第三章 圆锥曲线的方程 综合检测（含解析）

《第三章 圆锥曲线的方程》综合检测
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2022福建厦门一中调考]已知m∈R,则“m>3”是“方程=1表示双曲线”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2022湖北武汉江岸区高二上期末]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
3.[2022江苏徐州一中高二上期中]设e是椭圆=1的离心率,且e∈(,1),则实数k的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.(3,) C.(0,2) D.(0,3)∪(,+∞)
4.已知双曲线-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
5.若用周长为24的矩形ABCD截某圆锥,所得截线是椭圆Γ ,且Γ 与矩形ABCD的四边相切.设椭圆Γ 在平面直角坐标系中的方程为=1(a>b>0),若Γ 的离心率为,则椭圆Γ 的方程为(　　)
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.=1
6.[2022天津南开中学调考]如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)
A. B. C. D.
7.[2022河南开封五县高二上期中联考]如图F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
8.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则E的方程为(　　)
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.[2022河北省级联测]中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点(2,0)的椭圆的方程是(　　)
A.+y2=1 B.x2+=1
C.x2+4y2=1 D.4x2+y2=16
10.[2022重庆长寿中学高二月考]设动点B,C在抛物线E:x2=y上,点A(1,1),直线AB,AC的倾斜角互补,BC的中点的纵坐标为y0,则y0可能为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.[2021湖北新高考联考协作体高二上期末]已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,则(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.不存在点A使得AF1⊥AF2
C.若|AF2|+|BF2|=8,则|AB|=12
D.△AF1F2面积的最大值为12
12.[2022江苏盐城一中、阜宁中学高二上期中]泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离,不是树枝无法相依,而是相互瞭望的星星,却没有交汇的轨迹;世界上最远的距离,不是星星之间的轨迹,而是纵然轨迹交汇,却在转瞬间无处寻觅.已知点M(1,0),直线l:x=-2,若某直线上存在点P,使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则(　　)
A.点P的轨迹是一条线段
B.点P的轨迹与直线l':x=-1是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点)
C.y=2x+6不是“最远距离直线”
D.y=x+1是“最远距离直线”
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知a∈{-2,0,1,3},b∈{1,2},则曲线ax2+by2=1为椭圆的概率是　　　　.
14.[2022山东青岛胶州一中高三上月考]已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出C的一个标准方程:　　　　　.
15.[2022江苏盐城中学高二上期中]双曲线=1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=26上,圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P,Q两点,E(a,0)满足=-,则△OPQ的面积是　　　　.
16.[2022广东广州花都区高三上调研]已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点(点A在第一象限),则△ABF1的周长为　　　　;当2=0时,直线l的斜率为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2021河北沧州七校联盟高二上期中]在①|PF|=x0+1,②y0=2x0=2,③当PF⊥x轴时,|PF|=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题.
问题:已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,y0)在抛物线C上,且　　　　.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)已知圆G:x2+y2-x-y=0经过椭圆=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B,过圆外一点(m,0)(m>a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求实数m的取值范围.
19.(12分)[2021新高考八省(市)联考]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
20.(12分)[2022重庆八中高二上月考]已知抛物线E:y2=2px(p>0)上三点A,B,C构成直角三角形,∠A=,B(4,4).
(1)若点A在第四象限,且BC的中点的纵坐标为-,求|AB|;
(2)若kAB+kBC=0,求直线BC的方程.
21.(12分)设M(2,1)是椭圆C:=1(a>b>0)上的点,离心率e=.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C上的两点,且x1+x2=2r(r是定值),则线段AB的垂直平分线是否过定点 若是,求出此定点的坐标;若不是,请说明理由.
22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为椭圆C上任意一点,点A关于坐标原点O的对称点为A',有|AF1|+|A'F1|=4,且当△AF1F2的面积最大时,△AF1F2为等边三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)与圆x2+y2=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆C于M,N两点,若椭圆C上存在点P满足=μ()(μ>0),求四边形OMPN面积的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1.B　若方程=1表示双曲线,则(m-1)(m-3)>0,解得m<1或m>3,故“m>3 ”是“方程=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选B.
