函数性质的灵活应用
A 组 基础巩固
1．（2011 新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+ ）单调递增的函数是（ ）
A． y x3 B． y x 1 C． y x2 1 D． y 2 x
2．(2013 湖北) x 为实数，[x] 表示不超过 x 的最大整数，则函数 f (x) x [x] 在 R 上为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
3．(2012 陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A y x 1
1
B y x3 C y D y x | x |
x
f x
4．（2020·河南省开封一中期中）已知函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间(－∞，1) 上有最小值，则函数 g(x)＝
x
在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
5．已知函数 f (x) ax 2 bx 3a b 是定义域为[a 1,2a] 的偶函数，则 a b 的值是（ ）
A．0；B． 1 ；C．1；D． 1
3
2 x 1 x 0
6．已知函数 f x ，则该函数是（ ）
1 2
x x 0
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
1 1
7．已知函数 f x x
2 2ax x 1
2 2 a 0且a 1 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是（ ）
a
x 1 x 1
1 2 1 1 1 2 2A． ， B． ， C．
，
2 3 2 2 3
D． ，1 3
8．(2020·湖南岳阳一模)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(－1)＝－1，则 f(2 018)＋f(2 019)
＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
9．(2020·山东潍坊期中)已知奇函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝1，则满足|f(x－1)|≤1 的 x 的取值范
围是( )
A．[－1，1] B．[0，2]
C．[1，2] D．[1，3]
1
10．（2020·吉林东北师大附中模拟）已知 f(x)是定义在 R 上的函数，并且 f(x＋2)＝ ，当 2≤x≤3 时，f(x)
f x
＝x，则 f(2 019)＝________.
11.（2020·浙江杭州二中模拟）已知奇函数 f(x)的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，0]上单调递减，则满足
f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围为 .
12．（2020·江苏省徐州一中期末）函数 f(x)＝ 4－x－ x＋2的值域为________．
B 组 能力提升
f x x3 113．（2020 全国Ⅱ文 10）设函数 ，则 f x （ ）
x3
A．是奇函数，且在 0 , 单调递增 B．是奇函数，且在 0 , 单调递减
C．是偶函数，且在 0 , 单调递增 D．是偶函数，且在 0 , 单调递减
14．（2020 山东 8）若定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 ( ,0) 单调递减，且 f (2) 0 ，则满足 xf (x 1) 0 的 x
的取值范围是（ ）
A． 1 ,1 3 , B． 3 , 1 0 ,1 C． 1 , 0 1 , D． 1 , 0 1 , 3
已知定义域为 R 的函数 f x －2
x b
15. 是奇函数．
2x 1 a
（Ⅰ）求 a，b 的值；
（Ⅱ）若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
16.已知函数 x
2 2x 1
f a ,x a 0
x
(1)当 a 2 时，试判断 x [1, ) 它的单调性；并证明
(2)若 x 0,1 时， f x 是减函数，x 1, 时， f x 是增函数，试求 a 的值及 x 0, 上 f x
的最小值．函数性质的灵活应用
A 组 基础巩固
1．（2011 新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+ ）单调递增的函数是（ ）
A． y x3 B． y x 1 C． y x2 1 D． y 2 x
【答案】B
【解析】 y x3 为奇函数， y x2 1在 (0, ) 上为减函数， y 2 x 在 (0, ) 上为减函数，故选 B．
2．(2013 湖北) x 为实数，[x] 表示不超过 x 的最大整数，则函数 f (x) x [x] 在 R 上为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
【答案】D
【解析】由题意 f(1．1)＝1．1－[1．1]＝0．1，f(－1．1)＝－1．－[－1．1]＝－1．1－(－2)＝0．9，故该
函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数 a，有 f(a＋x)＝a＋x－[a＋x]＝x－[x]＝f(x)，
故 f(x)在 R 上为周期函数．故选 D．
3．(2012 陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
1
A y x 1 B y x3 C y D y x | x |
x
【答案】D
【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和 C 都不是定义域内的增函数，排除，只有 D 正确，故选 D．
4．（2020·河南省开封一中期中）已知函数 f(x)＝x2
f x
－2ax＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数 g(x) ＝
x
在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
【答案】D
a a
【解析】由题意知 a＜1，若 a≤0，则 g(x)＝x＋ －2a 在(1，＋∞)上单调递增；若 0＜a＜1，g(x)＝x＋ －
x x
a
2a 在( a，＋∞)上单调递增，则 g(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g(x)＝x＋ －2a 在区间(1，＋∞)上
x
是增函数．故选 D.
