案】D
【解析】ABC．设路面对汽车的支持力为N，在最低点，根据牛顿第二定律有N-mg=m
所以N>mg
根据牛顿第三定律知，汽车对路面的压力等于路面对汽车的支持力，所以汽车对路面的压力大于汽车的重力，故ABC错误；
D．为了防止爆胎，应使路面对汽车的支持力N小一些，由N=m+mg
可知应该减小车速。
练习2、如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为6米/秒时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度应为（g=10m/s2）（ ）
A．12米/秒 B．18米/秒 C．24米/钞 D．30米/秒
【答案】C
【解析】根据牛顿第二定律得 即
当支持力为零，有
解得。
考点三、离心运动
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．
2．离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若Fn＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若Fn＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动．
由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．
【典例1】下列关于离心现象的说法中，正确的是（ ）
A．物体做离心运动的原因是物体受的离心力大于向心力
B．做匀圆周运动的物体，当它所受的合外力突然减小时，它将沿半径方向背离圆心运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的合外力突然变为零时，它将沿圆周的切线方向做匀速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的合外力突然变为零时，它可能做曲线运动
【答案】C
【解析】A．不存在离心力，物体做离心运动的原因是合力不足以提供向心力。A错误；
B．做匀圆周运动的物体，当它所受的合外力突然减小时，它将沿圆周的切线方向做远离圆心运动。B错误；
C D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的合外力突然变为零时，它将沿圆周的切线方向做匀速直线运动。C正确；D错误。
练习1、如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A．当转盘匀速转动时，物块P所受摩擦力方向为c方向
B．当转盘匀速转动时，物块P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为b方向
【答案】A
【解析】AB．当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向沿半径指向圆心O点，故A正确，B错误；
C．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，即物块P所受摩擦力方向可能为b方向，故C错误；
D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，即物块P所受摩擦力方向可能为d方向，故D错误。
考点四、竖直面内轻绳模型
如左图所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.
小球能通过最高点的条件
如图右所示,在最高点A:、
即
小球能过最高点A的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件
小球不脱离轨道在最低点B满足的条件或
小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况
【典例1】(多选）如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【答案】CD
【解析】在最高点当小球的重力完全充当向心力时，即绳子的拉力为零，有，解得，该情况为细绳拴着小球在竖直面内做圆周运动的临界条件，即小球通过最高点的速度不能小于，若在最高点的速度大于，则小球在最高点的向心力由重力和绳子的拉力共同充当，A错误BC正确；在最低点，靠重力和绳子拉力的合力提供向心力，合力方向向上，所以拉力一定大于小球的重力，D正确．
练习1、“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型．已知绳长为l，重力加速度为g，则（ ）
A．当时，细绳始终处于绷紧状态
B．当时，小球一定能通过最高点P
C．小球运动到最高点P时，处于失重状态
D．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
【答案】AC
【解析】当时，由机械能守恒有，可得，所以小球到不了与O点等高的位置，小球在最低点两侧来回摆动，绳能处于始终绷紧状态，A正确。在最高点由牛顿第二定律有，由于绳只能提供拉力，即，所以球在最高点的速度应满足；从最低点到最高点由机械能守恒有，解得，即只有当时小球才能通过最高点P，故B错误。在最高点P，小球的加速度向下，处于失重状态，C正确.在最低点，结合机械能守恒有及在最高点由牛顿第二定律有，解得为定值，D错误。
练习2、（多选）质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为，如图所示。当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为
【答案】ＢＣ
【解析】当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动：小球在水平方向不受力，不可能仍在水平面内做匀速圆周运动，A错误；小球以A点为圆心做圆周运动，瞬间有向上的加速度，产生超重现象，a绳中的张力增大，BC正确；绳b未被烧断时，小球在水平面内做圆周，在竖直面内处于平衡状态，D错误。
考点五、竖直面内轻杆模型
如图所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.
小球能通过最高点的条件
如图所示,在最高点C:
小球能过最高点C的临界条件、
小球能做完整圆周运动时在最低点D满足的条件
小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况
在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:
若,杆中弹力方向向上,大小为
若,杆中弹力方向向上,大小小于重力,,大小随此点速度的增大而减小.
若,杆中无弹力
若,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力,,大小 随此点速度的增大而增大
小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.