2.B　由抛物线C:y2=2x可得p=1,则|AF|=x0+=x0+=x0,解得x0=2.故选B.
3.D　当椭圆的焦点在x轴上,即k>4时,a2=k,b2=4,所以e=∈(,1),所以<<1,解得k>;当椭圆的焦点在y轴上,即04.D　因为抛物线y2=8x的焦点是(2,0),所以双曲线y2=1的半焦距c=2.又b=1且a>0,所以a=,所以双曲线的渐近线方程是y=±x=±x.
5.A　由已知得4a+4b=24,即a+b=6　①.由=及a2=b2+c2,得a=2b　②.联立①②,得a=4,b=2,所以椭圆Γ 的方程为=1,故选A.
6.A　过A作AE⊥抛物线的准线于点E,交y轴于点N,过B作BD⊥抛物线的准线于点D,交y轴于点M.由抛物线的定义,知|BF|=|BD|,|AF|=|AE|,则|BM|=|BD|-1=|BF|-1,|AN|=|AE|-1=|AF|-1,则===.故选A.
7.D　设|AF1|=x,|AF2|=y.由点A为椭圆C1上的点,得|AF1|+|AF2|=4,即x+y=4.又四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即x2+y2=(2)2=12.由,解得.设双曲线C2的实轴长为2a,则2a=|AF2|-|AF1|=y-x=2,即a=,所以双曲线C2的离心率为e==.故选D.
8.C　易知F(,0),直线AB的方程为y=x,四边形CMNF为梯形,且FC∥NM.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则kAB====1,所以y1+y2=2p,所以y0=p.作MK⊥x轴于点K,则|MK|=p.因为AB的斜率为1,所以△FMC为等腰直角三角形,故|FK|=|MK|=|KC|=p,所以|MN|=|OF|+|FK|=,|FC|=2p,所以四边形CMNF的面积为×(+2p)p=7,解得p=2,故抛物线E的方程为y2=4x,故选C.
二、多项选择题
9.AD　椭圆+y2=1过点(2,0),且a=2,b=1,c=,离心率为,A正确;椭圆x2+=1不过点(2,0),B错误;椭圆x2+4y2=1不过点(2,0),C错误;椭圆4x2+y2=16过点(2,0),且a=4,b=2,c=2,离心率为,D正确.故选AD.
10.ABD　设B(x1,y1),C(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1)+1(k≠0).由,得x2-kx+k-1=0.因为直线AB和抛物线交于两点,所以Δ=k2-4k+4=(k-2)2>0,则k≠0且k≠2.又点A(1,1),所以x1+1=k,故x1=k-1,所以y1=(k-1)2.以-k代替上式中的k,可得y2=(k+1)2,所以y0==k2+1.由k≠0且k≠2,可得y0>1且y0≠5.故选ABD.
11.CD　由C的方程=1,得a=5,b=3,c=4,焦点在y轴上,设F1(0,4),F2(0,-4).对于A,离心率e==,故A错误;对于B,设A(3cos α,5sin α),则=(3cos α,5sin α-4),=(3cos α,5sin α+4),若AF1⊥AF2,则·=0,即9cos2 α+25sin2 α-16=0,解得sin α=±,故存在点A使得AF1⊥AF2,故B错误;对于C,在△ABF2中,|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20,若|AF2|+|BF2|=8,则|AB|=12,故C正确;对于D,当点A为左顶点或右顶点时,△AF1F2的面积取得最大值,为×2c×b=bc=12,故D正确.故选CD.
