1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相同 B． a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λ|a|
解析：选C.只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．
2．如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0 B.－＋＝0
C.＋－＝0 D.－－＝0
解析：选A.∵＝，＝，＝，∴＋＋＝(＋＋)＝×00，故选A.
3．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰梯形
解析：选C.由∥且||≠||知，四边形ABCD是梯形，又||＝||知梯形ABCD是等腰梯形．
4．在正六边形ABCDEF中，若＝a，＝b，则等于( )
A．a－2b B．2a－b
C．a－b D． a＋b
解析：选B.设正六边形的中心为O，则＝2＝2(＋)＝2(a－b)．∴＝＋＝2(a－b)＋b
＝2a－b.
5．点C在线段AB上，且＝，＝λ，则λ为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.由题意知＝，即＝－，∴＝()×(－)＝－，故λ＝－.
6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：由原式可得解得∴x－y＝3.
答案：3
7．已知向量的方向是东南方向，且||＝4，则向量－2的方向是________，且|－2|＝________.
解析：根据已知的方向是东南方向，且||＝4，可知－2的方向是西北方向，且|－2|＝|－2|||＝2×4＝8.
答案：西北方向 8
8．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(a－b)－3(a＋b)＋(2b－a)＝________.
解析：(a－b)－3(a＋b)＋(2b－a)
＝a－b－3a－2b＋2b－a
＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)
＝－11i＋j－5i－4j
＝－16i＋j.
答案：－16i＋j
9．已知向量a，b.
(1)计算6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
解：(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b
＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b
＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b.
(2)①×4＋②×3，得(12x－8y)＋
(－12x＋9y)＝4a＋3b，
即y＝4a＋3b，代入①式，
得x＝(a＋2y)＝(a＋8a＋6b)＝3a＋2b，
∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
10．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，
＝－5a－3b，其中a，b不共线．
求证：四边形ABCD是梯形．
证明：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，
∴∥且||≠||，
∴四边形ABCD为梯形．
1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝成立，则m等于( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C.如图所示，在△ABC中，由＋＋＝0易知M是△ABC的重心，D是BC边的中点，∴＋＝2.又∵＝，∴＋＝2＝3，∴m＝3.故选C.
2．下面几个命题：
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中正确命题的是________．
解析：由向量的数乘运算律，知①②均正确．
对于③，若m＝0，由ma＝mb，未必一定有a＝b，错误．
对于④，若a＝0，由ma＝na，未必一定有m＝n，错误．
答案：①②
3．两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
解：d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使d与c共线，则存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.
∴
解得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d与c共线．
4．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M是三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
解：(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
又∵与有公共点A，
∴A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，
则与同向且||>||(如图所示).∴λ>1.
课件25张PPT。2．2.3 向量数乘运算及其几何意义第二章 平面向量学习导航
1．向量的数乘运算(1)向量的数乘运算的概念
实数λ与向量a的积是一个_______，这种运算叫做___________，记作_____，其长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|.向量向量的数乘λa(2)向量数乘的运算律
①λ(μ a)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.λ>0λ<000想一想
1.向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
提示：不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算．
做一做
1.3a＋2b－(2a－b)＝________.
答案：a＋3b
2．若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，
则a＝________b.
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa.2.已知向量a，b不共线，则c＝a－2b与d＝－2a＋4b
的位置关系是什么？
提示：d＝－2c，故c与d共线．做一做题型一 向量的线性运算【名师点评】 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．跟踪训练解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.题型二 用已知向量表示所求向量【名师点评】 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
跟踪训练题型三 共线向量定理的应用
跟踪训练1．实数与向量的积
(1)λ·a的几何意义就是把a沿着与a相同(λ>0时)或相反(λ<0时)的方向伸长(|λ|>1时)或缩短(|λ|<1时)到原来的|λ|倍．
(2)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如λ＋a，λ－a无法进行运算．名师解题三点共线的判定12123抓关键 促规范
?若未能根据点M，N所在的位置，推出 ，则后续推导无法进行，在实际考试中最多给2分，是考试中无法解出本题的主要原因．
?若未能根据三角形法则，推出 ，则导致解答本题的整体思路无法构建，故此处是解答本题的关键．
?若漏掉 ，则推理不严谨，实际考试中通常只给11分，是丢分最可惜的情况．
112233跟踪训练
4．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，证明四边形EFGH为平行四边形．