【典例1】（多选）如图所示，某长为R的轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，以下说法中正确的是
A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B、小球过最高点时，最小速度为
C、小球过最低点时，杆对球的作用力一定大于重力
D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定小于重力
【答案】AC
【解析】小球在最高点时，杆子可以表现为支持力，可以表现为拉力，最小速度为零，故A正确，B错误。在最低点，合力提供向心力，指向圆心，所以杆对球的作用力一定大于重力，故C正确D错误。
【典例2】如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装有固定的转动轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动。若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度，其中g为重力加速度，不计空气阻力，则（ ）
A、小球不可能到达圆周轨道的最高点Q
B、小球能到达最高点Q，但小球在Q点不受轻杆的弹力
C、小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向上的弹力
D、小球能到达最高点Q，且小球在Q点受到轻杆向下的弹力
【答案】Ｃ
【解析】根据动能定理得，-mg2L＝mv2-m，解得v=，知小球能够到达最高点P．假设在最高点重力和支持力的合力提供向心力，则有，解得，即小球在P点受到轻杆对它向上的弹力．故C正确，A、B、D错误．
练习1、（多选）如图所示，细杆的一端与小球相连，另一端可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一个初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A、a处为拉力，b处为拉力；
B、a处为拉力，b处为推力；
C、a处为推力，b处为拉力；
D、a处为推力，b处为推力；
【答案】AB
【解析】由于a处是圆周运动的最低点,向心力方向竖直向上,故a处杆必然对球产生竖直向上的拉力,与重力一直提供小球在a点所需向心力;b点是圆周运动的最高点,在b点处需要竖直向下的向心力,若在b点时速度较小需要的向心力较小且小于小球的重力时,杆对小球施加向上的推力;若在b点时速度较大、需要的向心力较大且重力不足以提供所需的向心力时,杆对球产生向下的拉力;若在b点速度合适时从而使重力恰好提供小球所需向心力时,杆与球之间无相互作用,故可知AB正确CD错误.
练习2、一轻杆一端固定质量为的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则（ ）
A．小球过最高点时，杆所受弹力不可能大于重力
B．小球过最高点时的最小速度是
C．小球过最低点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
【答案】C
【解析】杆即可以提供拉力、也可以提供推力，故当小球在最高点时速度时，所需向心力，此时杆提供向上的推力，由有，但当速度时杆提供向下的拉力，此时有即，此时杆的弹力大小与重力大小关系不确定，故ＡＢＤ皆错误。当小球通过最低点时，由于向心力方向向上，而重力方向向下，故此时杆一定对球产生向上的拉力，向心力由提供，故Ｃ正确。
练习3、（多选）一根长为L的轻杆下端固定一个质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力）．当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动．若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则下列判断正确的是（ BC ）
A，小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B．小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大
C．小球在最低点对轻杆的作用力一直增大
D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
【答案】BC
【解析】设在最高点轻杆对小球的作用力大小为F，方向向上，小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得mg – F =，当轻杆对小球的作用力大小F = mg时，小球的速度最小，最小值为零，所以A错误．由mg– F =，可得在最高点轻杆对小球的作用力F= mg –，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，所以轻杆对小球的作用力F先从mg减小0后再反向增大（先为支持力后为拉力）．由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，B正确．在最低点，由F–mg =，可得轻杆对小球的拉力F= mg +，若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则轻杆对小球的拉力一直增大，C正确．轻杆绕水平轴在竖直平面内运动，小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心，只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心，选项D错误．
考点六、半球面模型
如图所示,小球从光滑半球面顶端E开始运动.
小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端.
小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置H满足.
小球在顶端E时的速度V越大,离球面时的位置H越靠近顶端,角越小即小球能沿球下滑的距离越短.
当小球在球面顶端的速度时,小球直接从E点离开球面做平抛运动.
