第二章《平面向量及其应用》章末综合检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若D为△ABC的边AB的中点，则＝( )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
2、向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．6 B．5
C．1 D．－6
3、在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A.1 B. C. D.3
4、若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
5、如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝( )
A．1 B．6
C． D．
6、已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是( )
A.4 B.
C. D.2
7、如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，弧ACB和弧ADB分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则弧ACB的半径为( )
A．1 B．
C．2 D．
8、自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行过程中，·的最大值为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、下列命题中正确的有( )
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10、已知向量m＋n＝(3,1)，m－n＝(1，－1)，则( )
A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥n
C．|m|＝|n| D．〈m，n〉＝45°
11、定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．角B的最大值为 D．若，则为钝角三角形
12、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A.＝－ B.＝－＋
C.＋＝ D.＋＋＝0
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
14、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝________.
15、已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．
16、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
18、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
19、已知f(x)＝sin ＋.
(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f(A)＝1，求△ABC的周长．
20、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
21、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
22、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B.
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.第二章《平面向量及其应用》章末综合检测
（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若D为△ABC的边AB的中点，则＝( A )
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
2、向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( A )
A．6 B．5
C．1 D．－6
解：由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A．
3、在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( D )
A.1 B. C. D.3
解：由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
4、若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( B )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
5、如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝( C )
A．1 B．6
C． D．
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
因为＝－2，所以＝－＝－，
连接AF，在△AEF中，
所以＝＋＝－＋＋
＝－－＋＋＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
6、已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是( D )
A.4 B.
C. D.2
解：根据题意，设AB边的中点为D，
因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.
由AB的中点为D，得＋＝2，
又由＋＋2＝0，得＝－，则O是CD的中点，又△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，
所以S△AOB＝×4×＝2.
7、如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，弧ACB和弧ADB分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则弧ACB的半径为( A )
A．1 B．
C．2 D．
解：
因为∠ACB＝，AC＝BC＝1，
所以AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos＝1＋1－2×1×1×＝3，所以AB＝.由题意知所求半径为△ABC外接圆的半径．
设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得＝＝2R，所以R＝1.
8、自行车运动是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行过程中，·的最大值为( C )
A．18 B．24
C．36 D．48
解：·＝||·||·cos θ(θ为向量和的夹角)，过B，P作直线AC的垂线，垂足分别为M，N，为在上的投影向量，易知||·cos θ的最大值为|MC|＋＝3，||＝4，
所以·的最大值为4×3＝36.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、下列命题中正确的有( AD )
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10、已知向量m＋n＝(3,1)，m－n＝(1，－1)，则( BCD )
A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥n
C．|m|＝|n| D．〈m，n〉＝45°
解：依题意，m＝[(m＋n)＋(m－n)]＝(2,0)，n＝[(m＋n)－(m－n)]＝(1,1)，所以(m－n)·n＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(m－n)⊥n，选项A错误，选项B正确．|m|＝2，|n|＝，所以|m|＝|n|，选项C正确．cos〈m，n〉＝＝＝，因为0°≤〈m，n〉≤180°，所以〈m，n〉＝45°，选项D正确．故选BCD.
11、定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ACD ）
A． B．
C．角B的最大值为 D．若，则为钝角三角形
12、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( BCD )
A.＝－ B.＝－＋
C.＋＝ D.＋＋＝0
解：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
所以＝＝－，故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B正确；
＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选BCD.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝___－_____.
14、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝________.
解：因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，
因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，
所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝，
所以C＝π－－＝.
15、已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为____1____．
解：由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝|||AC|cos∠BAC＝||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||·sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1.
16、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是___4_____，最大值是__2______．
解：设向量a，b的夹角为θ，由余弦定理得
|a－b|＝＝，
|a＋b|＝＝，
则|a＋b|＋|a－b|＝＋，
令y＝＋，则y2＝10＋2∈[16，20]，据此可得(|＋b|＋|a－b|)max＝＝2，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2) ∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
18、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
解：(1)在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明 因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，与共线，
且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
19、已知f(x)＝sin ＋.
(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f(A)＝1，求△ABC的周长．
解：(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin ＝，
又0
所以<2A＋<，
所以2A＋＝，故A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以a2＝b2＋c2－bc＝7，
又sin B＝3sin C，所以b＝3c，
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，
所以b＝3，故△ABC的周长为4＋.
20、如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
解：(1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
21、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
22、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B.
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
解 (1)∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由已知结合正弦定理可得，
(a－c)a＋c2＝b2，
∴a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，
即3ac＝16－b2，∴16－b2≤3，
解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号，
∴bmin＝2，△ABC周长的最小值为6，
此时△ABC的面积S＝acsin B＝.