8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习（含解析）

第三节棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习
一、单选题（8题）
1．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（ ）
A． B． C． D．
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ）
A． B．32 C． D．
5．已知棱柱的底面积为，高为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
6．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A．6 B． C．2 D．
8．在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（2题）
9．一个四棱锥的体积为4，其底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为______.
10．已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为_____．
三、解答题（2题）
11．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
12．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．
(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；
(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．
参考答案：
1．C
【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.
【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，
由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，
所以拼成的几何体的表面积为.
故选：C.
2．A
【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．
【详解】因为四个面是全等的正三角形，
，
则表面积
故选：A.
3．D
【分析】由三视图可知该几何体是一个正四棱锥，且底面边长为2，高为1，从而可求出其表面积
【详解】因为该几何体的三视图中，正视图与侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，
所以该几何体是一个正四棱锥，且底面边长为2，高为1，如图所示，
所以其表面积为，
故选：D
4．C
【分析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
求出侧面的斜高为，然后利用梯形的面积公式即可求出侧面积，进而求解表面积.
5．D
【分析】根据棱柱的体积公式代入计算即可.
【详解】根据棱柱的体积公式可得，.
故选：D
6．C
【分析】求出无底圆锥的半径和高，从而得到圆锥的体积.
【详解】由题意知，所卷成的无底圆锥母线长为6，
设该无底圆锥的底面半径为，高为，则，所以，
所以，所以.
故选：C.
7．C
【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为
故选：C.
8．A
【分析】由棱台的体积求出棱台的高，过作，垂足为，连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形，且，，,，求出，再求出，利用梯形的面积公式，即可求出结果．
【详解】设方亭的高为，因为，方亭的体积为，
所以，解得，
如图，
过作，垂足为，
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形，
且，，则，
，
因为侧面为等腰梯形，
所以，
所以侧面的面积为．
故选: A．
9．
【分析】先求出该四棱锥的高以及侧棱长，进而得出该四棱锥的侧面积.
10．
【分析】先根据题意画出几何体,通过外接球的半径及上、下底面外接圆半径,利用勾股定理求出正四棱台的高,再根据外接圆半径分别求出上下底面的面积,根据体积公式即可得出结果.
【详解】解:由题知,正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上,
取正四棱台上底面一点为,正方形中心为,
下底面一点为,正方形中心为,
正四棱台外接球球心为,
连接如图所示:
记正四棱台高,,
在直角三角形中,,
所以有,解得,
在直角三角形中,,
所以有,
解得,即,
因为四棱台上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,
所以四棱台上、下底面正方形的边长分别为:,,
所以,,
故正四棱台体积为:.
故答案为:
11．(1)；
(2)侧面积；表面积.
【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比；
（2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积.
【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，
所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
【详解】（1）在正三棱锥S﹣ABC中，,
所以.
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，如图所示，
所以，
在直角三角形SOE中，，
在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，
所以，
则表面积为：．