【典例1】（多选）如图所示，小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度，则物块 （ ）
A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为
C．落地速度大小为2 D．落地时速度方向与地面成45°角
【答案】ACD
【解析】物体恰好不受轨道的支持力的情况下（物体在最高点做圆周运动）的临界条件是，最高点速度为，因为＞，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律可得：R＝，x=v0t，所以可得x=2R，B答案正确；落地时竖直分速度，合速度，其方向与地面成45°角，CD正确．
练习1、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
【答案】D
【解析】设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。
夯实小练
1、如图所示，杂技演员在表演节目时，用细绳系着的盛水的杯子可以在竖直平面内做圆周运动，甚至当杯子运动到最高点时杯里的水也不会流出来。下列说法中正确的是( )
A．在最高点时，水对杯底一定有压力
B．在最高点时，盛水杯子的速度可能为零
C．在最低点时，细绳对杯子的拉力充当向心力
D．在最低点时，杯和水受到的拉力大于重力
【答案】D
【解析】水和杯子恰好能通过最高点时，在最高点细绳的拉力为零，由它们的重力提供向心力，它们的加速度为g，此时水对杯底恰好没有压力。设此种情况时杯子的速度为v，则对整体有mg＝m，v＝＞0，即在最高点时，盛水杯子的速度一定不为零，故A、B错误。在最低点时，由整体的重力和细绳拉力的合力提供向心力，即T－mg＝m，此时整体受到的拉力大于重力，故C错误。
2、澧水两岸的湿地常有白鹭栖息。当一只质量为m的白鹭在水平面内以速度v绕半径为r的圆周匀速盘旋时，空气对白鹭的作用力大小是（重力加速度为g） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】白鹭受重力、空气的作用力，靠两个力的合力提供向心力，如图所示：
根据牛顿第二定律有
根据平行四边形定则，空气对白鹭的作用力，故选C。
3、公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该转弯处
A．当路面结冰时，v0的值减小
B．当路面结冰时，v0的值增大
C．车速低于v0，车辆便会向内侧滑动
D．车速低于v0，车辆不一定向内侧滑动
【答案】D
【解析】AB．当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，此时重力与支持力的合力提供向心力，当路面结冰时，两力仍没变，所以v0的值不变，AB错误．
CD．车速低于v0，所需向心力变小，有近心运动的趋势，但是由于静摩擦力的存在，所以车辆不一定向内侧滑动，C错误D正确．
4、（多选）如图所示为洗衣机脱水桶工作的示意图。半径为r的圆柱形脱水桶绕竖直转轴OO′以ω的角速度转动，一质量为m的手套附着在脱水桶内壁上随桶一起转动。已知手套和桶间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．手套与桶间的摩擦力大小一定为mg
B．手套与桶间的摩擦力大小可能为μmω2r
C．若桶的转速减小，手套一定会沿筒壁向下滑动
D．若桶的转速增大，手套可能会沿筒壁向上滑动
【答案】AB
【解析】A．手套附着在脱水桶内壁上随桶一起转动，竖直方向由平衡得，故A正确；
B．当手套与脱水桶间的摩擦达到最大静摩擦时，此时手套与桶间的摩擦力大小为
故B正确；
C．手套与脱水桶间的弹力提供向心力，若桶的转速减小，手套与脱水桶间的弹力减小，手套与脱水桶间的最大静摩擦力减小，但只要最大静摩擦力仍大于自身重力时，手套仍能静止，故C错误；
D．若桶的转速增大，手套与脱水桶间的弹力增大，手套与脱水桶间的最大静摩擦力增大，手套始终处于静止状态，故D错误。
5、如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN v2图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【答案】B
【解析】当v2＝b时，FN＝0，此时小球的重力恰好提供圆周运动的向心力，则有mg＝m，解得g＝，故A错误。当v2＝0时，FN＝a，故有FN＝mg＝a，结合A项结论可解出m＝，故B正确。由图像可知，当v2＝c>b时，速度大于杆的弹力为零的临界速度，此时杆的弹力方向向下，故C错误。当v2＝2b时，由F合＝m，故有FN＋mg＝＝＝2a＝2mg，得FN＝mg＝a，故D错误。
6、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )
A.g B.
C. D.
【答案】B
【解析】当重物转动到最高点时，对电动机的向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值为FT＝Mg；对重物来说，随飞轮一起做圆周运动，它的向心力是重力和飞轮对重物的拉力FT′的合力，FT′和FT是一对作用力和反作用力。由牛顿第二定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入数值，解得ω＝ 。所以B正确。
7、（多选）如图所示，转轮边缘用不同长度的钢绳系着椅子，坐在椅子中系上安全带，随转轮一起做匀速圆周运动，这就是大家非常喜爱的“空中飞椅”。不计空气阻力和钢绳的重力，下列说法中正确的是（ ）
A．角速度越大，钢绳与竖直方向的夹角越大
B．人质量越小，钢绳与竖直方向的夹角越大
C．钢绳越长，钢绳与竖直方向的夹角越大
D．钢绳越短，钢绳与竖直方向的夹角越大
【答案】AC
【解析】A．依据题意，做圆锥摆运动，画出如图所示受力示意图
飞椅受重力和绳子的拉力作用，设小球运动的角速度为，根据圆锥摆运动的特点，有
得
由上可知，角速度越大，钢绳与竖直方向的夹角越大，A正确；
B．由上可知，钢绳与竖直方向的夹角与质量无关，B错误；
CD．设摆绳的长度为，则有
得
则钢绳越长，钢绳与竖直方向的夹角越大，D错误，C正确。
8、长L＝0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：(取g＝10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
【答案】(1)16 N，向下的压力 (2)44 N，向上的拉力
【解析】设轻杆转到最高点，轻杆对A的作用力恰好为0时，A的速度为v0，
由mg＝m，
得v0＝＝ m/s。
(1)当A的速率v1＝1 m/s＜v0时，
轻杆对A有支持力，由牛顿第二定律得
mg－F1＝m
解得F1＝mg－m＝16 N，
由牛顿第三定律得
A对轻杆的压力F1′＝F1＝16 N，方向竖直向下。
(2)当A的速率v2＝4 m/s＞v0时，
轻杆对A有拉力，由牛顿第二定律得mg＋F2＝m，解得F2＝m－mg＝44 N，由牛顿第三定律得
A对轻杆的拉力F2′＝F2＝44 N，方向向上。
9、如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