5．已知函数 f (x) ax 2 bx 3a b 是定义域为[a 1,2a] 的偶函数，则 a b 的值是（ ）
A．0；B． 1 ；C．1；D． 1
3
【答案】B；
2
【解析】由函数 f (x) ax bx 3a b 是定义域为[a 1,2a] 的偶函数得b 0 ，并且 a 1 2a ，即
a 1 ，所以 a b 的值是 0
3
x
f x 2 1 x 0 6．已知函数 ，则该函数是（ ）1 2x x 0
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
【答案】D
【解析】当 x 0 时， f (0) 0 ；当 x 0 时， x 0，所以 f ( x) 1 2 x f (x) ；
当 x 0 时， x 0 ，所以 f ( x) 2x 1 f (x) ；所以 f ( x) f (x) ，
所以函数是奇函数.当 x 0 时， f (x) 2 x 1，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，
由奇函数的性质得函数在 R 上单调递减.故选：D
1 x2 2ax 1 x 1
7．已知函数 f x 2 2 a 0且a 1 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是（ ）
x a 1 x 1
A． 1 2 1 2 2 ， B．
1 1 ，
2 3 2
C． ，
2 3
D． ，13
【答案】C
2a
x 1 2a 1
2
2
【解析】由题得 0 a 1 ，解之得
1
a 2 .故选：C
2 3
1 2a 1 a 1
2 2
8．(2020·湖南岳阳一模)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(－1)＝－1，则 f(2 018)＋f(2 019)
＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，则 f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－
f(x)，则 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(2 018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，
f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝－1，则 f(2 018)＋f(2 019)＝0－1＝－1，故选 B．
9．(2020·山东潍坊期中)已知奇函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝1，则满足|f(x－1)|≤1 的 x 的取值范
围是( )
A．[－1，1] B．[0，2]
C．[1，2] D．[1，3]
【答案】B
【解析】根据题意，得函数 f(x)在(－∞，0]上单调递增，且 f(－1)＝－1，则函数 f(x)在 R 上单调递增．若|f(x
－1)|≤1，则－1≤f(x－1)≤1，即－1≤x－1≤1，解得 0≤x≤2，即 x 的取值范围为[0，2]，故选 B．
1
10．（2020·吉林东北师大附中模拟）已知 f(x)是定义在 R 上的函数，并且 f(x＋2)＝ ，当 2≤x≤3 时，f(x)
f x
＝x，则 f(2 019)＝________.
【答案】3
1 1
【解析】由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝ ＝ ＝f(x)．故函数 f(x)的周期为 4.所以 f(2 019)＝
f x＋2 1
f x
f(4×504＋3)＝f(3)＝3.
11.（2020·浙江杭州二中模拟）已知奇函数 f(x)的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，0]上单调递减，则满足
f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围为 .
