第六章课时练习3余弦定理、正弦定理应用举例
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
2．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．或 B． C． D．
3．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．在中，角的对边分别是若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点D在边上，，且，若的面积，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
二、多选题
9．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ）
A． B． C． D．
10．在中，D在线段上，且．若，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．的面积为
C．的周长为 D．为钝角三角形
11．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是锐角三角形
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A．A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰三角形
三、填空题
13．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________
14．在中，内角所对的边分别为.已知，，则的面积是__________.
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.
16．中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，，D在线段AB上，且满足，求线段CD的长.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.
(1)求及b的值；
(2)求AB边上的高.
19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为，求的值．
20．在△ABC中，．
(1)求B；
(2)若，求a边．
21．的内角、、的对边分别为、、，若．
(1)求角的大小；
(2)若角为锐角，求的取值范围．
22．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．第六章课时练习3余弦定理、正弦定理应用举例解析版
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理得到，，从而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形.
【详解】由题意得：，即，
故，
因为，所以，
故，即
因为，所以，
即，故，
故，故，
所以为直角三角形.
故选：A
2．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】在中，由正弦定理可得，即，解得，
又由可知，
所以，
故选：B
3．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的投影为，且，利用锐角三角函数表示出、、，再在和中分别用余弦定理得到方程，解得即可.
【详解】解：设的投影为，且，在中，，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分别用余弦定理得，
解得或（舍去），即四门通天的高度为.
故选：B
4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】利用正弦定理，两角和公式及辅助角公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式可得，即得.
【详解】由已知及正弦定理得，
∴，
所以，因为，
所以，即，因为，
所以，从而，
由余弦定理得，即，
又，
∴，即，
∴，当且仅当时等号成立，从而，
∴的周长的最大值为15.
故选：A.
5．在中，角的对边分别是若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案.
【详解】根据正弦定理得到，，，故，
.
故选：B
6．在中，点D在边上，，且，若的面积，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理代入三角形面积公式中，求出的正切值，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，设，，，
由两边平方得，，
由余弦定理得：
，
∴，
∴的面积为：
，
∴，
∴．
故选：D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即
当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
8．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意利用正弦定理边化角，在结合两角和差公式化简整理，即可得结果.
【详解】∵，由正弦定理可得，
故，
又∵，则，
则，故，
可得为直角三角形.
故选：C.
二、多选题
9．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】直接利用正弦定理进行边换角即可求解.
【详解】依题意，
因为a＝2bsinA，
由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，
所以sinA·(2sinB－)＝0，
因为0
所以2sinB－＝0，解得sinB＝，
所以B＝或.
故选：AC.
10．在中，D在线段上，且．若，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．的面积为
C．的周长为 D．为钝角三角形
【答案】CD
【分析】A.由，利用平方关系求解判断；B.设，则，在中，利用余弦定理求出CD，CB，再由求解判断；C.在中，利用余弦定理求得AC即可；D.利用余弦定理判断的符号即可.
【详解】A.由，，得，故错误；
B.设，则，在中，由余弦定理得，及，解得或（舍去），则，
所以，故错误；
C.在中，由余弦定理得，则，
所以的周长为，故正确；
D.由余弦定理得，故正确.
故选：CD.
11．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是锐角三角形
【答案】AC
【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.
【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；
对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；
对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；
对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.
故选：AC.
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A．A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰三角形
【答案】BD
【分析】利用余弦定理即可判断A；根据为锐角三角形，可得，且，再结合正弦函数的单调性及诱导公式即可判断B；根据，可得或，即可判断C；利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可判断D.
【详解】对于A，若，则，则B为锐角，
不能判定为锐角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则，且，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，
即，所以，
因为，所以，所以，
所以是等腰三角形，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________
【答案】
【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理，，
∵，∴.
由余弦定理及基本不等式，，
∴，当且仅当时取等号，
∴当且仅当时，的面积的最大值为.
故答案为：.
14．在中，内角所对的边分别为.已知，，则的面积是__________.
【答案】
【分析】根据二倍角公式化简可得，结合题设求得，从而可得，进而求得，再根据三角形面积公式求得答案.
【详解】由题意得，
即，所以,
由得，则，
又，,
得或，即或（舍去），
所以；由，得，
由，得，从而，
故，
所以的面积为，
故答案为：
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.
【答案】
【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.
【详解】根据正弦定理可知，，
所以，
而，
所以.
故答案为：
16．中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．
【答案】
【分析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然后由余弦定理求得，再由面积公式计算．
【详解】∵，，
∴，
∴，展开得，
∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故，
∴，
∴，，
所以的面积.
故答案为：．
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，，D在线段AB上，且满足，求线段CD的长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合余弦定理即得；
（2）利用余弦定理可得，进而可得，然后根据勾股定理结合条件即得；或由题可得，然后利用向量的模长公式结合数量积的运算律即得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，即，
又由余弦定理得，且，
所以；
（2）解法一：结合（1）由余弦定理得，即，
则，所以，
又，即，则，
则在中，，
所以；
解法二：因为，所以，
所以
，
所以，即.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.
(1)求及b的值；
(2)求AB边上的高.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先由，求得，再利用正弦定理即可求得，利用余弦定理即可求得；
（2）利用等面积法求解即可.
【详解】（1）在中，因为，
所以，
又，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，
解得或（舍去）；
（2）设AB边上的高为，
则，
即，解得，
即AB边上的高为.
19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】(1)利用正弦定理和两角和的余弦公式求解；
(2)利用面积公式和余弦定理求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
∵
∵，
∵ ∴.
（2）∵ ∴,
又∵ ∴,
所以．
20．在△ABC中，．
(1)求B；
(2)若，求a边．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换公式求解；
(2)利用两角和的余弦公式和正弦定理求解.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理，
又，可得，
因为，
可得，
可得：，
则．
又由，可得．
（2）在△ABC中，由余弦定理及，
可得，
所以由正弦定理，可得
21．的内角、、的对边分别为、、，若．
(1)求角的大小；
(2)若角为锐角，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合切化弦可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求得，可得出，利用三角恒等变换化简的表达式，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．
【详解】（1）解：，，
，，或.
（2）解：为锐角，，又，，
，
，则，，
所以的取值范围是．
22．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
【答案】(1)；
(2)若选①，；若选②，；若选③，
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；
（2）选①：由重心的性质得出点到的距离等于点到的距离的，再由此得出的面积；选②：由余弦定理得出，进而由等面积法得出内切圆的半径，最后得出的面积；选③：由正弦定理得出外接圆的半径，再由圆的性质得出，进而由面积公式得出的面积；
【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以.
因为，所以.
（2）若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，．