§3.6 一元一次不等式（组）的应用
三、中考改革趋势
与以往的中考相比新中考更关注对不等式关系的建立，重视利用一元一次不等式（组）解决实际问题.
[解题指导]
例1.某次数学测验，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题扣2分，不答则不给分；某学生有一道题未答，那么这个学生至少要答对多少题，成绩才能在60分以上
分析：审清题意，根据条件列出“成绩>60分”的不等式.
解：设至少要答对道题，可以得到分，那么答错的至多道题.依题意，得
解①，得
. ③
综合②、③，得.因为为整数，所以可以取12、13、14、15.
点评：关键在于根据题目提供的信息，迅速作出是用方程还是用不等式（组）来解决问题的判断能力.
例2.某城市平均每天产生垃圾500吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃圾35吨，需费用350元；乙厂每小时可处理垃圾15吨，需费用180元.
（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成？
（2）如是规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过5400元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时
分析：审清题意，根据条件“不得超过5400元”列出不等式.
解：（1）（小时）；
（2）设甲厂每天处理垃圾吨，则乙厂每天处理吨，每天处理垃圾的费用是元，依题意，得不等式
，
解之得 .∴（小时）.
故甲厂每天处理垃圾至少需要8.6小时.
点评：抓住关键的条件，列出不等式（组）是解决此类问题的关键.
例3.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品，共50件.已知生产一件种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克.
（1） 据现有条件安排、两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来.
（2） 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低.
分析：认真审题，找出生产种产品和种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果，发现有三种生产方案.再根据三种不同方案，求出最低成本.
解：（1）设生产种产品件，种产品件.按这样生产需甲种的原料，∴
即：.
∵为整数，∴∴有三种生产方案.
第一种方案：生产种产品30件，种产品20件；
第二种方案：生产种产品31件，种产品19件；
第三种方案：生产种产品32件，种产品18件.
（2）第一种方案的成本：（元）.
第二种方案的成本：（元）.
第三种方案的成本：（元）.
∴第三种方案成本最低.
点评：运用数学知识解决实际生活和生产中的问题，是数学考查的一个方向，它不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力.
[自我测试]
一、基础验收题
1. 一个工程队原定在14天内至少要挖掘800m2的土方，在前两天共完成了160m3后，又要求提前4天完成掘土任务，请问：以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方？
2. 九年级组织280名同学乘坐45个座位的公共汽车去春游，若按原计划租的车数则有多于4人无座，若再多租辆，则车上空着的座位数多于20个，那么原计划打算租多少辆公共汽车？
3. 电信局现有500户已申请安装宽带的待装业务，此外每天还有18户新申请安装的业务，设电信局每个宽带安装小组每天安装8户，如果要在未来的5天内完成全部待装业务，那么电信局至少需要安排几个安装小组同时安装？
4. 某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团48人，若都安排住一楼，每间住4人，房间不够，若每间住5人，则有房间没有住满5人.又若都安排住二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没有住满4人.问该宾馆一楼有客房多少间
二、综合能力测验题
1.某商场计划在一月份销售彩电1000台，据统计本月前10天平均每天销售32台.现商场决定开展促某商.。…….销活动，并追加月计划量的20%，则这个商场本月后20天至少平均每天销售多少台？
2.风景点门票是每人10元，20人以上（含20人）的团体八折优惠.现有18位游客买20人的团体票；
(1)问这样比普通票总共便宜多少钱？
(2)此外，不足20人时，需多少人以上买20人的团体票才比普通票便宜？
3.车站有有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节，两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节型货箱的运费为0.5万元，每节型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货箱，按此要求安排两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？
4.某园林的门票每张10元，一次使用.考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A，B，C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算.
5. 某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整.该企业现有生产性从业人员100人，平均每人全年可创造产值元，现欲从中分流出人去从事服务性行业.假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人全年可创造产值3.5元，如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值,而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数.