【答案】(1)1 m/s(2)0.2
【解析】(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2①
在水平方向上有
s＝v0t②
由①②式解得v0＝s
代入数据得v0＝1 m/s。
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fmax＝m④
fmax＝μFN＝μmg⑤
由④⑤式得μ＝，
代入数据得μ＝0.2。
10、杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g取9.8 m/s2，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v′＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。
【答案】(1)1.71 m/s (2)10.1 N
【解析】(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即：mg≤m，r＝l，
则所求最小速率：
v0＝＝ m/s≈1.71 m/s。
(2)当水在最高点的速率大于v0时，重力不足以提供向心力，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有：
FN＋mg＝m
即FN＝m－mg＝10.1 N。
由牛顿第三定律知，水对杯底的压力
FN′＝FN＝10.1 N，方向竖直向上。
三、培优练习
1、如图所示，某电视台推出了一款娱乐闯关节目，选手最容易失败落水的地方是第四关“疯狂转盘”和第五关“高空滑索”。根据所学物理知识，选出选项中表述正确的选项（ ）
A．选手进入转盘后，随转盘做匀速圆周运动时加速度不变
B．选手进入转盘后，在转盘中间比较安全
C．选手进入转盘后，质量越大的选手，越不容易落水
D．选手从最后一个转盘的边缘起跳去抓滑索时，起跳方向应正对悬索
【答案】B
【解析】A．做圆周运动的物体的向心力指向圆心，加速度指向圆心，时刻在变化，选手进入转盘后，随转盘做匀速圆周运动时加速度变化，A错误；
B．进入转盘后，和转盘一起做圆周运动，根据
知，静摩擦力提供向心力，在转盘边缘，向心力较大，摩擦力会不够提供，从而滑倒落水，所以在转盘中间比较安全，B正确；
C．根据
知，与质量无关，C错误；
D．选手从最后一个转盘的边缘起跳去抓滑索时，若起跳方向正对悬索，由于选手与转盘有相同的转动的线速度，根据平行四边形定则，合速度方向不是正对悬索，D错误。
2、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，规定的转弯速度为，火车的质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．若转弯速度大于，内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．若转弯速度大于，外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．若转弯速度等于，铁轨对火车的支持力等于mgcosθ
D．若转弯速度等于，铁轨对火车的支持力等于mgtanθ
【答案】B
【解析】AB．当火车对侧向压力为零时，重力和支持力提供向心力有
解得
当速度大于时，火车有离心趋势，对外轨对外侧车轮有挤压，A错误，B正确
CD．当速度等于时，侧向弹力为零，根据竖直方向平衡有
铁轨对火车的支持力为，CD错误。
3、（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳b在水平方向伸直时长为l，绳a与水平方向成θ角，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> 时，b绳将出现张力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
【答案】AC
【解析】当b绳中有张力时，对小球进行受力分析，
竖直方向有Ta sin θ＝mg，由此可知，此时Ta与ω无关，故A正确，B错误。由圆锥摆模型知ω较小时b绳中无张力，设ω＝ω0时b绳刚伸直且无张力，对小球有＝mω02·l，则ω＝ω0＝，故C正确。当b绳中无张力时，将b突然剪断，a绳的张力不会发生变化，故D错误。
4、（多选）如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC
【解析】A．由图可知v2=b，FN=0
此时 解得，选项A错误；
B．当v2=0时，此时FN=mg=a 所以，选项B正确；
C．小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向园心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力， 选项C正确；
D．小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力， 选项D错误。
5、长为L的轻杆，一端固定一个小球A，另一端固定在光滑的水平轴上，轻杆绕水平轴转动，使小球A在竖直面内做圆周运动，小球A在最高点的速度为v，下列叙述中正确的是( )
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C．当v由零逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
【答案】B
【解析】小球在最高点的最小速度为零，此时重力大小等于杆的支持力，故A错误。在最高点，根据F向＝m得，当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大，故B正确。在最高点，当杆的作用力为零时，v＝，当v＞，杆提供拉力，有mg＋F＝m，当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大，当0≤v＜时，杆提供支持力，有mg－F＝m，当v由零逐渐增大到时，杆的弹力逐渐减小，反之当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，故C、D均错误。
6、(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点。如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向。当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则( )
A．绳a对小球拉力不变
B．绳a对小球拉力增大
C．小球可能前后摆动
D．小球不可能在竖直平面内做完整的圆周运动
【答案】BC
【解析】绳b烧断前，小球竖直方向的合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，小球在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′＞Fa，A错误，B正确；当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，C正确；当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方的最高点而做完整的圆周运动，D错误。