【答案】[-1，1)
【解析】∵f(x)的定义域为[-2，2]，解得-1≤m，①
又 f(x)为奇函数，且在[-2，0]上单调递减，∴f(x)在[-2，2]上单调递减，
∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).∴1-m>m2-1，
解得-212．（2020·江苏省徐州一中期末）函数 f(x)＝ 4－x－ x＋2的值域为________．
【答案】[－ 6， 6]
4－x ≥ 0，
【解析】因为{x 2 ≥ 0 所以－2≤x≤4，所以函数 f(x)的定义域为[－2，4]．＋ ，
又 y1＝ 4－x，y2＝－ x＋2在区间[－2，4]上均为减函数，
所以 f(x)＝ 4－x－ x＋2在[－2，4]上为减函数，所以 f(4)≤f(x)≤f(－2)．即－ 6≤f(x)≤ 6
B 组 能力提升
1
13．（2020 全国Ⅱ文 10）设函数 f x x3 ，则 f x （ ）
x3
A．是奇函数，且在 0 , 单调递增 B．是奇函数，且在 0 , 单调递减
C．是偶函数，且在 0 , 单调递增 D．是偶函数，且在 0 , 单调递减
【答案】A
【解析】∵函数 f x 1 x3 定义域为 x x 0 ，其关于原点对称，而3 f x f x ，x
∴函数 f x 为奇函数．
又∵函数 y x3 在(0,+ ) 上单调递增，在( - ,0) 上单调递增，而 y 1 x 3 在(0,+ ) 上单调递x3
减，在( - ,0) 上单调递减，∴函数 f x x3 1 在(0,+ ) 上单调递增，在( - ,0) 上单调递增．故x3
选 A．
14．（2020 山东 8）若定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 ( ,0) 单调递减，且 f (2) 0 ，则满足 xf (x 1) 0 的 x
的取值范围是 （ ）
A． 1 ,1 3 , B． 3 , 1 0 ,1 C． 1 , 0 1 , D． 1 , 0 1 , 3
【答案】 D
【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f (x) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大
于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．
【解析】因为定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 ( ,0) 上单调递减，且 f (2) 0 ，
所以 f (x) 在 (0, ) 上也是单调递减，且 f ( 2) 0 ， f (0) 0 ，
所以当 x ( , 2) (0,2) 时， f (x) 0 ，当 x ( 2,0) (2, ) 时， f (x) 0 ，
x 0 x 0
所以由 xf (x 1) 0 可得： 或 或 x 0
2 x 1 0或x 1 2
0 x 1 2或x 1 2
解得 1 x 0 或1 x 3 ，所以满足 xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是 1, 0 1, 3 ，故选 D．
x
15.已知定义域为 R 的函数 f x －2 b 是奇函数．
2x 1 a
（Ⅰ）求 a，b 的值；
（Ⅱ）若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） a 2,b 1（Ⅱ） k 1
6
x
【解析】（Ⅰ）定义域为 R 的函数 f x -2 b 是奇函数
2x 1 a
1
则 f 0 1 b2 a 0,b 1 f 1
-2 1， - 1
4 a f 1 2 ，1 a
根据 f 1 f 1 ，解得 a 2 ，经检验，满足函数为奇函数
2x（Ⅱ） f (x) 1 1 1
2x 1
2 2 2x 1
易知 2x 1为增函数，故 f (x)
1 1
为减函数
2 2x 1
f (t 2－2t) f (2t 2－2k) 0 即 f (t 2－2t) f (2t 2－2k) f ( 2t 2 2k)
即 t 2 2t 2t 2 2k
所以 k 3 t 2 t 3
3 1 1 1
(t 1 1 )2 恒成立，即 k (t )2
2 2 3 6 2 3 6 min 6
当 t 1 时，有最小值 1 故 k 的取值范围是 k 1
3 6 6
2
16.已知函数 x 2x
1
f ,x a 0 a
x
(1)当 a 2 时，试判断 x [1, ) 它的单调性；并证明
(2)若 x 0,1 时， f x 是减函数，x 1, 时， f x 是增函数，试求 a 的值及 x 0, 上 f x
的最小值．
【答案】（1） f (x) 在区间[1, )上单调递增；证明见解析（2） a 1， f (x) 的最小值为 4
【解析】(1) 先判断函数单调递增，再利用定义法设1 x x ，计算1 2 f (x1) f (x2 ) 0 证明.
