2023年高考数学复习专题☆★导数常用的一些技巧和结论（无答案）

2023年高考数学复习专题☆★
导数常用的一些技巧和结论
（2017年全国新课标1·理·21）已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
解析：（1）
若，则恒成立，所以在R上递减；
若，令，得.
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增.
综上，当时，在R上递减；当时，在上递减，在上递增.
（2）有两个零点，必须满足，即，且.
构造函数，. 易得，所以单调递减.
又因为，所以.
下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，.
事实上，构造函数，易得，∴，所以，即.
当时，，
，
其中，，所以在和上各有一个零点.
故的取值范围是.
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面：；
另一方面：时，（目测的）
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数），，
（放缩成双撇函数），，
，，
（放缩成二次函数），，
（放缩成类反比例函数），，，
，，
第二组：指数放缩
（放缩成一次函数），，，
（放缩成类反比例函数），，
（放缩成二次函数），，
第三组：指对放缩
第四组：三角函数放缩
，，.
第五组：以直线为切线的函数
，，，，.
几个经典函数模型
经典模型一：或.
【例1】讨论函数的零点个数.
（1）时，无零点.
，.
（2）时，1个零点.
，.
（3）当时，2个零点.
（目测），，其中.（放缩）
.
，其中.（用到了）
（4）当时，1个零点.
，单调递增.，
.
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：）：
1. 讨论的零点个数（令，）；
2. 讨论的零点个数（令）；
3. 讨论的零点个数（考虑）；
4. 讨论的零点个数（考虑，令，）；
5. 讨论的零点个数（令，）；
6. 讨论的零点个数（令）.
经典模型二：或
【例2】讨论函数的零点个数.
（1）时，1个零点.
，单调递增.
且，，所以在上有一个零点；
（2）时，无零点.
恒成立；
（3）时，无零点.
；
（4）时，2个零点.
，，.
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：）：
1. 讨论的零点个数（令，）；
2. 讨论的零点个数（去分母后与1等价）；
3. 讨论的零点个数（移项平方后与1等价）；
4. 讨论的零点个数（移项开方后换元与1等价）；
5. 讨论的零点个数（乘以系数e，令）；
6. 讨论的零点个数（令，转化成2）
7. 讨论的零点个数（令，）；
经典模型三：或
【例】讨论函数的零点个数.
（1）时，1个零点.
，单调递增.
，.
（2）时，1个零点（）.
（3）时，无零点.
，
（4）时，1个零点.
.
（5）时，2个零点.
，，，
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：）：
1.讨论的零点个数；
2. 讨论的零点个数（考虑，令）；
3. 讨论的零点个数（令）；
4. 讨论的零点个数；
练习题
1. 已知函数有两个零点，求的取值范围.
2. 设函数，讨论的导函数的零点的个数.
3. 已知函数有两个零点，求的取值范围.
4.已知函数. 当时，试讨论的零点的个数.