第6章计数原理章节专项练习解析版
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．4 B．4或7 C．7 D．不存在
【答案】B
【分析】由组合数公式的性质，可得或，求解即可.
【详解】由知：或，
∴或.
故选：B
2．从2021年3月24日起，中国启动新冠疫苗接种数据的日报制度，国家卫健委每日在官网公布疫苗接种总数，这也是人类疫苗接种史上首次启动国家级最大规模的日报制度.为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种普及率，重庆市某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点.某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A．11种 B．19种 C．30种 D．209种
【答案】C
【分析】用分类加法计数原理计算．
【详解】该市民选择接种点分为两类，一类在乡镇接种点，一类在城区接种点，所以方法数为．
故选：C．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出展开式的通项，再令，即可求出，再代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为
令，解得，所以，所以展开式中的系数为，
故选：A
4．如图所示，若从正六边形的六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形，则直角三角形的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】C
【分析】分别考虑以，，直角三角形斜边的情形即可得结果.
【详解】由正六边形的性质可得，
当以为斜边时，可构成直角三角形，，，四种；
同理可得当以，为斜边时，分为也为四种，
即直角三角形的个数为12，
故选：C.
5．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种 B．7200种 C．7800种 D．8400种
【答案】D
【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.
【详解】由题意可知安排方法分三类：
第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有（种）；
第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有（种）；
第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有（种）；
故总的安排方法有（种）．
故选：D．
6．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
7．4名运动员参加接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
【答案】B
【详解】由于4名运动员四棒全排共有种，其中甲跑第一棒的种数为；乙跑第四棒的种数为；其中甲排第一棒，同时乙跑第四棒的种数为．则所有不同出场的顺序为．，应选答案B．
8．展开式中的系数为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据二项式定理的运算性质展开求解即可.
【详解】解：，
含的项为，
所以展开式中的系数为.
故选：D．
二、多选题
9．某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（ ）
A．种 B．种 C．12种 D．32种
【答案】AB
【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有C＝C，选AB.
10．关于及其展开式中，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中没有项 B．展开式中的系数为30
C．展开式中常数项为15 D．展开式中非常数项的系数和为112
【答案】BD
【分析】首先将式子变形为，再写出展开式的通项，再一一验证各选项即可．
【详解】解：
其中展开式的通项为．
令得，故展开式中含项，故A错误；
展开式中的项为，故展开式中系数为，故B正确．
展开式中常数项为，故C错误；
令，则，即展开式中所有项的系数和为，故非常数项的系数和为，故D正确；
故选：．
11．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则的值可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BCD
【分析】根据展开式中第5项的二项式系数最大，考虑是只有第5项的二项式系数最大，还是中间两项二项式系数最大，即可求得答案。
【详解】因为的展开式中第5项的二项式系数最大，
所以当为偶数时，，当为奇数时，中间两项的二项式系数最大，则或 ,
综上，的值可以为7，8，9,
故选：BCD
12．的展开式中的系数为，则（ ）.
A． B．所有系数之和为1
C．所有二项式系数之和为64 D．常数项为
【答案】BC
【分析】先由通项及的系数为求出，再通过二项式系数和、赋值法及通项依次判断即可.
【详解】由，令，解得，则，解得，A错误；
令，可得所有系数之和为，B正确；所有二项式系数之和为，C正确；
令，解得，则常数项为，D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）
【答案】
【分析】直接用二项式定理求解即可.
【详解】由二项式定理得，
令，故，因此.
故答案为：.
14．的二项展开式中的系数为____________
【答案】
【分析】根据二项式定理计算即可.
【详解】解：展开式的通项公式为，
故当时，的二项展开式中的项为，其系数为.
故答案为：
15．在的展开式中，含项的系数是_______________.
【答案】84
【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果.
【详解】的展开式中，含项的系数为：
，
故答案是：84.
【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.
16．若，则被8整除的余数为___________.
【答案】5
【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．
【详解】在已知等式中，取得，
取得，
两式相减得，
即，
因为
因为能被8整除，
所以被8整除的余数为5，
即被8整除的余数为5，
故答案为：5.
