1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析：选D.A中函数的周期为T＝4π，B中函数的周期为T＝π，C中函数的周期为T＝8π，故选D.
2．函数y＝3cos(x－)的最小正周期是( )
A. B.
C．2π D．5π
解析：选D.∵3cos[(x＋5π)－]＝3cos(x－＋2π)＝3cos(x－)，
∴y＝3cos(x－)的最小正周期为5π.
3．已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析：选B.∵f(x)＝－cosπx－1，
∴f(－x)＝－cos(－πx)－1
＝－cosπx－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
又－cos[π(x＋2)]－1＝－cos(πx＋2π)－1
＝－cosπx－1，
∴f(x)的周期是2.故选B.
4．下列命题中正确的是( )
A．y＝－sin x为奇函数
B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数
C． y＝3sin x＋1为偶函数
D．y＝sin x－1为奇函数
解析：选A.y＝|sin x|是偶函数，y＝3sin x＋1与y＝sin x－1都是非奇非偶函数．
5．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
A．0 B.
C. D．π
解析：选C.由于y＝sin(x＋)＝cos x，而y＝cos x是R上的偶函数，所以φ＝.
6．函数f(x)＝sin(π＋x)的奇偶性是________．
解析：∵f(x)＝sin(π＋x)＝－cos x，
又g(x)＝－cos x是偶函数，
∴f(x)＝sin(π＋x)是偶函数．
答案：偶函数
7．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：要使f(x)＝有意义，则sin x－1≥0，即sin x≥1，
而sin x≤1，∴sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)＝的定义域为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
答案：{x|x＝2kπ＋，k∈Z}
8．函数y＝3sin(ax＋)的最小正周期是π，则a＝________.
解析：∵y＝3sin(ax＋)的最小正周期是π，
∴必有3sin[a(x＋π)＋]＝3sin[(ax＋)＋aπ]
＝3sin(ax＋)，
∴|aπ|＝2π，
∴a＝±2.
答案：±2
9．求下列函数的周期：
(1)y＝－2cos(－x－1)；
(2)y＝|sin 2x|.
解：(1)∵－2cos[－(x＋4π)－1]
＝－2cos[(－x－1)－2π]
＝－2cos(－x－1)，
∴函数y＝－2cos(－x－1)的周期是4π.
(2)∵|sin2(x＋)|＝|sin(2x＋π)|
＝|－sin 2x|＝|sin 2x|，
∴y＝|sin 2x|的周期是.
10．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，求f(－π)的值．
解：∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f(－π)＝f(－3π＋)
＝f(－6×＋)＝f()．
而f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1，
∴f(－π)＝1.
1．设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为( )
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为π
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
解析：选B.f(x)＝的大致图象如图所示：
由图可知f(x)为周期函数，最小正周期为π，故选B.
2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()＝________.
解析：由f(x)的最小正周期是π，
知f()＝f()
＝f(－)．
由f(x)是偶函数知f(－)＝f()．
又当x∈[0，]时，f(x)＝sin x.
∴f()＝sin＝.
答案：
3．求下列函数的定义域：
(1)求f(x)＝ ；
(2)求f(x)＝.
解：(1)由函数1－cos(－x)≥0，得
sin x≤，利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
法二：利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sin x≥cos x，即MN≥OM，则≤x≤ (在[0,2π]内)．
∴定义域为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
4．已知函数f(x)＝log|sin x|.
(1)求其定义域和值域；
(2)判断奇偶性；
(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．
解：(1)|sin x|>0?sin x≠0，
∴x≠kπ(k∈Z)．
∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵0<|sin x|≤1，∴log|sin x|≥0，
∴函数的值域是{y|y≥0}．
(2)∵f(－x)＝log|sin(－x)|
＝log|sin x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(3)∵|sin x|在定义域{x|x≠kπ，k∈Z}内是周期函数，且最小正周期是π，
∴函数f(x)＝log|sin x|是周期函数，最小正周期为π.
课件25张PPT。1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性第一章 三角函数学习导航
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_______________这个函数的周期为______.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)所有周期中存在一个最小的_______，那么这个最小_________就叫做f(x)的_______________非零常数Tf(x＋T)＝f(x)．T正数正数最小正周期．想一想
1.是否所有函数都是周期函数？
提示：不是，如y＝x.
2．由于sin(30°＋120°)＝sin 30°，则120°是函数y＝sin x的一个周期吗？
提示：不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值才可以，即x的任意性．做一做
1.若函数是以2为周期的函数，且f(3)＝6，则
f(5)＝________.
答案：6
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
2π奇函数偶函数做一做
2.函数y＝－sin x是________函数(填“奇”或“偶”)．
答案：奇
3．若函数y＝sin(φ－x)是偶函数，则φ的值可能是( )
A．30° B．60°
C．90° D．180°
解析：选C.当φ＝90°时，sin(90°－x)＝cos x.
∵y＝cos x是偶函数，
∴φ的可能值是90°.
题型一 有关正、余弦函数的定义域正弦函数或单位圆如图所示，
【名师点评】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
跟踪训练题型二 正、余弦函数的周期性【名师点评】 求三角函数的周期，现阶段通常有两种方法：
①定义法；②观察法(图象法)．两种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期时要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
跟踪训练题型三 正、余弦函数的奇偶性
【名师点评】 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
跟踪训练易错警示【失误防范】 (1)牢记周期函数的定义，把握好定义域，若函数的周期是T，那么x＋T也必须是定义域内的取值．
(2)对于周期T，使得当x取定义域内的每一个值时，都必须有f(x＋T)＝f(x)成立才行，即x不能仅是一个特殊值．
跟踪训练
4．若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周期函数．
解：因f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
