第二章 直线和圆的方程 综合检测（含解析）

《第二章 直线和圆的方程》综合检测
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则|MN|=(　　)
A.10 B.180 C.6 D.6
2.[2022北师大实验中学高二期中]“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.圆C:x2+y2-ax+2=0与直线l相切于点A(3,1),则直线l的方程为　(　　)
A.2x-y-5=0 B.x-2y-1=0
C.x-y-2=0 D.x+y-4=0
4.[2021四川绵阳东辰国际学校高二期末]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度为2,则圆M与圆N:x2+y2-6x-12y-4=0的位置关系是(　　)
A.内切 B.外切 C.相交 D.相离
5.[2022山东平邑高二期中]过直线y=2x-3上的点作圆C:x2+y2-4x+6y+12=0的切线,则切线长的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.
6.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆C:x2+4x+y2-5=0在第一象限有交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(-,0)
C.(0,) D.(0,5)
7.[2022浙江绍兴鲁迅中学高二上期中]如图,在直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,),B(-1,0),C(1, 0),O为原点,从O点出发的光线先经AC上的点P1反射到边AB上,再由AB上的点P2反射回到BC边上的点P3停止,则直线OP1的斜率的范围为(　　)
A.[,2] B.[,3] C.[,3] D.[,2]
8.已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,点M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　)
A.2+4 B.9 C.7 D.2+2
二、多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.　
9.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,则(　　)
A.直线l2过定点(,)
B.若l1∥l2,则a=1或-3
C.若l1⊥l2,则a=0或2
D.当a>0时,l1始终不过第三象限
10.[2022吉林一中高一期中]设有一组圆Ck:(x-2k+1)2+(y-k)2=1,则(　　)
A.这组圆的半径均为1
B.直线2x-y+2=0平分所有圆Ck的面积
C.直线2x-3y+1=0被圆Ck截得的弦长相等
D.存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切
11.[2022华东师范大学第二附属中学月考]数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2相切,则(　　)
A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为3
B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为2
C.圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个
D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的范围是[1-2,1+2]
12.如图,已知点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上的一段圆弧,是以BC为直径的圆上的一段圆弧,是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段圆弧构成曲线Ω,则(　　)
A.曲线Ω与x轴围成的面积等于π
B.与的公切线的方程为x+y-1-=0
C.所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为x-y=0
D.所在圆截直线y=x所得弦的弦长为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程:　　　　.
14.若☉O1:x2+y2=5与☉O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是　　　　.
15.已知圆M:(x+m)2+(y+1)2=1与圆N关于直线l:x-y+3=0对称,且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为2-2,则实数m的值为　　　　.
16.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,则|PM|·|AB|的最小值是　　　　,此时直线AB的方程为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2022山东莒县教育局教学研究室高二期中]已知△ABC中,A(-1,0),C(2,1),角B的平分线为y轴.
(1)求点A关于y轴的对称点D的坐标及BC边所在直线的方程;
(2)求△ABC的外接圆的方程.
18.(12分)[2022西南大学附中高二上期中]在平面直角坐标系中,已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0.
(1)求证:直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)在①·=0,②||最小,③过A,B两点分别作圆C的切线,切线交于点P(2,2)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并求解.
设圆C的圆心为C,直线l与圆C交于A,B两点,当　　　　时,求直线l的方程.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0.
(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半,求m的值;
(2)当m=3时,若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
20.(12分)[2022江苏省阜宁中学高二期中]为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A,B(点A在点O、点B之间),它们到平台O的距离分别为3海里和12海里,记海平面上到两观测站的距离|PA|,|PB|之比为的点P的轨迹为曲线E,规定曲线E及其内部区域为安全预警区.
(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图),求曲线E的方程.
(2)某日在观测站B处发现,在该海上平台正南2海里的C处,有一艘轮船正以每
小时10海里的速度向北偏东30°方向航行,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预
警区 如果不会进入,说明理由;如果会进入,求它在安全预警区中的航行时间.