12.BCD　由点P到点M的距离比到直线l的距离小1,可得点P到点M的距离等于到直线l':x=-1的距离,故点P的轨迹是以M(1,0)为焦点,直线l':x=-1为准线的抛物线,其方程是y2=4x,故A错误.由上述可知点P的轨迹与直线l'没有交点,即两者是没有交汇的轨迹,故B正确.易知“最远距离直线”与抛物线y2=4x有交点,把y=2x+6代入抛物线方程y2=4x,消去y并整理得x2+5x+9=0.因为Δ=52-4×1×9=-11<0,方程无解,所以y=2x+6不是“最远距离直线”,故C正确.把y=x+1代入抛物线方程y2=4x,消去y并整理得x2-12x+4=0.因为Δ=(-12)2-4×1×4=128>0,方程有解,所以y=x+1是“最远距离直线”,故D正确.故选BCD.
三、填空题
13. 　解析 由题意,样本空间共包含8个样本点,其中满足“曲线ax2+by2=1为椭圆”的样本点是(1,2),(3,1),(3,2),共3个,由古典概型的概率公式,得所求概率P=.
14.=1(答案不唯一 )　 解析 因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即≥.根据题意可设C的方程为=1(a>b>0).因为椭圆C的短轴长为4,则2b=4,可得b=2.又由≥,可得=≥,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程可以为=1.(注:只需满足=1,其中a2≥即可.)
15.12　解析 因为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=26上,所以c=.如图,设线段PQ与x轴的交点为M,结合双曲线与圆的对称性,可知M为线段PQ的中点.又=,即2=,且E(a,0),则M(,0).又直线OP的方程为y=x,所以P(,).又点P(,)在圆O:x2+y2=26上,所以()2+()2=26,又c=,则a2+b2=26,所以a2=8,b2=18,从而P(3,2),故S△OPQ=×3×2×2=12.
16.8　　解析 由椭圆=1,得a2=4,所以a=2.由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4.又|AB|=|AF2|+|BF2|,所以△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=8.由题知直线AB的斜率存在,且F2(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).由,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=　①,x1x2=　②.由2=0,得2(1-x1,-y1)+(1-x2,-y2)=(0,0),即2x1+x2=3　③.由①③解得x1=,x2=,代入②,解得k2=,此时x1>0,x2<0.又点A在第一象限,所以k>0,所以k=.
四、解答题
17. 解析 方案一　选择条件①.
(1)因为|PF|=x0+=x0+1,所以p=2,
故抛物线C的标准方程为y2=4x.(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)可知F(1,0).(5分)
由,整理得y2-4y-8=0,
则y1+y2=4,y1y2=-8,
|y1-y2|==4,
故|AB|=|y1-y2|=×4=4.(8分)
因为点F到直线l的距离d==,
所以△ABF的面积为|AB|·d=×4=2.(10分)
方案二　选择条件②.
(1)因为y0=2x0=2,所以y0=2,x0=1,
又点P(x0,y0)在抛物线C上,所以=2px0,
即2p=4,解得p=2,
故抛物线C的标准方程为y2=4x.(4分)
(2)同方案一.
方案三　选择条件③.
(1)当PF⊥x轴时,|PF|==p=2,所以p=2,
故抛物线C的标准方程为y2=4x.(4分)
(2)同方案一.
18. 解析 (1)因为圆G:x2+y2-xy=0经过点F,B,
所以F(1,0),B(0,),(2分)
所以c=1,b=,所以a2=4,(3分)
故椭圆的方程为=1.(4分)
(2)易得直线l的方程为y=-(x-m)(m>2).
由,得7x2-8mx+4m2-12=0.(5分)
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=[-(x1-m)]·[-(x2-m)]=x1x2-m(x1+x2)+m2.
因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
所以·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=2x1x2-(m+1)(x1+x2)+1+m2
=.(8分)
因为点F在圆E的内部,
所以·<0,即<0,
解得由Δ=64m2-28(4m2-12)>0,解得又m>2,所以2所以实数m的取值范围是(2,).(12分)
19. 解析 (1)设双曲线C的半焦距为c,则F(c,0).
当BF⊥AF时,B(c,±).(2分)
因为|AF|=|BF|,所以a+c=,
即c2-ac-2a2=0,
则e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去),
故C的离心率为2.(4分)
(2)设B(x0,y0),其中x0>a,y0>0.
