1．下列命题中，正确的是( )
A．a，b是两个单位向量，则a与b相等
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D．共线的单位向量必是相等向量
解析：选B.若a与b中有一个是零向量，
则a与b是平行向量．
2．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是( )
A.与共线
B.与相等
C.与模相等，方向相反
D.与模相等
解析：选B.∵四边形ABCD是矩形，∴＝，故A，D正确；AC＝BD但与的方向不同，故B不正确；
AD＝CB且AD∥CB，与的方向相反，故C正确．
3．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．a0＝b0 B．a0＝－b0
C．|a0|＋|b0|＝2 D．a0∥b0
解析：选C.因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.故选C.
4．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：选D.由＝可知四边形ABCD为平行四边形，
又||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
5．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选D.∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，∴＝.
6．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：正方形的对角线长为2，
∴||＝.
答案：
7．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
解析：∵∥且||≠||，∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．
答案：梯形
8．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，则向量的模等于________．
解析：在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵＝，＝，∴＝，∴E，D，C三点共线，
||＝||＋||＝2||＝6.
答案：6
9．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：(1)试找出与大小相等，方向相反的向量；
(2)与相等吗？(3)与相等吗？
解：(1)由正六边形的性质得：∥∥∥，故与大小相等，方向相反的向量有、、、；
(2)与不相等，它们互为相反向量，即＝－；
(3)＝.
10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
解：如图所示：
1．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：选D.与向量共线的向量有，，，，，，，，共9个，故选D.
2．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线，
又m与，都共线，
∴m＝0.
答案：0
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量为，，，，，，.
(3)与共线的向量为，，.
4．如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个？
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
解：(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量在每一个小正方形中有两个，共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
课件27张PPT。第二章 平面向量第二章 平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念第一章 算法初步学习导航
1．向量的概念
向量的两个要素：(1)________ ，(2)________
想一想
1.向量是既有大小，又有方向的量，两个向量能比较大小吗？
提示：不能．大小方向．带有方向起点方向长度．长度A为起点B为终点015．向量与向量的关系
(1)相等向量
①定义：_____________________的向量叫做相等向量．
②记法：向量a与b相等，记作a＝b.
③表示：________且___________的有向线段表示同一个向量
(2)平行向量(共线向量)
①定义：方向_______________的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．
②记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.
③规定：________与任一向量平行．长度相等且方向相同长度相等指向一致相同或相反零向量提示：根据定义可知当两个向量平行时，表示它们的有向线段可以在同一直线上，而两直线平行，则不可能在同一直线上．做一做
下列说法正确的是________(填序号)．
①单位向量一定相等；
②若a＝b，且|a|＝0，则b＝0；
③坐标平面上的x轴和y轴都是向量．
答案：②
题型一 向量的有关概念
判断下列命题是否正确，不正确的说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．
(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．
(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
【名师点评】 (1)理解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向．(2)理解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等．
跟踪训练
1．在下列说法中，正确的是( )
A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同
B．模为0的向量与任一非零向量平行
C．向量就是有向线段
D．两个有公共终点的向量一定是共线向量
解析：选B.在选项A中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；在选项C中，向量与有向线段是两个不同的概念；在选项D中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线．题型二 向量的表示方法【名师点评】 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
跟踪训练
2．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，请写出以A为始点的不同的向量．
题型三 相等向量与共线向量
【名师点评】 向量的模是用向量的长度定义的，共线向量是用向量的方向定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，解决本题要弄清这三个概念的联系与区别．
跟踪训练1．向量与有向线段的区别
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；
(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．2．平行(共线)向量的含义
(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合．
(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共
线”含义不同．
(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点．
易错警示 给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.
其中的正确命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个【常见错误】 ①忽略0与0的区别；
②混淆两个向量的模相等和两个实数相等的概念．
③对两个向量平行的概念理解不透．
【解析】 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．故选A.
【答案】 A
【失误防范】 (1)牢记向量是既有大小又有方向的量，也就是说只要研究向量问题就要从大小和方向这两个方面进行研究．
(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中．
跟踪训练
4．下列命题中，正确的是( )
A．|a|＝1?a＝±1
B．|a|＝|b|且a∥b?a＝b
C．a＝b?a∥b
D．a∥0?|a|＝0
解析：选C.两向量的模相等两向量不一定相等，也不一定方向相同或相反，0与任一向量平行．