四、解答题
17．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
【答案】1440
【解析】本题采用插空法,对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可．
【详解】解:先将其余四人排好有种排法，
再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，
则有种方法，
这样共有 种不同排法．
【点睛】对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列．
18．袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．
（1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？
（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？
【答案】（1）194 （2）115
【详解】试题分析：（1）由题意知可以采用分类加法，分三类：3红1白，2红2白，1红3白，相加即可；（2）可分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理，相加即可
试题解析：（1）分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类，
由分类加法计数原理有：＝194（种）．
（2）分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理共有：＝115（种）．
考点：排列、组合及简单计数问题
19．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中的第四项；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和.
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【分析】（1）先求出二项式的展开式的通项，令，即可求解；
（2）由（1）所求二项式的展开式的通项，令，即可求解；
（3）令，即可得展开式中各项的系数和.
【详解】解：（1）因为二项式的展开式的通项为，
所以展开式的第四项为；
（2）二项式的展开式的通项为，由，可得常数项为1；
（3）在二项式的展开式中，令，可得展开式中各项的系数和为.
20．二项式的二项式系数和为256.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中各项的系数和；
（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.
【答案】(1);(2);(3)见解析.
【详解】分析：（1）依题意知展开式中的二项式系数的和为，由此求得的值，则展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项，从而求得结果．
（2）令二项式中的，可得二项展开式中各项的系数和；
（3）由通项公式及且得当时为有理项；
详解：
因为二项式的二项式系数和为256，所以，
解得.
（1）∵，则展开式的通项 .
∴二项式系数最大的项为；
（2）令二项式中的，则二项展开式中各项的系数和为.
（3）由通项公式及且得当时为有理项；
系数分别为，，.
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
21．已知，函数.
（1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和；
（2）当时，
①求函数展开式中的常数项；
②证明：.
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.
【分析】（1）先写出的表达式，结合二项式定理进行求解；
（2）①把代入，写出的表达式，求出常数项即可；
②先利用错位相减法求解数列的和，结合同一项的系数相等可得等式成立.
【详解】（1）当时，
；
所以展开式中含的一次项系数之和为
.
（2）①当时，
；
所以展开式中的常数项为.
②因为分别是二项式
的展开式中含的系数，
所以原恒等式左边就是多项式中含的系数，
设，
则
两式相减得
且时，
整理得；
上式中含有的系数为；
比较系数可得.
22．一条铁路有（）个车站，为适应客运需要，新增了（，）个车站，客运车票增加了62种，问原来有多少个车站？现在有多少个车站？
参考数据：．
【答案】原来有15个车站，现在有17个车站．
【分析】根据给定条件利用排列求出原有客运车票种数和新增后的客运车票种数，列出方程化简整理，再经分析推理即可得解.
【详解】原来有个车站，客运车票有种，新增个车站后，客运车票有种，
由题意得，即，
整理得，即，而，则，又，
于是有，解得，又，即，3，4，5，6，7，8，
因当，4，5，6，7，8时，均不为整数，从而得，，则，
所以原来有15个车站，现在有17个车站.第6章计数原理章节专项练习
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．4 B．4或7 C．7 D．不存在
2．从2021年3月24日起，中国启动新冠疫苗接种数据的日报制度，国家卫健委每日在官网公布疫苗接种总数，这也是人类疫苗接种史上首次启动国家级最大规模的日报制度.为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种普及率，重庆市某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点.某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A．11种 B．19种 C．30种 D．209种
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，若从正六边形的六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形，则直角三角形的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
5．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种 B．7200种 C．7800种 D．8400种
6．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．4名运动员参加接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
8．展开式中的系数为（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、多选题
9．某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（ ）
A．种 B．种 C．12种 D．32种
10．关于及其展开式中，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中没有项 B．展开式中的系数为30
C．展开式中常数项为15 D．展开式中非常数项的系数和为112
11．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则的值可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．的展开式中的系数为，则（ ）.
A． B．所有系数之和为1
C．所有二项式系数之和为64 D．常数项为
三、填空题
13．在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）
14．的二项展开式中的系数为____________
15．在的展开式中，含项的系数是_______________.
16．若，则被8整除的余数为___________.
四、解答题
17．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
18．袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．
（1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？
（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？
19．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中的第四项；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和.
20．二项式的二项式系数和为256.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中各项的系数和；
（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.
21．已知，函数.
（1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和；
（2）当时，
①求函数展开式中的常数项；
②证明：.
22．一条铁路有（）个车站，为适应客运需要，新增了（，）个车站，客运车票增加了62种，问原来有多少个车站？现在有多少个车站？
参考数据：．