因为e=2,所以c=2a,b=a,
故双曲线C的渐近线方程为y=±x,
所以∠BAF∈(0,),∠BFA∈(0,).(6分)
当x0>a,x0≠2a时,
tan∠BFA==,
tan∠BAF=,
所以tan 2∠BAF=====
===tan∠BFA,
又2∠BAF∈(0,),
所以∠BFA=2∠BAF.(9分)
当x0=2a时,易得∠BFA=,∠BAF=,
故∠BFA=2∠BAF.(11分)
综上,∠BFA=2∠BAF.(12分)
20. 解析 (1)由点B在抛物线上,知8p=16,可得p=2,则E:y2=4x.(1分)
设C(m,n),则=,可得n=,
由点C在抛物线上,得m==,
所以C(,).(2分)
又A,B,C构成直角三角形且∠A=,令A(,y),
所以=(4,4-y),=(,y),
所以·=(4)()+(+y)(y-4)=0,且y<0,整理得(3y+13)(y-4)(3y-4)(y+1)=0,又A,B,C为不同点,故3y+13≠0,y-4≠0,
所以y=-1或y=,又点A在第四象限,所以y=-1,即A(,-1),(5分)
所以|AB|==.(6分)
(2)设直线BC的方程为x=k(y-4)+4且k≠0,则直线AB的方程为x=-k(y-4)+4.设C(m,n),
由,得y2-4ky-16(1-k)=0.
由Δ=16(k-2)2>0,得k≠2,
所以4n=-16(1-k),即n=4(k-1),
则m=4(1-k)2,即C(4(1-k)2,4(k-1)).(8分)
设A(a,b),由,得y2+4ky-16(1+k)=0.
由Δ=16(k+2)2>0,得k≠-2.
所以4b=-16(1+k),即b=-4(1+k),
则a=4(1+k)2,
所以A(4(1+k)2,-4(1+k)).(10分)
=(-4k(k+2),4(k+2)),=(-16k,8k).
又∠A=,所以·=64k2(k+2)+32k(k+2)=0,解得k=或k=-2(舍去),
所以直线BC的方程为2x+y-12=0.(12分)
21. 解析 (1)由于椭圆C的离心率e===,所以a=b,
所以椭圆C的标准方程为=1,(2分)
将点M的坐标代入椭圆C的标准方程,
可得==1,解得b2=3,
所以椭圆C的标准方程为=1.(4分)
(2)当r≠0时,若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,则k≠0.
由,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,
则x1+x2==2r,所以r=,(6分)
所以=k·+m=,
则线段AB的中点坐标为(,).(7分)
所以线段AB的垂直平分线的方程为y=(x+),即y=x,
即y=(x+)=(x),
此时,线段AB的垂直平分线过定点(,0).(9分)
若直线AB垂直于x轴,则A,B两点关于x轴对称,
线段AB的垂直平分线为x轴,过点(,0).(10分)
当r=0时,若直线AB关于坐标轴对称,
则线段AB的垂直平分线为坐标轴,过原点;
若直线AB关于原点对称,则线段AB的中点为原点,其垂直平分线过原点.(11分)
综上所述,线段AB的垂直平分线过定点(,0).(12分)
22.解析 (1)依题意知,解得,(3分)
所以椭圆C的标准方程为=1.(4分)
(2)因为直线l:y=kx+t与圆x2+y2=1相切,
所以圆心(0,0)到直线l的距离d==1,
即t2=1+k2,所以t2≥1.(5分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).
由,得(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=.(7分)
因为=μ(),所以.
又点P在椭圆C上,
所以=1,所以μ=.(8分)
设MN的中点为E,
则=μ()=2μ,
所以S四边形OMPN
=2μS△MON
=2μ·|MN|·d
=μ|MN|
=μ··
=4μ··
=4μ··
=4··
=2.(10分)
令f(k)==,
又4k2+3≥3,所以≤f(k)<,
所以2≤S四边形OMPN<3,(11分)
所以四边形OMPN面积的取值范围为[2,3).(12分)