(2)通过定义法由 x 0,1 时， f x 是减函数得到 a 1，同理得到 a 1，得到答案.
【详解】
解:(1)函数 1f (x) x 2 ， f (x) 在区间[1, )上单调递增
2x
设1 x x 时，1 2 f (x1) f (x2)
1 1
(x1 x2 ) ( )2x1 2x2
1
(x1 x2 )(1 ) 0 ， f (x ) f (x )2x 1 21x2
所以 f (x) 在区间[1, )上单调递增；
(2)由 x 0,1 时， f x 是减函数可知：
0 x x ax 1, f x f x x x ( 1x2 11 2 1 2 1 2 ) 0 恒成立ax1x2
ax1x2 1 0 恒成立， ax1x2 ax
2
2 a 1, a 1
同理可得： x 1, 时， f x 是增函数， a 1，故 a 1
当 x 1时，函数 f (x) 有最小值 4
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最小值，函数单调性定义法的证明是一个常考知识点，需要熟练掌握.
17．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以 30 天计算），销售价格 f t 与时间（天）的
函数关系近似满足 f t 100 1 1 ，销售量 g t 与时间（天）的函数关系近似满足
t
100 t 1 t 25，t N g t ．
150 t 25 t 30，t N
（1）试写出该商品日销售金额W t 关于时间 t 1 t 30，t N 的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额W t 的最大值与最小值．
100
t 100 101
1 t 25，t N t
【答案】（1）W t ；（2）当 t 1时，W t 最大值为
100 150 t 149 25 t 30，t N t
20200 ；当 t 10 时，W t 最小值为12100
【解析】（1）对 t 分类讨论求出该商品日销售金额W t 关于时间 t 1 t 30，t N 的函数表达式；
（2）分别求出分段函数的每一段的最值，再比较即得该商品的日销售金额W t 的最大值与最小值．
【详解】
1 100
（1）当1 t 25 时，W t g t f (t) 100 100 t 1 100 t 101t t
；
当 25 t 30 时，W t g t f t 100 150 1 t 1 100 150 t t 149 t
100(t
100
101)(1 t 25, t N )
∴W (t) t ．
100(150 t 149)(25 t 30, t N )
t
（2）①当1 t 25 时，由双勾函数的性质知W t 100 100 t 101 在 1，10 上单减，
t
在区间 10，25 上单增，W 10 12100，W 1 20200，W 25 13000 ．
∴当 t 10 时，W t 最小值为12100 ，当 t 1时，W t 最大值为 20200 ；
150
②当 25 t 30 时，W t 100 t 149
， y 150 和y t 在 25，30 单减，则W t 在区间
t t
25，30 单减，
∴ W t W 25 13000，W t W 30 12400 ；max min
综上，当 t 1时，W t 最大值为 20200 ；当 t 10 时，W t 最小值为12100
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平.
18．设函数 y f x 的定义域为 0， ，对任意 a，b R 都有 f a b f a f b 2，并且当
x 1时， f x 2 ．
（1）判断 y f x 在 0， 上的单调性并证明；
（2）若 f 2 1.5，解不等式 f x f x 2 3 ．
【答案】（1）在 0， 上单调递减，见解析；（2） 2，5 1
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明 y f x 在 0， 上单调递减．（2）先求出 f (4) 1，原不
等式等价于 f x x 2 1 f 4 ，再利用函数的单调性解不等式得解.
【详解】
（1）设 x1、x2 0，+ ，且 x1 x2 ，
x1 x x 则 f x1 f x2 f x2 f x2 fx
1 f x2 2 f x2 f 1 2
2 x2 x2
x
∵ x 11、x2 0，+ ，且 x1 x2 ，∴ 1又当 x 1时， f x ＜2 ，x2
