第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 446.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-28 19:28:04 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用单元检测
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
2．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（ ）
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
3．设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
4．曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在处取得最大值
C．函数在上单调递减
D．在区间内的函数值为负
二、多选题
9．已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（ ）
A．在区间上的平均变化率最小
B．在区间上的平均变化率大于0
C．在区间上的平均变化率比上的大
D．在区间上的平均变化率最大
10．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A． B． C． D．3
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的图象在点处的切线的斜率为
B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增
D．当时，有两个零点
三、填空题
13．已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
14．已知函数的图象在点处的切线与直线相互垂直，则__________．
15．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.
16．函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
四、解答题
17．已知函数f(x)＝.
（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；
（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
18．已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
19．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)．
20．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
21．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若为正整数，对任意的都有成立，求的最小值.
22．已知函数为常数)．
(1)求函数在上的最小值；
(2)设是函数的两个零点，证明：．
答案
1．A
2．C
3．A
4．B
5．B
6．D
7．C
8．C
9．BC
10．AD
11．ABC
12．ABC
13．-1
14．1
15．
16．
17.（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴
（2）由（1）可知：=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02.
（3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]．
∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.
18．（1）因为，
所以，
则．
（2），
设切点，则切线的斜率为，
故切线方程为，
将点代入得，
即，得，解得或，
所以切线方程为或．
19．（1）；
（2）；
（3；
（4）
.
（5）；
（6）.
20．（1）函数的定义域为，当时，
求导得，整理得：.
由得；由得，
从而，函数减区间为，增区间为；
（2）由已知得时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.
令函数，由知在单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以a的取值范围是.
21．（1）由，
得.
令，解得，令，解得，
函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
故函数的极大值是，函数无极小值.
（2）设，
则
.
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
.
令，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
又，
当时，，满足题意.
故的最小值为1.
22.（1）因为为常数)的定义域为，
则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为；；
，故函数在上的最小值为.
（2）由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，
由是函数的两个零点，不妨设，则，，
由得，
由题意可知.
令，则；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由可得，因为，
所以.
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
2．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（ ）
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
3．设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
4．曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在处取得最大值
C．函数在上单调递减
D．在区间内的函数值为负
二、多选题
9．已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（ ）
A．在区间上的平均变化率最小
B．在区间上的平均变化率大于0
C．在区间上的平均变化率比上的大
D．在区间上的平均变化率最大
10．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ）
A． B． C． D．3
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的图象在点处的切线的斜率为
B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增
D．当时，有两个零点
三、填空题
13．已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
14．已知函数的图象在点处的切线与直线相互垂直，则__________．
15．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.
16．函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
四、解答题
17．已知函数f(x)＝.
（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；
（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
18．已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
19．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)．
20．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
21．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若为正整数，对任意的都有成立，求的最小值.
22．已知函数为常数)．
(1)求函数在上的最小值；
(2)设是函数的两个零点，证明：．
答案
1．A
2．C
3．A
4．B
5．B
6．D
7．C
8．C
9．BC
10．AD
11．ABC
12．ABC
13．-1
14．1
15．
16．
17.（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴
（2）由（1）可知：=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02.
（3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]．
∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.
18．（1）因为，
所以，
则．
（2），
设切点，则切线的斜率为，
故切线方程为，
将点代入得，
即，得，解得或，
所以切线方程为或．
19．（1）；
（2）；
（3；
（4）
.
（5）；
（6）.
20．（1）函数的定义域为，当时，
求导得，整理得：.
由得；由得，
从而，函数减区间为，增区间为；
（2）由已知得时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.
令函数，由知在单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以a的取值范围是.
21．（1）由，
得.
令，解得，令，解得，
函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
故函数的极大值是，函数无极小值.
（2）设，
则
.
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
.
令，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
又，
当时，，满足题意.
故的最小值为1.
22.（1）因为为常数)的定义域为，
则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为；；
，故函数在上的最小值为.
（2）由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，
由是函数的两个零点，不妨设，则，，
由得，
由题意可知.
令，则；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由可得，因为，
所以.