6.某中学举行小制作竞赛，评出一等奖3人，二等奖6人，三等奖24人；学校决定给获奖学生颁发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下列所列物品中选取一种：
品名 足球 羽毛球拍 乒乓球拍 文具盒 数学手册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔
单位（元） 32 10 16 10 8 5 4 3 2
（1）如果获奖等次越高、奖品单价就越高，那么学校最少花多少钱买奖品？
（2）若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖奖品的单价是三等奖的2倍；在总费用不超过200元的前提下，通过计算确定有哪几种购买方案？花费最多的一种需要用多少钱？
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1§3.5 一元一次不等式（组）及其解法
[知识梳理]
一、知识结构
二、知识要点归纳
1.不等式
用符号“<”(或“≤”)，“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.
2.不等式性质（用字母表示如下）
(1) 若，则；若，则.
(2) 若，则，或；
若，则，或.
（3）若，则，或；
若，则，或.
3.不等式的解集
使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解，不等式的解的全体叫做不等式的解集，求不等式解集的过程叫做解不等式.
4.一元一次不等式
左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式.
5.一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式.
6.一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解解.
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
三、中考改革趋势
解不等式（组）作为一个重要的基本技能，除此之外新中考同时更关注对待式（组）解的意义的理解.
[解题指导]
例1.已知是有理数，且，那么下列式子一定正确的是（ A ）
A. B.
C. D.
分析：可用不等式性质来一衡量判别，也可以用特殊值法求解，如取.来筛选答案.
解：题中给出的条件为有理数，满足，当为负数时，C和D是错误的，对于B， 与没有确定的大小关系，因此选择A.它符合不等式的性质：不等式两边加上同一个整式，不等号的方向不变.故选A.
例2.实数、、在数轴上对应点的位置如图3-5-1所示，下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
分析：根据不等式性质及有理数在数轴上表示的大小关系.
解：A.、异号，且||<||,利用有理数加法法则，结果应取符号，所以.
B.由图可知，两边同加后，根据性质（1），仍应.C.由图可知，根据性质（3），应得.D.由图可知，，根据性质（2），应得.故应选D.
点评：该题与数轴相结合，难点是既要能从数轴上看出、、三数的大小和性质，还要考虑运用不等式的三条基本性质.
例3.解下列不等式（组）
（1），
（2）
解：（1）去分母，得
去括号，得
移项并合并同类项，得 .
化系数为1，得.
（2）由不等式①、②得
所以原不等式组的解集是.
点评：此题是不等式（组）的基本题，要熟练掌握.
例4.已知关于的方程组的解是正值，且为负整数，求的值.
分析：根据题意可先求出方程的解，它必定与有关，再由且，转化为不等式组来解决.
解：
①+②，得，即,
②-①×2，得，即，
∵原方程组的解是正值.
∴，得.即.
∵为负整数，∴.
点评：本题是一元一次不等式组的简单应用，它巧妙地隐含在二元一次方程组中，通过先解方程组来解，这是一类常见的题型.
例5.若不等式组的正整数解只有2，求的整数值.
分析：要求的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于的不等式组，进而求出的值.
解：，解得.
又∵原不等式组只有正整数解2.
由图3-5-2，应有.
∴∴
点评：要求不等式组中字母系数的值，关键是如何一出关于字母的不等式.
本题是一个内涵较深的问题，它不仅考查了学生不等式组的知识，同时要求学生有一定的洞察力和分析问题的能力，并能够灵活运用所学知识解决问题的能力.
[自我测试]
一、基础验收题
1. >2的解集是.
2.当时， .
3.若不等式只有两个正整数解，则的取值范围是 .
4.若，则 0.
5.不等式组的解集是 .
6.如果不等式组有解，那么的取值范围是 .
7.不等式组的整数解的和是 .
8.用不等式表示下图中的解.
(1) ;
(2) ;
(3) .
9.若不等式组的解集为.那么的值等于 .
10.下列图形中表示不等式的解集是（ ）
11．解下列不等式
（1）
（2）
（3）
12.解下列不等式组
(1)
（2）
（3）
二、综合能力测验题
1.如果，下列不等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
2.若不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.满足不等组的整数的值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.不等式组的最小整数解为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.4
5.解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）.
6.解下列不等式组
（1）
（2）
（3）
7.已知关于 的方程组的解满足，求的取值范围.
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