第六章 平面向量及其应用 单元测试（含解析）

第六章《平面向量及其应用》 单元测试
第Ⅰ卷 选择题
一、单选题（共8小题）
1. 已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)
A. a＋b＋c＋d＝0 B. a－b＋c－d＝0
C. a＋b－c－d＝0 D. a－b－c＋d＝0
2. 1. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　)
A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等
3. 点O为△ABC所在平面内一点，若·＝·，＝λ，则△ABC的形状为(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A. (－2,4) B. (－30,25) C. (10，－5) D. (5，－10)
5. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6. 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b＋a＝(　　)
A. (－2，1) B. (2，－1) C. (2，0) D. (4，3)
7. 在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，则角C为(　　)
A. B. C. 或 D. 或
8. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，若△ABC的面积S＝10，b＝4，则a的值为(　　)
A. B. C. D.
二、多选题（共4小题）
9. 下列式子可以化简为的是(　　)
A. ＋－ B. － C. － D. －
10. 已知△ABC是正三角形，则在下列结论中，正确的为(　　)
A. |＋|＝|＋|
B. |＋|＝|＋|
C. |＋|＝|＋|
D. |＋＋|＝|＋＋|
11. 对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　)
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. |a|＝
12. 已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，设a，b的夹角为θ，则(　　)
A. |a|＝|b| B. a⊥c C. b∥c D. θ＝135°
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题（共4小题）
13. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
14. 飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________ km/h.
15. 一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h.
16. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，||＝，||＝1，则与的夹角θ＝________．
四、解答题（共6小题）
17. 如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
18. 解答下列各题：
(1)设向量a＝(1,2)，b＝(－4,3)，求a－2b；
(2)已知两点M(3，－2)和N(－5，－1)，点P满足＝，求点P的坐标．
19. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值．
20. 在△ABC中，若B＝3A，求的取值范围．
21. 若点A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
22. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
参考答案
1. 【答案】B
【解析】易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.
2. 【答案】D
【解析】因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.
3. 【答案】B
【解析】∵·＝·，
∴·(－)＝·＝0，
∴OA⊥BC.
∵＝λ，
∴点O在∠BAC的平分线上，
∴AO既是BC边上的高，也是∠BAC的平分线，
∴△ABC是等腰三角形．
4. 【答案】C
【解析】设开始时点P的坐标为A(－10,10)，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，
由题意有＝5v.
即(x＋10，y－10)＝5(4，－3)＝(20，－15)
所以解得
5. 【答案】C
【解析】如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
6. 【答案】D
【解析】b＋a＝(3，1)＋(1，2)＝(4，3).
7. 【答案】C
【解析】在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，
因为＝，所以sinA＝＝＝，所以A＝或，所以C＝或.
8. 【答案】B
【解析】由3acosC＝4csinA，得＝.由正弦定理得＝，
∴tanC＝，∴sinC＝.
又S＝absinC＝10，b＝4，所以a＝，故选B.
9. 【答案】AD
【解析】＋－＝－＝＋＝，A正确；
－＝＋≠，B不正确；
－＝，C不正确；
－＝，D正确.
10. 【答案】ACD
【解析】＋＝，＋＝，而||＝||，故A正确；
|＋|＝||≠|＋|，故B不正确；
画图(图略)可知C正确；
|＋＋|＝2||，
|＋＋|＝2||，故D正确.
11. 【答案】CD
【解析】a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；
向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；
由数量积的性质知，C正确；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正确.
12. 【答案】BD
【解析】根据题意知，a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，
则a＝(－1,1)，b＝(2,0)，
对于A，|a|＝，|b|＝2，则|a|＝|b|不成立，A错误；
对于B，a＝(－1,1)，c＝(1,1)，则a·c＝0，即a⊥c，B正确；
对于C，b＝(2,0)，c＝(1,1)，b∥c不成立，C错误；
对于D，a＝(－1,1)，b＝(2,0)，则a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，则cosθ＝＝－，又0°≤θ≤180°，则θ＝135°，D正确．
13. 【答案】－1
【解析】方法一　·＝||·||cos(180°－∠B)＝－||||·cosB＝－||||·＝－||2＝－1.
方法二　||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||·||cosB，而||·cosB＝||，所以·＝－||2＝－1.
14. 【答案】150
【解析】如图所示，
|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h)．
15. 【答案】0.5
【解析】如图，
v实际＝v船＋v水，|v船|＝20，|v水|＝12，
∴|v实际|＝＝＝16(km/h)．
∴所需时间t＝＝0.5(h)．
∴该船到达B处所需的时间为0.5 h.
16. 【答案】120°
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，CB＝1，所以tan ∠ACB＝＝，
所以∠ACB＝60°，即与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°.
17. 【答案】解　(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，
则＝，
∴∠DBC即为向量与的夹角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量与的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴与的夹角为90°.
18. 【答案】解　(1)a－2b＝(1,2)－2(－4,3)＝(1,2)－(－8,6)＝(1＋8,2－6)＝(9，－4)．
(2)由已知两点M(3，－2)和N(－5，－1)，
可得＝(－5－3，－1＋2)＝，
设点P的坐标是(x，y)，则＝(x－3，y＋2)．
由已知＝，可得(x－3，y＋2)＝，
∴解得
∴点P的坐标是.
19. 【答案】解　(1)由正弦定理，＝可化为＝，即tanC＝.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)·＝|C|||cosC＝abcosC＝4，
且cosC＝cos＝.∴ab＝＝8.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(a＋b)2－2ab－2abcos
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.
∴c＝2.
20. 【答案】解　由正弦定理得＝，
∴＝＝＝＝
＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1.
∵A＋B＋C＝180°，B＝3A，∴A＋B＝4A<180°，
∴0°∴1<4cos2A－1<3，∴1<<3，
即的取值范围为(1,3)．
21. 【答案】证明 由已知得＝，＝(8，4)，显然有7×4＝×8，所以∥.
又因为直线AB，AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．
22. 【答案】证明　∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，
则＝2e2，
∴＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2，
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e
＝|e1|2－|e2|2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.