21.(12分)[2022安徽屯溪一中高二期中]已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足线段=2,记T点的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程.
(2)过点A(0,3)且斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:
①设O为坐标原点,是否存在直线l,使得·=26 若存在求出|MN|;若不存在说明理由.
②求线段MN的中点D的轨迹方程.
22.(12分)[2022河南南阳一中高二期中]已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为,动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,并说明其形状;
(2)过直线x=3上的动点P(3,p)(p≠0)作曲线C的两条切线PQ,PR(Q,R为切点),N为弦QR的中点,直线l:3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F,求△NEF的面积S的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1.D　kMN==,解得a=10,即M(-2,10),N(10,4),所以|MN|==6,故选D.
2.A　因为1×a+a×(-1)=0,所以对任意的a∈R,直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直.所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分不必要条件.故选A.
3.D　由已知条件,得32+12-3a+2=0,解得a=4,则圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心为C(2,0),则直线l的方程为y-1= (x-3)=-x+3,即x+y-4=0.
4.A　圆M的圆心为M(0,a),半径为r1=a,a>0,圆心M(0,a)到直线x+y=0的距离为,所以()2+()2=a2 a=2,所以M(0,2),r1=2.圆N的圆心为N(3,6),半径r2=7,|MN|=5=r2-r1,所以圆M与圆N内切.故选A.
5.D　在直线y=2x-3上任取一点P(x,y),过点P作圆C的切线,设切点为A.圆x2+y2-4x+6y+12=0,即(x-2)2+(y+3)2=1,圆心为C(2,-3),半径为r=1.切线长|PA|==,又|PC|min==,所以切线长的最小值为=.
6.A　圆C的方程x2+4x+y2-5=0化为(x+2)2+y2=9,圆C与x轴正半轴交于点A(1,0),
与y轴正半轴交于点B(0,),如图所示.因为过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆C:x2+4x+y2-5=0在第一象限有交点,所以kMA7.A　因为入射角等于反射角,所以把△ABC以AC为轴进行翻折,使点B落到B',再以AB'为轴,把△ACB'进行翻折,使点C落到C',如图.
由光的反射原理,若kOC',
则光线反射到边AC后不会反射到边AB上,
所以光线OP1的斜率满足kOB'≤≤kOC'.因为A(0,),B(-1,0),C(1,0),所以|AB|==2,|AC|==2,
|BC|=1-(-1)=2,所以△ABC是等边三角形.由翻折可得B'(2,),C'(1,2),所以直线OB'的斜率kOB'=,直线
OC'的斜率kOC'=2,所以直线OP1的斜率的范围为[,2].
8.B　易知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心C1(1,-1),半径为1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心C2(4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|最大,则需|PN|最大,且|PM|最小.又|PN|的最大值为|PC2|+3,|PM|的最小值为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是(|PC2|+3)-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4.因为点C2(4,5)关于x轴的对称点为C'2(4,-5),|PC2|-|PC1|=|PC2'|-|PC1|≤|C1C'2|==5,故|PC2|-|PC1|+4 的最大值为5+4=9,故选B.
二、多项选择题
9.ACD　易知l2:a(x-2y)+3y-1=0过定点(,),A正确;当a=1时,l1与l2重合,故B错误;由1×a+a×(3-2a)=0,得a=0或2,故C正确;当a>0时,直线l1:y=x+1始终过点(0,1),斜率为负,不会过第三象限,故D正确.故选ACD.
10.AD　
11.BD　由题意,可得示意图如图所示, 因为△ABC为等腰三角形且|AB|=|AC|,知外心、重心在BC的垂直平分线FH上,由“欧拉线”的定义知FH即为“欧拉线”.线段BC的中点为(,),kBC=-1,所以直线FH:y=x-1.而圆M与直线FH相切,所以r==,所以圆M:(x-3)2+y2=2,所以圆心M到直线x-y+3=0的距离d==3,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的范围为[2,4],故A错误,B正确;易知直线BC:x+y-2=0,则圆心M到直线BC的距离为>,所以圆M上到直线BC的距离为的点有4个,故C错误;圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,即≤≤3,所以1-2≤a≤1+2,故D正确.故选BD.
