7.3.2离散型随机变量的方差（教案）

第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2离散型随机变量的方差
教学设计
一、教学目标
1. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念；
2. 能计算简单离散型随机变量的方差.
二、教学重难点
1、教学重点
理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质.
2、教学难点
利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
三、教学过程
（一）新课导入
复习离散型随机变量的均值
思考：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？
通过计算可得，.因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.那么如何评价呢？
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.那么如何比较两名同学射击成绩的稳定性呢？
（二）探索新知
探究一：离散型随机变量的方差
样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
设离散型随机变量的分布列如表所示.
…
…
考虑所有可能取值与的偏差的平方，，…，.因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性，由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
；
.
因为（等价地，），所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.
.
离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即.而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即.
一般地，可以证明下面的结论成立：.
例1.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10,9,8,7环的概率分别为0.5,,a，0.1，乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，甲、乙射击结果互不影响.记甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.
解析：（1）依题意，有，解得.
乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
乙击中7环的概率为，
的分布列分别为
10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）可得
,
,
,
.
由于，说明甲平均击中的环数比乙高，
又，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，
甲比乙的射击技术好.
例2.某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择.
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为,,.
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据，）
解析：（1）若投资项目一，设获利为万元，
则的分布列为
300 -150
P
.
若投资项目二，设获利为万元，
则的分布列为
500 0 -300
P
.
.
,
,
,
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资.
（2）假设n年后总资产可以翻一番，
依题意，,即,
两边取对数，得,
,
大约在2023年年底总资产可以翻一番.
（三）课堂练习
1.随机变量的分布列为
1 2 3
P
则当p在内增大时，有( )
A.增大，增大 B.增大，先增大后减小
C.减小，先增大后减小 D.减小，减小
答案：B
解析：，，所以，所以p在内增大时，增大，先增大后减小，故选B.
2.已知离散型随机变量的分布列为
10 20 30
P 0.6 a
则等于( )
A.42 B.135 C.402 D.405
答案：D
解析：由题得，，， ，故选D.
3.随机变量的分布列如表：
﹣1 0 1 2
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：a，b，c成等差数列，，
由变量的分布列，知：，
解得，，，
.
故选D.
4.甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X表示两人中通过雅思考试的人数，则X的方差为( )
A.0.41 B.0.42 C.0.45 D.0.46
答案：A
解析：通过雅思考试人数的分布列为
X 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
所以
所以
.所以选A
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1. 离散型随机变量方差及标准差的概念和性质；
2. 利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
四、板书设计
7.3.2 离散型随机变量的方差
1. 方差的概念：我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
2. 方差的简化计算：.
3. 方差的性质：.
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