7、（多选）如图所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则（ ）
A.小球运动到最高点的速度v＝
B.小球运动到最高点的速度v＝
C.小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
D.小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
【答案】AD
【解析】小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg＝m，r＝Lsin 60°，解得v＝，A正确，B错误；小球在最低点，由向心力公式得：FT－mg＝m，每段绳子的拉力F＝，由以上两式解得：F＝mg＋m，C错误，D正确。
8、如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【答案】(1) rad/s (2)2 rad/s
【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力
和细线的拉力，受力分析如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mω02lsin θ
解得ω02＝
即ω0＝＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′2＝
即ω′＝＝2 rad/s。
9、下图甲为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图乙所示模型，已知绳长L=5m，水平横梁L′=3m，小孩质量m=40kg，整个装置可绕竖直轴转动，绳与竖直方向夹角θ=37°，小孩可视为质点，g取10m/s2，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)该装置转动的角速度多大？
(2)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为53°，求此时装置转动的角速度。
【答案】(1) ； (2)
【解析】(1)小孩受力情况如图所示
由于竖直方向受力平衡，则有Fcosθ=mg
代入数据得F=500N
小孩做圆周运动的半径r=L′+Lsin37°=6m
由牛顿第二定律得Fsinθ=mrω2
代入数据解得
(2) 增大转速后，此时半径为r′=L′+Lsin53°=7m
根据牛顿第二定律mgtan53°=mr′ω'2
代入数据解得
10、某电视台“快乐向前冲”节目中的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R，角速度为ω，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差为H．选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在合适的位置放手，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m（不计身高大小），人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g．
（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应在什么范围？
（2）若已知H＝5m，L＝8m，a＝2m/s2，g＝10m/s2，且选手从C点放手能恰能落到转盘的圆心处，则他是从平台出发后经过多长时间放手的？
【答案】（1）（2）t1=2s
【解析】(1)设人落在距圆心R处不至被甩下，最大静摩擦力提供向向心力，则有：
即转盘转动角度应满足
(2)设沿水平加速段位移为x1，时间t1；平抛时水平位移为x2，时间为t2，则加速时有：
，
平抛运动阶段： ，
全程水平方向：
代入已知各量数值，联立以上各式解得：t1=2s
11、如图所示，在光滑水平面上有质量为m1、m2的两个小球1、2用轻弹簧连接在一起，再用长为L1的细线一端拴住球1，一端拴在O点上，两球都以相同的角速度ω绕O点做匀速圆周运动，保证两球与O点三者始终在同一直线上，若两球之间的距离为L2，试求细线的拉力以及将细线烧断的瞬间两球的加速度。
【答案】FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2 球1的加速度a1＝＝－·(L1＋L2)ω2，负号表示a1的方向水平背离O点，与a2的方向相反 球2的加速度a2＝＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O点。
【解析】以球2为研究对象，球2绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由弹簧的弹力提供，设弹力为F，则有 F＝m2(L1＋L2)ω2；以球1为研究对象，球1绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由细线的拉力和弹簧弹力的合力提供，设细线拉力为FT，则有FT－F＝m1L1ω2。由以上两式可解得：FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2。当细线烧断瞬间，细线的拉力FT＝0，而弹簧的弹力仍为F＝m2(L1＋L2)ω2，故球2的加速度a2＝＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O点。球1的加速度a1＝＝－·(L1＋L2)ω2，负号表示a1的方向水平背离O点，与a2的方向相反。
12、如图所示，两绳AC、BC系着一个质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长l＝2 m，两绳都拉直时与竖直轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
【答案】2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
【解析】当BC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
FT1cos30°＝mg
FT1sin30°＝mlsin30°ω
解得ω1≈2.40 rad/s
当AC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
FT2cos45°＝mg
FT2sin45°＝mlsin30°ω
解得ω2＝3.16 rad/s
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是：
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
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