12.BC　,,所在圆的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)2+y2=1,曲线Ω与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆,面积为+2+2×=π+2,故A错误;设与的公切线的方程为y=kx+b(k<0,b>0),则==1,解得k=-1,b=1+,所以与的公切线的方程为y=-x+1+,即x+y-1=0,故B正确;由
x2+(y-1)2=1及(x-1)2+y2=1,两式相减得x-y=0,所以所求相交弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确;所在圆的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),圆心到直线y=x的距离d==,则所求弦长为2=,故D错误.故选BC.
三、填空题
13.(x)2+(y)2=1(答案不唯一)　解析 因为该圆截两坐标轴所得的弦长相等,所以可设圆心坐标为(m,m),由圆的半径为1,可得|m|<1,所以可取m=,则圆的标准方程为(x)2+(y)2=1.(其他答案合理均可.)
14.4　解析 由题知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3.因为O1A⊥O2A,所以m2=()2+(2)2=25,所以m=±5,所以|AB|=2×=4.
15.2或6　解析 方法一　设N(x,y),因为M(-m,-1),圆M和圆N关于直线l对称,所以,解得,所以N(-4,-m+3),所以|MN|==.
因为圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为22,
所以2=22,解得m=2或6.
方法二　由圆M与圆N关于直线x-y+3=0对称得,圆M上的点到直线x-y+3=0
距离的最小值为=1,即圆心M(-m,-1)到直线x-y+3=0的距离为1+1,即=,解得m=2或m=6.
16.4　2x+y+1=0　解析 由x2+y2-2x-2y-2=0可得(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心M(1,1),半径为2,如图,连接AM,BM,四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|,要使|PM|·|AB|最小,则需四边形PAMB的面积最小,即只需△PAM的面积最小.S△PAM=|PA|·|AM|=|PA|==,|PM|的最小值是圆心M到直线l的距离,为d==,此时PM⊥l,|PA|=1,四边形PAMB的面积为2,即|PM|·|AB|的最小值为4.此时直线PM的方程为x-2y+1=0,由,解得,即P(-1,0),易知点P,A,M,B四点共圆,所以以PM为直径的圆的方程为x2+(y)2=()2,即x2+y2-y-1=0,则直线AB的方程为2x+y+1=0.
四、解答题
17. 解析 (1)因为A与D关于y轴对称,
所以点D(1,0). (2分)
因为角B的平分线为y轴,
所以点D(1,0)在直线BC上, (3分)
又C(2,1),所以直线BC方程为=,
即x-y-1=0. (5分)
(2)因为角B的平分线为y轴,所以点B在y轴上,得B(0,-1). (6分)
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则有,解得,
即△ABC外接圆的方程为x2+y2-x-y-2=0. (10分)
18. 解析 (1)直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0化为(3x-y)m+x+y-4=0,
令,解得,
所以直线l过定点(1,3). (2分)
又1+9-24+12=-2<0,所以定点M(1,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交,
即直线l与圆C总有两个不同的交点. (5分)
(2)将圆的方程化为标准方程x2+(y-4)2=4,
则C(0,4),半径r=2. (6分)
方案一　选条件①.
因为·=0,所以CA⊥CB,
所以在Rt△ACB中,|AB|=2,
所以圆心C到直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0的距离d==, (9分)
即=,解得m=-1,
所以直线l:x-y+2=0. (12分)
方案二　选条件②.
当直线l所过定点M(1,3)为弦AB的中点时,||最小,此时CM⊥AB, (8分)
又kCM==-1,所以kl=1,即=1,解得m=-1,所以直线l:x-y+2=0.(12分)
方案三　选条件③.
