高台县2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设D为所在平面内一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．在平行四边形中，．若点满足，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．20 D．36
7．计算的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
8．已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若向量满足，则为平行向量
B．与是非零向量，若与同向，则与反向
C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
10．下列说法正确的是（ ）
A．若点p为线段AB的中点，则对平面内的任意点O,必有
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．若是等边三角形，则
D．若G是的重心，则点G满足条件
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调减
D．的图象向右平移个单位得的图象
12．将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，若在区间内恰有两个最值（即最大值和最小值），则ω可能的取值为（ ）
A．1 B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域是___________.
14．已知，且，则向量在向量上的投影为__________.
15．已知，，则_____________.
16．如图是构造无理数的一种方法： 线段； 第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中； 第二步，以为直角边作直角三角形，其中； 第三步，以为直角边作直角三角形， 其中； ．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如， ， ．．． ，则____________．
四、解答题（共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．定义行列式运算，若．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
18．已知向量，满足，且，．
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)求．
19．（12分）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.
20．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．
(1)求的值；
(2)已知，求．
21．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.
(1)若，试用，和实数表示；
(2)试用，表示；
(3)若上有点，使得，求证：，，三点共线.
22．已知函数，若的最小正周期为π。
(1)求的表达式.
(2)求的对称中心和对称轴.
(3)将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.1．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，由此可得结果.
【详解】.
故选：C.
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化为，再逆用两角和余弦公式即可求解.
【详解】
故选：B
3．设D为所在平面内一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可.
【详解】解：因为，所以,
所以，
故选：D
【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，属于基础题.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式和余弦的二倍角公式求解．
【详解】,
故选：C
5．已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两边平方，结合数量积运算律，求出，再运用向量夹角公式，即可求解.
【详解】由，解得，
所以．
因为，所以与的夹角为，
故选：B．
6．在平行四边形中，．若点满足，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．20 D．36
【答案】B
【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用平面向量的数量积公式求解.
【详解】由题得，
，
．
故选：B
7．计算的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】化切为弦，结合辅助角公式，诱导公式求出答案.
【详解】
.
故选：D
8．已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，其中，
函数图象的一条对称轴为，
则，解得：，
则，，即，
故，
，且函数在区间上具有单调性，
与关于对称中心对称，
，解得，
则时，，故选：B.
9．下列命题正确的是（ ）
A．若向量满足，则为平行向量
B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底
C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D．若是等边三角形，则
【答案】AB
【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量定义知C错误；由向量夹角的定义知D正确.
【详解】对于A，，是平行向量，A正确；
对于B，为一组基底，不共线，
也不共线，也可以作为一组基底，B正确；
对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；
对于D，为等边三角形，，D错误.
故选：AB.
10．下列说法正确的是（ ）
A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．与是非零向量，若与同向，则与反向
D．设为实数，若，则与共线
【答案】ABC
【分析】A选项：根据相等向量的定义即可判断；
B选项：根据向量共线的性质，可知A、B、C三点共线；
C选项：与同向，则与反向，显然正确;
D选项：如果，则无法得知与共线.
【详解】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向，
且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确.
与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确.
与同向，则与反向，C正确.
时，与不一定共线，D错误.
故选：ABC
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调减
D．的图象向右平移个单位得的图象
【答案】CD
【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.
【详解】由图知：且，则，
∴，可得，
又过，
∴，得，又，
∴当时，.
综上，.
A：代入得：，故错误；
B：代入得：，故错误；
C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；
D：，故正确；
故选：CD
【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.
12．将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，若在区间内恰有两个最值（即最大值和最小值），则ω可能的取值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】CD
【解析】，
向左平移个单位长度，得到函数，
因为，所以，
因为在内恰有两个最值，
所以，解得，故C、D满足.故选：CD.
13．函数的定义域是___________.
【答案】
【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.
【详解】由题意可知，，所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知，且，则向量在向量上的投影为__________.
【答案】
【分析】先求出，再利用投影公式可得向量在向量上的投影.
【详解】因为，所以，即；
由可得；
则向量在向量上的投影为.
故答案：.
15．已知，，则_____________.
【答案】
【分析】对两个等式两边同时平方相加，再结合同角的三角函数关系式中的平方和公式、逆用两角差的正弦公式求解即可
【详解】得：
.
故答案为：
【点睛】本题考查了逆用两角差的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
16．如图是构造无理数的一种方法： 线段； 第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中； 第二步，以为直角边作直角三角形，其中； 第三步，以为直角边作直角三角形， 其中； ．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如， ， ．．． ，则____________．
【答案】
【分析】由图求解，的余弦与正弦值，再由两角和差的余弦公式得，利用数量积的定义求解即可.
【详解】解：由题可知
所以，，，，
所以，
所以.
故答案为：.
17．定义行列式运算，若．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据行列式运算的定义得到，利用求得答案；
(2)首先对函数化简，然后根据正弦函数的值域可知当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，进而求出函数的值域.
【详解】（1）因为，
所以，则；
（2），
故当时，；当时，，
所以函数的值域为．
29．已知向量，满足，且，．
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据数量积的公式和运算律计算即可.
【详解】（1），
∴.
（2）∵，
∴，
∵，∴.
19．（12分）
已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.
【解析】（1）
. （3分）
所以的最小正周期.
令得
所以的单调递增区间是. （6分）
（2）因为，所以，所以，故，所以当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值1. （12分）
20．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．
(1)求的值；
(2)已知，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，分别求出的值，然后再利用两角和的正切公式即可得解.
【详解】（1）由三角函数定义得，，
∴原式
（2）由，得，
，，
所以，
∴．
21．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.
(1)若，试用，和实数表示；
(2)试用，表示；
(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据向量加减法运算即可;
(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;
(3)应用向量共线且有公共点证明即可.
【详解】（1）由题意，所以，
①
（2）设，由，，
②
由①、②得，，
所以，解得，所以；
（3）由，得，所以，
所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.
22．已知函数，若的最小正周期为π。
(1)求的表达式.
(2)求的对称中心和对称轴.
(3)将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，值域为；
(3).
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，，.
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，
所以在上的值域为.
（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，
则，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，而函数的周期，
依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，
则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
