河南省周口市太康县第二高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

太康二高2022--2023学年下期高一3月月考数学试题
（考试用时120分钟 试卷满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.本试卷主要考试内容:必修二第六章向量。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在边长为1的正中，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，是平行四边形所在平面内的一点，且满足，则（ ）
A．2 B． C． D．1
4．已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．在中，，，直线DE与直线BC交于点F．设，，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（ ）
A． B． C． D．
7．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m
8．在中，角的对边分别为，且满足，则的形状是（ ）.
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分。
9．给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，
D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
10．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件
B．若，则为等腰三角形
C．命题“若，则”是真命题
D．若，，，则符合条件的有两个
12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为
第Ⅱ卷
填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
14．已知向量满足，则与的夹角为__________.
15．在边长为12的正三角形中，E为的中点，F在线段上且．若与交于M，则__________．
16．已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的夹角为，，当实数为何值时，
(1)
(2)
18．如图，在中，，，，点为上任意一点.
(1)求；
(2)求的最小值.
19．如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.
(1)用表示向量；
(2)若点F在AC上，且，求AF∶CF.
20．已知向量，，．
(1)求的最小值及相应t的值；
(2)若与共线，求与的夹角．
21．在△ABC中，角所对的边分别是，若．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC的面积．
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A；
(2)若的面积为，D为BC边上一点，且BD=2CD，求AD的最小值．
参考答案：
1．A
【详解】因为向量，所在的直线平行时，可得向量，平行，则充分性成立，
而向量，平行时，向量，所在的直线平行或重合，则必要性不成立，
则命题是的充分不必要条件，
故选：A．
2．D
【详解】如图，
因为，，则为边上靠近的三等分点，为边的中点，
所以，，
又在正中，，
则.
故选：D.
3．D
【分析】运用向量线性运算及数量积运算求解即可.
【详解】由已知，可得，
又四边形为平行四边形，
所以
，
所以.
故选：D.
4．A
【详解】，，显然，，
故选：A.
5．C
【详解】如下图所示：
由题可知，，
由共线定理可知，存在实数满足，
又因为，所以，
因此，
又与共线，
所以，解得，
则
.
故选：C.
6．C
【详解】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，
则，
则，
又因，所以.
故选：C.
7．D
【详解】，
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM＝＝，
在△ACM中，由正弦定理得＝，
所以CM＝＝，
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.
故选：D.
8．D
【详解】解：因为，
在中由正弦定理代入可得：
将代入可得：
，
化简可知，即，
因为，所以有或，解得或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
9．BCD
【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；
对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；
对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；
对于选项D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.
故选：BCD.
10．ABC
【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，
则，
设，则，
因为，所以，
所以，即，
对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；
对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；
对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；
对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.
故选：ABC.
11．AC
【详解】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；
对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：
对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．
故选：AC.
12．ACD
【详解】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，
所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,故 ,解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
13．矩形
【详解】由已知，，
则且共线反向，且共线反向，
则四边形ABCD为平行四边形，
又，对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形.
故答案为：矩形.
14．
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
故答案为：
15．
【详解】如图所示：以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，即，，，
.
故答案为：
16．
【详解】由题意在中，满足，即,
即，而，
故，又,
则，同理，
故
，
又,故，
则，
故答案为：
17．(1)
(2)
【详解】（1）若，得，即，
即解得，．
（2）若，则，
即，得，
，
解得．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，在中，，，
∴为的中点，
∴.
（2）由题意及（1）得，
在等腰直角三角形中，，
由（1）知，.
设，
则，
∴
∴当时，最小，最小值为.
19．(1).
(2)
【详解】（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，
所以＝＝()，
因为点E是BD的中点，
所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，
所以＝＋＝＋λ＝，.
又＝，所以λ＝，
所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.
20．(1)最小值为，此时
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
当且仅当取“＝”，
即的最小值为，此时．
（2）因为，，
所以由与共线得，
解得，此时，
设，的夹角为θ，
则，又,
故与的夹角为．
21．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以即，
解得,又因为，所以.
（2）由余弦定理可得，
所以解得，
所以.
22．(1)；
(2).
【详解】（1）由正弦定理得，
又，则，
化简得，
又，则，
所以，所以；
（2）由（1）得，则，得，
又BD=2CD，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．