因为过A,B两点分别作圆C的切线,切线交于点P(2,2),所以CP⊥AB, (8分)
又kCP==-1,所以kl=1,即=1,解得m=-1,所以直线l:x-y+2=0.(12分)
19. 解析 (1)将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-m,
所以圆C的圆心为C(-1,2),半径为r=.(2分)
因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半,所以()2+22=r2,(3分)
所以r2=,即5-m=,解得m=.(5分)
(2)当m=3时将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,其圆心C(-1,2),半径r=.(7分)
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线的方程为y=kx,
所以圆心到切线的距离为=,
即k2-4k-2=0,解得k=2±,所以切线方程为y=(2+)x或y=(2)x.(9分)
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,
设切线的方程为x+y-a=0,
所以圆心到切线的距离为=,
即|a-1|=2,解得a=3或-1,所以切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(11分)
综上所述,所求切线方程为y=(2+)x或y=(2)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(12分)
20. 解析 (1)设P(x,y),由题意得A(3,0),B(12,0),=,即2|PA|=|PB|,所以2=,即x2+y2=36,
所以曲线E的方程为x2+y2=36.(4分)
(2)因为C在该海上平台正南2海里处,所以C(0,-2).
因为轮船向北偏东30°方向航行,所以轮船航行直线l的倾斜角为60°,即直线l的斜率为,所以轮船航行直线l的方程为y+2=(x-0),即x-y-2=0.(6分)
因为曲线E的方程为 x2+y2=36,圆心O(0,0),半径为R=6,所以圆心O到直线l的距离d==<6=R,
所以如果轮船不改变航向,轮船一定会进入安全预警区. (9分)
直线l被圆O截得的弦长为2=10,
因为轮船的速度为每小时10海里,
所以它在安全预警区中的航行时间为=1(h). (12分)
21. 解析 (1)设R(x0,y0),则=9.
设T(x,y),因为=2,所以,
所以(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,
即Γ:(x-3)2+(y-3)2=1.
(2)①设存在满足条件的直线l,设直线l方程为y=kx+3,
由,得(1+k2)x2-6x+8=0,则36-4×8×(1+k2)>0,所以k2<.(5分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
得x1+x2=,x1x2=,(6分)
由·=26,得x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=26,即k2-2k+1=0,所以k=1,与k2<不符,所以满足条件的直线不存在.(8分)
②MN中点坐标为(,)(k2<),
所以=,=+3.(10分)
设MN中点D为(xD,yD),
则xD=,yD=+3 =k,
将k=代入xD=中,得(xD)2+=,所以中点D的轨迹方程为(x)2+(y-3)2=.(12分)
22.解析 (1)设M(x,y),由=,得=,化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4.
故曲线C的方程为(x+1)2+y2=4,曲线C是以(-1,0)为圆心,以2为半径的圆.(3分)
图1
(2)由题意知,PQ,PR与圆相切,Q,R为切点,则DQ⊥PQ,DR⊥PR,则D,R,P,Q四点共圆,Q,R在以DP为直径的圆上(如图1).
设D(-1,0),又P(3,p)(p≠0),则DP的中点为(1,),|DP|=.
以线段DP为直径的圆的方程为(x-1)2+(y)2=()2,
整理得x2+y2-2x-py-3=0.　① (5分)
又Q,R在曲线C:x2+y2+2x-3=0　②上,
②-①得4x+py=0,所以切点弦QR所在直线的方程为4x+py=0,(6分)
则QR恒过坐标原点O(0,0). (7分)
由对称性可知,QR的中点N在x轴上当且仅当点P在x轴上,
因为p≠0,点P不在x轴上,则点N也不在x轴上,所以点N与D,O均不重合.

图2
因为N为弦QR的中点,所以DN⊥QR,即DN⊥ON(如图2),
所以点N在以OD为直径的圆上,圆心为G(,0),半径r=.
因为直线3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F,所以E(2,0),F(0,),|EF|=.
圆心G(,0)到直线3x+4y-6=0的距离d==. (10分)
设△NEF的边EF上的高为h,则点N到直线3x+4y=6的距离为h,则h的最小值为d-r==1,h的最大值为d+r==2.
则Smin=×1=,Smax=×2=.
因此△NEF的面积S的取值范围是[,]. (12分)