第二章《平面向量及其应用》章末检测（能力提升）
（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( C )
A.－ B.0 C.3 D.
解：因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
2、在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( B )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
解：因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
3、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( D )
A. B. C. D.
解：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.
由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，
设向量a＋b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝，
又0≤θ≤π，所以θ＝.
4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝( B )
A. B. C. D.
解：因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，
因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，
所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝，
所以C＝π－－＝.
5、已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( C )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解：由题意，得c＝a＋tb＝(3 ＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝( D )
A． B．
C． D．
解：因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝.
7、在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为( B )
A.48 B.49 C.50 D.51
解：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，
B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).
设M(m，0)，N(0，n)，因为2||＋||＝1，
所以2m＋n＝1.
因为＝x＋y＝＋，
所以x＝，y＝，
所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，故选B.
8、如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是( C )
A．[－6，1] B．[1，5]
C．[－5，5] D．[5，9]
解：设＝a，＝b，求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：
(1)若P在A点，因为＝a，所以(x，y)＝(1，0)；
(2)若P在B点，因为＝b，所以(x，y)＝(0，1)；
(3)若P在C点，因为＝＋＝2b＋a，所以(x，y)＝(1，2)；
(4)若P在D点，因为＝＋＋＝a＋b＋(2b＋a)＝2a＋3b，所以(x，y)＝(2，3)；
(5)若P在E点，因为＝＋＝a＋b，所以(x，y)＝(1，1)；
(6)若P在F点，因为＝＋＝a＋3b，所以(x，y)＝(1，3).
所以x＋y的最大值为2＋3＝5.
根据对称性，可知x＋y的最小值为－5.故x＋y的取值范围是[－5，5].
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是( BD )
A．|a＋b|＝16
B．(a＋b)·a＝2
C．向量a＋b与a的夹角为30°
D．向量a＋b在a上的投影向量为2a
解：由题意，得a＋b＝(2,2)．
对于A，|a＋b|＝＝4，故A不正确；对于B，(a＋b)·a＝2×1＋2×0＝2，故B正确；对于C，因为cos〈(a＋b)，a〉＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C不正确；对于D，向量a＋b在a上的投影向量为·＝2a，故D正确．综上所述，选BD.
10、设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( ACD )
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解：若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，设＝2，则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.
11、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c则下列结论正确的是( BC )
A．若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B．若＝，则A＝45°
C．若a2＋b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形
D．若A＜B，则cos A＜cos B
解：由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及＝可得，＝＝1，即tan A＝1，由0
cos B，故D错误．
12、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( BCD )
A.＝－ B.＝－＋
C.＋＝ D.＋＋＝0
解：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
所以＝＝－，故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B正确；
＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选BCD.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
解：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，
∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
14、已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝___－_____.
解：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
15、已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为___9_____.
解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
∵a＝3，
∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·，
∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c＞0，∴0＜b＋c≤6，当且仅当b＝c时取“＝”，
∴a＋b＋c≤9，∴△ABC的周长最大值为9.
16、如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
解：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos ∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin ∠B＝，因此2－的最小值为()2－＝，即·的最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x).
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x).
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
所以2x－1＝－7，
即x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是.
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
解 (1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
19、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2＋c2－a2＝bc.
已知________，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，并作答．
解：(1)因为b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理知cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
选择①②：
因为b2＋c2－a2＝bc，
所以4＋c2－7＝2c，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍负)，
则△ABC的面积S＝bc·sin A＝×2×3×sin ＝；
选择①③：
由正弦定理知＝，
因为sin C＝2sin B，所以c＝2b①，
因为b2＋c2－a2＝bc，
所以b2＋c2－7＝bc②，
联立①②构成方程组，解得b＝，c＝，
则△ABC的面积S＝bc·sin A＝×××sin ＝.
选择②③：
由正弦定理知＝，
因为sin C＝2sin B，所以c＝2b＝4，
则△ABC的面积S＝bc·sin A＝×2×4×sin ＝2.
20、经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
(1)证明 设＝a，＝b.
由题意知＝×(＋)
＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，
存在实数λ，使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ得＋＝3.
(2)解 由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.
21、在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3.
(1)求sin B的值；
(2)若点D在边BC上，AD＝BD，求△ABD的面积．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝36＋18＋36×＝90，
所以BC＝3.
由正弦定理得，
sin B＝＝＝.
(2)因为B为锐角，
所以cos B＝.
在△ABD中，由余弦定理得
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B．
又因为AD＝BD，
所以BD＝＝＝，
所以S△ABD＝AB·BDsin B＝×6××＝3.
22、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.第二章《平面向量及其应用》章末检测（能力提升）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A.－ B.0 C.3 D.
2、在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3、若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B. C. D.
4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝( )
A. B. C. D.
5、已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝( )
A． B．
C． D．
7、在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为( )
A.48 B.49 C.50 D.51
8、如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是( )
A．[－6，1] B．[1，5]
C．[－5，5] D．[5，9]
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是( )
A．|a＋b|＝16
B．(a＋b)·a＝2
C．向量a＋b与a的夹角为30°
D．向量a＋b在a上的投影向量为2a
10、设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
11、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c则下列结论正确的是( )
A．若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B．若＝，则A＝45°
C．若a2＋b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形
D．若A＜B，则cos A＜cos B
12、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A.＝－ B.＝－＋
C.＋＝ D.＋＋＝0
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
14、已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_______.
15、已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
16、如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x).
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
18、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
19、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2＋c2－a2＝bc.
已知________，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，并作答．
20、经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
21、在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3.
(1)求sin B的值；
(2)若点D在边BC上，AD＝BD，求△ABD的面积．
22、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.