1．函数y＝cos 2x在下列哪个区间上是减函数( )
A．[－，] B．[，]
C．[0，] D．[，π]
解析：选C.若函数y＝cos 2x递减，应有2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0可得0≤x≤.
2．y＝sin x－|sin x|的值域是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,0]
解析：选D.y＝sin x－|sin x|＝
?－2≤y≤0.
3．对于函数y＝(0A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值也无最小值
解析：选B.∵y＝＝1＋，
又x∈(0，π)，
∴sin x∈(0,1]．
∴y∈[2，＋∞)，故选B.
4．若函数y＝cos 2x与函数y＝sin(x＋φ)在区间[0，]上的单调性相同，则φ的一个值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由函数y＝cos 2x在区间[0，]上单调递减，将φ代入函数y＝sin(x＋φ)验证可得φ＝.
5．函数y＝2sin(－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
解析：选C.∵函数y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，
∴函数y＝2sin(－2x)的增区间为y＝2sin(2x－)的减区间，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.当k＝0时，得x∈[，]．
6．已知函数f(x)＝2sin(x＋)，x∈[0，]，则f(x)的值域是________．
解析：x∈[0，]，x＋∈[，π]．
sin(x＋)∈[，1]，则2sin(x＋)∈[，2]．
答案：[，2]
7．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．
解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 150°答案：cos 150°8．函数y＝cos x在[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：y＝cos x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．
答案：(－π，0]
9．求函数y＝－2sinx，x∈(－，π)的单调区间．
解：由x∈(－，π)知，x∈(－，)．
当x∈(－，]，即x∈(－，π]时，
函数y＝－2sinx为减函数．
当x∈[，π)，即x∈[，π)时，
函数y＝－2sinx为增函数．
∴递减区间为(－，π]，递增区间为[，π)．
10．若函数y＝a－bsin x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin bx的最值和最小正周期．
解：∵y＝a－bsin x(b>0)，
∴函数的最大值为a＋b＝，①
函数的最小值为a－b＝－，②
由①②可解得a＝，b＝1.
∴函数y＝－4asin bx＝－2sin x.
其最大值为2，最小值为－2，最小正周期T＝2π.
1．若0<α<β<，a＝sin(α＋)，b＝sin(β＋)，则( )
A．ab
C．ab<1 D．ab>
解析：选A.∵0<α<β<，∴<α＋<β＋<.
而正弦函数y＝sin x，x∈[0，]是增函数，
∴sin(α＋)∴sin(α＋)<sin(β＋)，即a2．函数y＝sin2x－cos x的值域为________．
解析：y＝sin2x－cos x＝1－cos2x－cos x，
令cos x＝t，则t∈[－1,1]，y＝－t2－t＋1.
因此y＝－(t＋)2＋(－1≤t≤1)．
∴当t＝－时，ymax＝；当t＝1时，ymin＝－1，
∴函数的值域是[－1，]．
答案：[－1，]
3．求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝1＋2sin(－x)；
(2)y＝logcos x.
解：(1)y＝1＋2sin(－x)＝1－2sin(x－)．
令u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，
即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)．
亦即π＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，
故函数y＝1＋2sin(－x)的单调递增区间是
[π＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)由cos x>0，得－＋2kπ∵<1，∴函数y＝logcos x的单调递增区间即为u＝cos x，x∈(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)的递减区间，
∴2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z.
故函数y＝logcos x的单调递增区间为[2kπ，＋2kπ)(k∈Z)．
4．已知：f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a∈R，a为常数)．
(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在[－，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
(3)求在(2)条件下f(x)的单调减区间．
解：(1)∵2sin[2(x＋π)＋]
＝2sin[(2x＋)＋2π]
＝2sin(2x＋)，
∴函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1的最小正周期T＝＝π.
(2)x∈[－，]?2x∈[－，]?
2x＋∈[－，]．
∴－≤sin(2x＋)≤1.
即，∴2a＋3＝3?a＝0.
(3)f(x)＝2sin(2x＋)＋1.
当＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
即＋kπ≤x≤＋kπ时，
f(x)＝2sin(2x＋)＋1为减函数．
即在(2)条件下f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
课件31张PPT。第2课时 正、余弦函数的单调性与最值第一章 三角函数学习导航
正弦函数、余弦函数的性质[－1,1]奇偶2π想一想
正、余弦函数在定义域内是单调函数吗？
提示：不是．只是在某个区间上是单调函数．
做一做
1.函数y＝cos 2x在[0，π]的值域为________．
答案：[－1,1]
2．函数y＝sin x在[－π，0]的增区间为________．
题型一 求正、余弦函数的单调区间【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．跟踪训练题型二 比较三角函数值的大小【名师点评】 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．跟踪训练解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，且y＝sin x在(0°，90°)上递增，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.题型三 正弦、余弦函数的最值问题【名师点评】 求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：
(1)可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；
(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C，利用配方法结合正、余弦函数的有界性求解．
跟踪训练(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时，要注意使用复杂函数的判断方法来判断．
2．解析正弦函数、余弦函数的最值
(1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定．
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．规范解答13抓关键 促规范
11抓关键 促规范2233跟踪训练
